Sistem Persamaan Contoh (KBAT)

Q: Bagaimana saya memfaktorkan kuadratik seperti 2y^{2}+3y-5?

Pisahkan sebutan tengah kepada dua bahagian yang darabnya 2×(−5)=−102\times(-5)=-102×(−5)=−10 dan jumlahnya 333: iaitu +5+5+5 dan −2-2−2. Kumpulkan untuk mendapat (2y+5)(y−1)(2y+5)(y-1)(2y+5)(y−1). Punca pecahan datang daripada 2y+5=02y+5=02y+5=0.

Q: Dalam sistem tiga pemboleh ubah, mengapa skalakan persamaan sebelum menambah?

Supaya huruf pilihan terhapus. Jika pekali zzz ialah −1-1−1 dan +2+2+2, mendarab persamaan pertama dengan 222 menjadikannya −2-2−2 dan +2+2+2, jadi penambahan membuang zzz serta-merta.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Sistem Persamaan sukar ini mengekalkan kaedah teras yang sama tetapi menaikkan tuntutannya. Penggantian pertama meninggalkan kuadratik yang puncanya bukan nombor bulat, jadi anda memfaktorkan dengan pekali pendahulu bukan satu dan membawa pecahan dengan kemas hingga akhir.

Yang kedua ialah sistem linear tiga pemboleh ubah yang pekalinya tidak terhapus sekali pandang, anda skalakan persamaan sebelum menambah. Yang ketiga ialah putaran KBAT: satu garis lurus ialah tangen kepada lengkung, bermakna persamaan gabungan mereka mempunyai tepat satu punca berulang, jadi anda tetapkan pembeza kepada sifar.

Tutup penyelesaian, cuba setiap satu sepenuhnya di atas kertas, kemudian semak baris demi baris. Tempat kerja anda mula bercapah daripada kerja kami itulah tempat pembelajaran.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Ia lebih panjang daripada set terdahulu, jadi beri diri anda ruang di atas kertas dan jangan langkau semakan di akhir, pada soalan sukar, semakan selalunya tempat tanda yang tercicir ditangkap.

Q1[5 marks]

Selesaikan persamaan serentak $x-y=1$ dan $x^{2}+xy=6$ .

Show worked solution

Jadikan $x$ sebagai perkara rumus persamaan linear:

x=y+1

Gantikan ke dalam $x^{2}+xy=6$ . Kembangkan kedua-dua $(y+1)^{2}$ dan hasil darab $(y+1)y$ :

(y+1)^{2}+(y+1)y=6 \;\Rightarrow\; y^{2}+2y+1+y^{2}+y=6

Kumpulkan sebutan serupa dan bawa semuanya ke satu sebelah:

2y^{2}+3y+1=6 \;\Rightarrow\; 2y^{2}+3y-5=0

Faktorkan kuadratik itu. Pekali pendahulu ialah $2$ , jadi pisahkan sebutan tengah: $2y^{2}+5y-2y-5$ , yang berfaktor menjadi

(2y+5)(y-1)=0 \;\Rightarrow\; y=-\tfrac{5}{2} \ \text{atau}\ y=1

Gantikan setiap punca semula ke dalam $x=y+1$ :

y=1 \Rightarrow x=2, \qquad y=-\tfrac{5}{2} \Rightarrow x=-\tfrac{3}{2}

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $(2,1)$ dan $\left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{5}{2}\right)$ . Semak pasangan pecahan dalam $x^{2}+xy=6$ : $\tfrac{9}{4}+\left(-\tfrac{3}{2}\right)\left(-\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{9}{4}+\tfrac{15}{4}=\tfrac{24}{4}=6$ , seperti yang dikehendaki.

Q2[6 marks]

Selesaikan sistem $x+y+z=4$ , $2x+3y-z=-2$ dan $3x-y+2z=13$ .

Show worked solution

Labelkan persamaan: $(1)\;x+y+z=4$ , $(2)\;2x+3y-z=-2$ , $(3)\;3x-y+2z=13$ . Hapuskan $z$ dahulu.

