Sistem Persamaan Contoh (Mudah)

Q: Bila saya guna penggantian dan bila saya guna penghapusan?

Guna penggantian apabila salah satu persamaan tak linear, jadikan satu huruf sebagai perkara rumus persamaan linear dan gantikannya. Guna penghapusan bagi sistem yang setiap persamaannya linear, terutama sistem tiga pemboleh ubah.

Q: Bagaimana saya memadankan nilai dengan betul pada akhirnya?

Gantikan setiap xxx semula ke dalam persamaan linear, bukan yang tak linear. Persamaan linear memberi tepat satu yyy bagi setiap xxx, jadi tiada risiko silap padan.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Sistem Persamaan mudah ini membina dua gerak yang menjadi tunjang seluruh bab. Yang pertama ialah penggantian: apabila anda ada satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear, jadikan satu huruf sebagai perkara rumus persamaan linear dan gantikannya ke dalam persamaan tak linear, meninggalkan satu persamaan kuadratik untuk diselesaikan.

Yang kedua ialah penghapusan: bagi sistem linear tiga pemboleh ubah, tambah atau tolak persamaan secara berpasangan untuk menghapuskan satu huruf pada satu masa. Setiap soalan di sini menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda dapat mengikuti setiap baris tanpa terganggu oleh kalkulator.

Tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, kemudian semak baris demi baris. Tempat kerja anda mula bercapah daripada kerja kami itulah tempat pembelajaran sebenar.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana disiplin yang sama, jadikan satu huruf sebagai perkara rumus, gantikan dengan teliti, kekalkan kurungan, dan sentiasa gantikan semula, mengalir dalam setiap satu.

Q1[3 marks]

Selesaikan persamaan serentak $x+y=5$ dan $xy=6$ .

Show worked solution

Jadikan $y$ sebagai perkara rumus persamaan linear, kerana ia lebih mudah disusun semula:

y=5-x

Gantikan ini ke dalam persamaan tak linear $xy=6$ dan kembangkan:

x(5-x)=6 \;\Rightarrow\; 5x-x^{2}=6

Susun semula menjadi kuadratik bersamaan sifar, kemudian faktorkan:

x^{2}-5x+6=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-3)=0

Jadi $x=2$ atau $x=3$ . Gantikan setiap satu semula ke dalam $y=5-x$ untuk memadankan nilai:

x=2 \Rightarrow y=3, \qquad x=3 \Rightarrow y=2

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $(x,y)=(2,3)$ dan $(3,2)$ . Semak yang pertama: $2+3=5$ dan $2\times 3=6$ , kedua-duanya betul.

Q2[3 marks]

Cari koordinat titik pertemuan antara garis $y=x+1$ dan lengkung $y=x^{2}-1$ .

Show worked solution

Pada titik pertemuan kedua-dua persamaan memberi $y$ yang sama, jadi samakan kedua-dua sebelah kanan:

x^{2}-1=x+1

Bawa setiap sebutan ke satu sebelah untuk membentuk kuadratik, kemudian faktorkan:

x^{2}-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0

Jadi $x=2$ atau $x=-1$ . Guna garis $y=x+1$ untuk mencari setiap $y$ yang sepadan:

x=2 \Rightarrow y=3, \qquad x=-1 \Rightarrow y=0

Jawapan

Garis bertemu lengkung di $(2,3)$ dan $(-1,0)$ . Semak pada lengkung: $(2)^{2}-1=3$ dan $(-1)^{2}-1=0$ , yang sepadan.

Q3[4 marks]

Selesaikan sistem $x+y+z=6$ , $x-y+z=2$ dan $x+y-z=0$ .

Show worked solution

Labelkan persamaan supaya mudah dijejaki: $(1)\;x+y+z=6$ , $(2)\;x-y+z=2$ , $(3)\;x+y-z=0$ . Tolak $(2)$ daripada $(1)$ ; sebutan $x$ dan $z$ terhapus dan tinggal $y$ sahaja:

(1)-(2):\; 2y=4 \;\Rightarrow\; y=2

Kini tolak $(3)$ daripada $(1)$ ; kali ini sebutan $x$ dan $y$ terhapus dan tinggal $z$ sahaja:

(1)-(3):\; 2z=6 \;\Rightarrow\; z=3

Gantikan $y=2$ dan $z=3$ ke dalam $(1)$ untuk mencari $x$ :

x+2+3=6 \;\Rightarrow\; x=1

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $x=1,\; y=2,\; z=3$ . Semak persamaan yang tidak digunakan untuk menyelesaikannya: $(2)\;1-2+3=2$ dan $(3)\;1+2-3=0$ , kedua-duanya betul.

Q4[4 marks]

Selesaikan persamaan serentak $y=x-1$ dan $x^{2}+y^{2}=25$ .

Show worked solution

Persamaan linear sudah pun mempunyai $y$ sebagai perkara rumus, jadi gantikan $y=x-1$ terus ke dalam persamaan tak linear:

x^{2}+(x-1)^{2}=25

Kembangkan kurungan dengan teliti, kekalkan sebutan tengah, dan kumpulkan sebutan serupa:

x^{2}+x^{2}-2x+1=25 \;\Rightarrow\; 2x^{2}-2x-24=0

Bahagikan semua dengan $2$ untuk mempermudah, kemudian faktorkan:

x^{2}-x-12=0 \;\Rightarrow\; (x-4)(x+3)=0

Jadi $x=4$ atau $x=-3$ . Gantikan setiap satu semula ke dalam $y=x-1$ :

x=4 \Rightarrow y=3, \qquad x=-3 \Rightarrow y=-4

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $(4,3)$ dan $(-3,-4)$ . Semak yang kedua: $(-3)^{2}+(-4)^{2}=9+16=25$ , seperti yang dikehendaki.

