方程组例题（简单）| Add Math SPM

Q: 什么时候用代入法，什么时候用消元法？

当其中一个方程是非线性时，用代入法，把某个字母从线性方程解出为主项，再代入。当每个方程都是线性时，尤其是三元方程组，用消元法。

Q: 最后怎样把数值正确地配成对？

把每个 xxx 代回线性方程，而不是非线性方程。线性方程对每个 xxx 恰好给出一个 yyy，就不会配错。

Q: 三元方程组的答案怎么检验？

把三个数值代入一个你没有用来求解的方程。若该方程成立，你的解就稳了，这正是花一点时间给方程编号 (1)(1)(1)、(2)(2)(2)、(3)(3)(3) 的价值所在。

这些例题涵盖什么

这组简单的方程组例题帮你打好整章赖以立足的两个动作。第一个是代入法：当你有一个线性方程和一个非线性方程时，先把某个字母从线性方程中解出来（写成主项），再代入非线性方程，剩下一个二次方程去解。

第二个是消元法：对于三元一次方程组，把方程两两相加或相减，一次消去一个字母。这里每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

请把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照。你的算法和我们开始分岔的那一步，正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，把一个字母写成主项、仔细代入、保留括号、并且总要代回，如何贯穿每一题。

Q1[3 marks]

解联立方程 $x+y=5$ 与 $xy=6$ 。

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把 $y$ 从线性方程中解出，因为它更容易整理：

y=5-x

把它代入非线性方程 $xy=6$ 并展开：

x(5-x)=6 \;\Rightarrow\; 5x-x^{2}=6

整理成等于零的二次方程，然后因式分解：

x^{2}-5x+6=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-3)=0

所以 $x=2$ 或 $x=3$ 。把每一个代回 $y=5-x$ ，把数值配成对：

x=2 \Rightarrow y=3, \qquad x=3 \Rightarrow y=2

答案

解为 $(x,y)=(2,3)$ 与 $(3,2)$ 。检验第一个： $2+3=5$ ， $2\times 3=6$ ，都正确。

Q2[3 marks]

求直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=x^{2}-1$ 交点的坐标。

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在交点处两式给出同一个 $y$ ，所以令两个右边相等：

x^{2}-1=x+1

把每一项移到一边，组成二次方程，然后因式分解：

x^{2}-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0

所以 $x=2$ 或 $x=-1$ 。用直线 $y=x+1$ 求出各自对应的 $y$ ：

x=2 \Rightarrow y=3, \qquad x=-1 \Rightarrow y=0

答案

直线与曲线相交于 $(2,3)$ 与 $(-1,0)$ 。代回曲线检验： $(2)^{2}-1=3$ ， $(-1)^{2}-1=0$ ，都一致。

Q3[4 marks]

解方程组 $x+y+z=6$ 、 $x-y+z=2$ 与 $x+y-z=0$ 。

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给方程编号，便于追踪： $(1)\;x+y+z=6$ ， $(2)\;x-y+z=2$ ， $(3)\;x+y-z=0$ 。用 $(1)$ 减 $(2)$ ； $x$ 与 $z$ 项抵消，只剩 $y$ ：

(1)-(2):\; 2y=4 \;\Rightarrow\; y=2

再用 $(1)$ 减 $(3)$ ；这次 $x$ 与 $y$ 项抵消，只剩 $z$ ：

(1)-(3):\; 2z=6 \;\Rightarrow\; z=3

把 $y=2$ 、 $z=3$ 代入 $(1)$ 求 $x$ ：

x+2+3=6 \;\Rightarrow\; x=1

答案

解为 $x=1,\; y=2,\; z=3$ 。用没有拿来求解的方程检验： $(2)\;1-2+3=2$ ， $(3)\;1+2-3=0$ ，都正确。

Q4[4 marks]

解联立方程 $y=x-1$ 与 $x^{2}+y^{2}=25$ 。

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线性方程已经把 $y$ 写成主项，所以直接把 $y=x-1$ 代入非线性方程：

x^{2}+(x-1)^{2}=25

仔细展开括号，保留中间项，再合并同类项：

x^{2}+x^{2}-2x+1=25 \;\Rightarrow\; 2x^{2}-2x-24=0

两边同除以 $2$ 化简，然后因式分解：

x^{2}-x-12=0 \;\Rightarrow\; (x-4)(x+3)=0

所以 $x=4$ 或 $x=-3$ 。把每一个代回 $y=x-1$ ：

x=4 \Rightarrow y=3, \qquad x=-3 \Rightarrow y=-4

答案

解为 $(4,3)$ 与 $(-3,-4)$ 。检验第二个： $(-3)^{2}+(-4)^{2}=9+16=25$ ，与要求一致。

Q5[2 marks]