Tambah $(1)$ dan $(2)$ , yang sebutan $z$ -nya $+z$ dan $-z$ :

(1)+(2):\; 3x+4y=2 \quad (4)

Kini hapuskan $z$ sekali lagi daripada pasangan berbeza. Darab $(2)$ dengan $2$ untuk memadankan $+2z$ dalam $(3)$ , kemudian tambah:

2\times(2):\; 4x+6y-2z=-4

[2\times(2)]+(3):\; 7x+5y=9 \quad (5)

Selesaikan $(4)$ dan $(5)$ dengan penghapusan. Darab $(4)$ dengan $5$ dan $(5)$ dengan $4$ supaya sebutan $y$ sepadan:

15x+20y=10, \qquad 28x+20y=36

Tolak yang pertama daripada yang kedua:

13x=26 \;\Rightarrow\; x=2

Gantikan $x=2$ ke dalam $(4)$ , kemudian cari $z$ daripada $(1)$ :

3(2)+4y=2 \Rightarrow y=-1, \qquad z=4-x-y=4-2-(-1)=3

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $x=2,\; y=-1,\; z=3$ . Semak persamaan yang tidak digunakan di akhir, $(3)$ : $3(2)-(-1)+2(3)=6+1+6=13$ , betul.

Q3[6 marks]

Garis lurus $y=2x+c$ ialah tangen kepada lengkung $y=x^{2}+3$ . Cari nilai $c$ dan koordinat titik sentuhan.

Show worked solution

Tangen bertemu lengkung pada tepat satu titik, jadi persamaan yang terbentuk daripada menyelesaikan garis dan lengkung bersama mesti mempunyai satu punca berulang. Samakan kedua-dua ungkapan bagi $y$ :

x^{2}+3=2x+c

Susun semula menjadi kuadratik dalam $x$ dengan semuanya di satu sebelah:

x^{2}-2x+(3-c)=0

Untuk satu punca berulang, pembeza $b^{2}-4ac$ mesti sifar. Di sini $a=1$ , $b=-2$ , $c_{\text{kuad}}=3-c$ :

(-2)^{2}-4(1)(3-c)=0 \;\Rightarrow\; 4-12+4c=0

Selesaikan untuk $c$ :

4c=8 \;\Rightarrow\; c=2

Masukkan $c=2$ semula ke dalam kuadratik untuk mencari titik sentuhan. Ia menjadi kuasa dua sempurna:

x^{2}-2x+1=0 \;\Rightarrow\; (x-1)^{2}=0 \;\Rightarrow\; x=1

Cari $y$ daripada garis $y=2x+c=2x+2$ :

y=2(1)+2=4

Jawapan

$c=2$ , dan titik sentuhan ialah $(1,4)$ . Semak ia terletak pada lengkung: $(1)^{2}+3=4$ , yang sepadan dengan nilai $y$ daripada garis.

Q4[5 marks]

Sebuah taman berbentuk segi empat tepat mempunyai perimeter $22$ m dan luas $24\text{ m}^{2}$ . Diberi bahawa panjangnya lebih besar daripada lebarnya, cari panjang dan lebar taman itu.

Show worked solution

Katakan panjang ialah $x$ m dan lebar ialah $y$ m. Separuh perimeter memberikan jumlah kedua-dua sisi, dan luas memberikan hasil darabnya:

x+y=11, \qquad xy=24

Sepasang nombor dengan jumlah dan hasil darab yang diketahui ialah dua punca kuadratik $t^{2}-(\text{jumlah})t+(\text{hasil darab})=0$ . Gantikan nilai-nilai itu:

t^{2}-11t+24=0

Faktorkan:

(t-3)(t-8)=0 \;\Rightarrow\; t=3 \ \text{atau}\ t=8

Kedua-dua punca $3$ dan $8$ ialah lebar dan panjang dalam susunan tertentu. Oleh sebab panjang lebih besar daripada lebar:

\text{panjang}=8, \qquad \text{lebar}=3

Jawapan

Taman itu berukuran $8$ m dengan $3$ m. Semak: perimeter $=2(8+3)=22$ m dan luas $=8\times3=24\text{ m}^{2}$ , kedua-duanya betul.

Q5[5 marks]

Dua nombor positif mempunyai jumlah $5$ dan jumlah songsangnya ialah $\frac{5}{6}$ . Cari kedua-dua nombor itu.

Show worked solution

Katakan kedua-dua nombor itu ialah $x$ dan $y$ . Syarat pertama memberikan jumlah secara terus, dan syarat kedua memberikan persamaan dalam $\frac{1}{x}$ dan $\frac{1}{y}$ :

x+y=5, \qquad \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}

Gabungkan pecahan di sebelah kiri persamaan kedua kepada penyebut sepunya $xy$ :

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}

Gantikan $x+y=5$ ke dalam pecahan gabungan ini dan samakan dengan $\frac{5}{6}$ :

\frac{5}{xy}=\frac{5}{6} \;\Rightarrow\; xy=6

Kini $x$ dan $y$ ialah dua punca kuadratik dengan jumlah $5$ dan hasil darab $6$ :

t^{2}-5t+6=0 \;\Rightarrow\; (t-2)(t-3)=0 \;\Rightarrow\; t=2 \ \text{atau}\ t=3

Jawapan

Kedua-dua nombor itu ialah $2$ dan $3$ . Semak: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ , seperti yang dikehendaki.

Q6[6 marks]

Sebuah segi tiga bersudut tegak mempunyai kaki sepanjang $x$ cm dan $y$ cm serta hipotenus $10$ cm. Perimeter segi tiga itu ialah $24$ cm.

Diberi $x>y$ , cari nilai $x$ dan nilai $y$ .

Show worked solution

Perimeter memberikan persamaan linear dalam $x$ dan $y$ , manakala Teorem Pythagoras pada sudut tegak memberikan persamaan kedua yang bukan linear:

x+y+10=24 \;\Rightarrow\; x+y=14, \qquad x^{2}+y^{2}=10^{2}=100

Menggantikan $y=14-x$ secara terus tetap berfungsi, tetapi lebih pantas menggunakan identiti $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ untuk mencari hasil darab $xy$ dahulu:

14^{2}=100+2xy \;\Rightarrow\; 196-100=2xy

Selesaikan untuk $xy$ :

2xy=96 \;\Rightarrow\; xy=48

$x$ dan $y$ kini ialah dua punca kuadratik dengan jumlah $14$ dan hasil darab $48$ :

t^{2}-14t+48=0 \;\Rightarrow\; (t-6)(t-8)=0 \;\Rightarrow\; t=6 \ \text{atau}\ t=8

Oleh sebab $x>y$ , berikan punca yang lebih besar kepada $x$ :

x=8, \qquad y=6

Jawapan

$x=8$ dan $y=6$ . Semak: $8^{2}+6^{2}=64+36=100=10^{2}$ , dan perimeter ialah $8+6+10=24$ cm, kedua-duanya betul.

Q7[6 marks]

Di sebuah gerai buah-buahan, $2$ biji epal, $1$ biji oren dan $3$ biji pear berharga RM $22$ kesemuanya. $1$ biji epal, $3$ biji oren dan $2$ biji pear berharga RM $21$ .

$3$ biji epal, $2$ biji oren dan $1$ biji pear berharga RM $17$ . Cari harga sebiji epal, sebiji oren dan sebiji pear.

Show worked solution

Katakan harga sebiji epal, oren dan pear masing-masing ialah RM $a$ , RM $o$ dan RM $p$ . Ketiga-tiga pembelian memberikan tiga persamaan; labelkannya:

(1)\; 2a+o+3p=22, \quad (2)\; a+3o+2p=21, \quad (3)\; 3a+2o+p=17

$p$ mempunyai pekali $1$ dalam persamaan $(3)$ , jadi jadikan ia perkara rumus dan hapuskannya daripada $(1)$ dan $(2)$ :

p=17-3a-2o

Gantikan ke dalam $(1)$ :

2a+o+3(17-3a-2o)=22 \;\Rightarrow\; 7a+5o=29 \quad (4)

Gantikan ke dalam $(2)$ :

a+3o+2(17-3a-2o)=21 \;\Rightarrow\; 5a+o=13 \quad (5)

Jadikan $o$ perkara rumus $(5)$ dan gantikan ke dalam $(4)$ :

o=13-5a, \qquad 7a+5(13-5a)=29 \;\Rightarrow\; -18a=-36 \;\Rightarrow\; a=2

Gantikan semula untuk mencari $o$ dan $p$ :

o=13-5(2)=3, \qquad p=17-3(2)-2(3)=5

Jawapan

Sebiji epal berharga RM $2$ , sebiji oren RM $3$ dan sebiji pear RM $5$ . Semak persamaan $(1)$ : $2(2)+3+3(5)=4+3+15=22$ , betul.

Q8[5 marks]

Garis lurus $y=x+k$ bersilang dengan lengkung $y=x^{2}-3x+7$ pada dua titik berbeza. Cari julat nilai $k$ .