解联立方程 $2x+y=9$ 与 $x-y=3$ 。

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两个方程都是线性方程，把它们直接相加以消去 $y$ ：

(2x+y)+(x-y)=9+3 \;\Rightarrow\; 3x=12

两边除以 $3$ 求出 $x$ ，再代回任一方程求 $y$ ：

x=4 \;\Rightarrow\; 4-y=3 \;\Rightarrow\; y=1

答案

解为 $x=4,\;y=1$ 。检验第一式： $2(4)+1=9$ ，正确。

Q6[3 marks]

解联立方程 $x-y=2$ 与 $x^{2}-y^{2}=20$ 。

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把非线性方程用两数平方差公式因式分解，再代入线性方程 $x-y=2$ ：

x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=20 \;\Rightarrow\; 2(x+y)=20 \;\Rightarrow\; x+y=10

把 $x-y=2$ 与 $x+y=10$ 相加求出 $x$ ，再求 $y$ ：

2x=12 \;\Rightarrow\; x=6, \quad y=4

答案

解为 $x=6,\;y=4$ 。检验： $6^{2}-4^{2}=36-16=20$ ，正确。

Q7[3 marks]

解联立方程 $x=2y+3$ 与 $y^{2}=x$ 。

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第一式已经把 $x$ 用 $y$ 表示，把它代入 $y^{2}=x$ ，再整理成二次方程并因式分解：

y^{2}=2y+3 \;\Rightarrow\; y^{2}-2y-3=0 \;\Rightarrow\; (y-3)(y+1)=0

所以 $y=3$ 或 $y=-1$ 。把每一个代回 $x=2y+3$ ，把数值配成对：

y=3 \Rightarrow x=9, \qquad y=-1 \Rightarrow x=1

答案

解为 $(x,y)=(9,3)$ 与 $(1,-1)$ 。检验第二个： $(-1)^{2}=1$ ，与 $x=1$ 相符。

Q8[3 marks]

解方程组 $x+y+z=12$ 、 $x-y=2$ 与 $z=4$ 。

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第三式已经直接给出 $z$ ，把它代入第一式：

x+y+4=12 \;\Rightarrow\; x+y=8

把 $x+y=8$ 与 $x-y=2$ 相加求出 $x$ ，再求 $y$ ：

2x=10 \;\Rightarrow\; x=5, \quad y=3

答案

解为 $x=5,\;y=3,\;z=4$ 。检验： $5+3+4=12$ ， $5-3=2$ ，都正确。

回头看这四题。两题用代入法，两题用消元法，底下却是同一份稳定：把一个字母写成主项或消去一个字母，仔细算出得到的方程，并且总要代回，把数值正确地配成对。

正是这个习惯，把《方程组》变成一整块可靠的分数。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每一道 Add Math 方程组题都要用到的日常技能。多做练习时，记住以下几点。

遇到一个线性方程和一个非线性方程，先把某个字母从线性方程中解出为主项，再代入非线性方程。
代入后剩下一个二次方程，用因式分解求解，读出两个根。
务必把每个根代回线性方程，才能把 $x$ 和正确的 $y$ 配成对。
对于三元一次方程组，把方程两两相加或相减，一次消去一个字母。
把括号完整展开，保留每一个中间项；漏掉 $-2x$ 是这里最常见的失误。
由于采用分析式评分，即使最后的算术出错，一行清楚的代入或消元仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，几乎总是一个可以纠正的小习惯，展开 $(x-1)^{2}$ 时漏了括号，或者最后把 $x$ 和错误的 $y$ 配成对。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人，而不只是「怎么做」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

什么时候用代入法，什么时候用消元法？

当其中一个方程是非线性时，用代入法，把某个字母从线性方程解出为主项，再代入。当每个方程都是线性时，尤其是三元方程组，用消元法。

为什么一个线性方程加一个非线性方程通常有两个解？

代入后剩下一个二次方程，而二次方程可以有两个根。从几何上看，直线常常与曲线交于两点，所以你通常要报出两对坐标。

最后怎样把数值正确地配成对？

把每个 $x$ 代回线性方程，而不是非线性方程。线性方程对每个 $x$ 恰好给出一个 $y$ ，就不会配错。

三元方程组的答案怎么检验？

把三个数值代入一个你没有用来求解的方程。若该方程成立，你的解就稳了，这正是花一点时间给方程编号 $(1)$ 、 $(2)$ 、 $(3)$ 的价值所在。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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