Show worked solution

Dua titik persilangan berbeza bermakna persamaan yang terbentuk daripada menyelesaikan garis dan lengkung bersama mempunyai dua punca nyata berbeza, jadi pembezanya mesti positif, bukan sifar. Samakan kedua-dua ungkapan bagi $y$ :

x+k=x^{2}-3x+7

Susun semula menjadi kuadratik dalam $x$ dengan semuanya di satu sebelah:

x^{2}-4x+(7-k)=0

Untuk dua punca nyata berbeza, $b^{2}-4ac>0$ . Di sini $a=1$ , $b=-4$ , $c=7-k$ :

(-4)^{2}-4(1)(7-k)>0

Permudahkan ketaksamaan itu:

16-28+4k>0 \;\Rightarrow\; 4k>12 \;\Rightarrow\; k>3

Jawapan

Garis itu bersilang dengan lengkung pada dua titik berbeza apabila $k>3$ . Semak sempadan $k=3$ : persamaan menjadi $x^{2}-4x+4=0$ , iaitu $(x-2)^{2}=0$ , satu punca berulang (tangen), mengesahkan bahawa $k$ mesti lebih besar secara ketat daripada $3$ untuk dua titik berasingan.

Ketiga-tiga ini kelihatan mencabar, namun setiap satu bersandar pada kaedah yang anda sudah miliki. Penggantian masih mengecilkan sistem kepada satu persamaan; penghapusan masih membuang satu huruf, cuma kini anda skalakan dahulu; dan soalan tangen ialah persamaan serentak yang menyamar, ditutup oleh satu idea tunggal bahawa satu titik sentuhan bermakna satu punca berulang.

Namakan kaedah yang terpakai, dan soalan sukar menjadi panjang, bukan misteri.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menunjukkan bagaimana kaedah piawai mengendalikan pecahan, pekali janggal, dan syarat tangen. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Apabila kuadratik mempunyai pekali pendahulu bukan satu, pisahkan sebutan tengah untuk memfaktorkan, dan kekalkan punca pecahan tepat, bukan dibundarkan.
Dalam sistem tiga pemboleh ubah, skalakan satu atau kedua-dua persamaan sebelum menambah supaya huruf pilihan terhapus; hapuskan huruf yang sama dua kali.
Satu garis ialah tangen kepada lengkung tepat apabila kuadratik gabungan mereka mempunyai satu punca berulang, jadi tetapkan $b^{2}-4ac=0$ .
Selepas mencari pemalar tangen, gantikannya semula, kuadratik menjadi kuasa dua sempurna dan memberi titik sentuhan terus.
Sentiasa sahkan penyelesaian pecahan dengan penggantian; kesilapan lazim ialah ralat tanda dalam $(y+1)^{2}$ .
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, baris pembeza dan setiap langkah penghapusan memperoleh markah kaedahnya sendiri.

Bagaimana guru membantu

Soalan sukar jarang gagal pada idea; ia gagal pada daya tahan, pecahan tercicir di tengah jalan, atau pembeza dibentuk dengan tanda salah. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami membantu anda menyusun kerja supaya penyelesaian panjang kekal boleh dibaca, dan menunjukkan tempat semakan pantas menangkap ralat sebelum ia merugikan seluruh jawapan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda membina ketenangan untuk menyudahkan soalan enam markah dengan kemas dalam masa yang ada. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kekal biasa kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya memfaktorkan kuadratik seperti

2y^{2}+3y-5

Pisahkan sebutan tengah kepada dua bahagian yang darabnya $2\times(-5)=-10$ dan jumlahnya $3$ : iaitu $+5$ dan $-2$ . Kumpulkan untuk mendapat $(2y+5)(y-1)$ .

Punca pecahan datang daripada $2y+5=0$ .

Apakah maksud satu garis menjadi tangen kepada lengkung?

Garis menyentuh lengkung pada tepat satu titik. Apabila anda menyelesaikan garis dan lengkung bersama, kuadratik yang terhasil mempunyai satu punca berulang, sebab itulah pembeza $b^{2}-4ac$ bersamaan sifar.

Mengapa saya gantikan pemalar tangen semula ke dalam kuadratik?

Untuk mencari tempat sentuhan berlaku. Dengan nilai tangen di tempatnya, kuadratik menjadi kuasa dua sempurna seperti $(x-1)^{2}=0$ , memberi satu koordinat- $x$ titik sentuhan terus.

Dalam sistem tiga pemboleh ubah, mengapa skalakan persamaan sebelum menambah?

Supaya huruf pilihan terhapus. Jika pekali $z$ ialah $-1$ dan $+2$ , mendarab persamaan pertama dengan $2$ menjadikannya $-2$ dan $+2$ , jadi penambahan membuang $z$ serta-merta.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Sistem Persamaan, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?