Q5[2 marks]

Selesaikan persamaan serentak $2x+y=9$ dan $x-y=3$ .

Show worked solution

Kedua-dua persamaan adalah linear, jadi tambahkannya terus untuk menghapuskan $y$ :

(2x+y)+(x-y)=9+3 \;\Rightarrow\; 3x=12

Bahagikan untuk mencari $x$ , kemudian gantikan semula ke dalam mana-mana persamaan untuk mencari $y$ :

x=4 \;\Rightarrow\; 4-y=3 \;\Rightarrow\; y=1

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $x=4,\;y=1$ . Semak persamaan pertama: $2(4)+1=9$ , betul.

Q6[3 marks]

Selesaikan persamaan serentak $x-y=2$ dan $x^{2}-y^{2}=20$ .

Show worked solution

Faktorkan persamaan tak linear sebagai beza dua kuasa dua, kemudian gantikan $x-y=2$ daripada persamaan linear:

x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=20 \;\Rightarrow\; 2(x+y)=20 \;\Rightarrow\; x+y=10

Selesaikan $x-y=2$ dan $x+y=10$ bersama dengan menambahnya, kemudian cari $y$ :

2x=12 \;\Rightarrow\; x=6, \quad y=4

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $x=6,\;y=4$ . Semak: $6^{2}-4^{2}=36-16=20$ , betul.

Q7[3 marks]

Selesaikan persamaan serentak $x=2y+3$ dan $y^{2}=x$ .

Show worked solution

Persamaan pertama sudah memberikan $x$ dari segi $y$ , jadi gantikannya ke dalam $y^{2}=x$ , kemudian susun semula menjadi kuadratik dan faktorkan:

y^{2}=2y+3 \;\Rightarrow\; y^{2}-2y-3=0 \;\Rightarrow\; (y-3)(y+1)=0

Jadi $y=3$ atau $y=-1$ . Gantikan setiap satu semula ke dalam $x=2y+3$ untuk memadankan nilai:

y=3 \Rightarrow x=9, \qquad y=-1 \Rightarrow x=1

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $(x,y)=(9,3)$ dan $(1,-1)$ . Semak yang kedua: $(-1)^{2}=1$ , sepadan dengan $x=1$ .

Q8[3 marks]

Selesaikan sistem $x+y+z=12$ , $x-y=2$ dan $z=4$ .

Show worked solution

Persamaan ketiga sudah memberikan $z$ secara terus, jadi gantikannya ke dalam persamaan pertama:

x+y+4=12 \;\Rightarrow\; x+y=8

Selesaikan $x+y=8$ dan $x-y=2$ bersama dengan menambahnya, kemudian cari $y$ :

2x=10 \;\Rightarrow\; x=5, \quad y=3

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $x=5,\;y=3,\;z=4$ . Semak: $5+3+4=12$ dan $5-3=2$ , kedua-duanya betul.

Tinjau semula keempat-empatnya. Dua menggunakan penggantian dan dua menggunakan penghapusan, namun kestabilan yang sama mengalir di sebaliknya: jadikan satu huruf sebagai perkara rumus atau hapuskan satu huruf, kerjakan persamaan yang terhasil dengan teliti, dan sentiasa gantikan semula untuk memadankan nilai dengan betul.

Tabiat itu menukar Sistem Persamaan menjadi blok markah yang boleh dipercayai.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih kemahiran harian yang membuka hampir setiap soalan Sistem Persamaan dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Bagi satu persamaan linear dan satu tak linear, jadikan satu huruf sebagai perkara rumus persamaan linear, kemudian gantikan ke dalam persamaan tak linear.
Penggantian meninggalkan satu kuadratik, selesaikannya dengan memfaktorkan, kemudian baca kedua-dua punca.
Sentiasa gantikan setiap punca semula ke dalam persamaan linear untuk memadankan $x$ dengan $y$ yang betul.
Bagi sistem linear tiga pemboleh ubah, tambah atau tolak persamaan secara berpasangan untuk menghapuskan satu huruf pada satu masa.
Kembangkan kurungan sepenuhnya dan kekalkan setiap sebutan tengah; $-2x$ yang tercicir ialah kesilapan paling lazim di sini.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris penggantian atau penghapusan yang jelas masih boleh memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah pada soalan seperti ini, ia hampir selalu satu tabiat kecil yang boleh dibetulkan, kurungan tercicir semasa mengembangkan $(x-1)^{2}$ , atau memadankan $x$ dengan $y$ yang salah pada akhirnya. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bila saya guna penggantian dan bila saya guna penghapusan?

Guna penggantian apabila salah satu persamaan tak linear, jadikan satu huruf sebagai perkara rumus persamaan linear dan gantikannya. Guna penghapusan bagi sistem yang setiap persamaannya linear, terutama sistem tiga pemboleh ubah.

Mengapa satu persamaan linear dan satu tak linear biasanya mempunyai dua penyelesaian?

Penggantian meninggalkan satu kuadratik, dan kuadratik boleh mempunyai dua punca. Secara geometri, garis sering memotong lengkung pada dua titik, jadi anda biasanya melaporkan dua pasangan koordinat.

Bagaimana saya memadankan nilai dengan betul pada akhirnya?

Gantikan setiap $x$ semula ke dalam persamaan linear, bukan yang tak linear. Persamaan linear memberi tepat satu $y$ bagi setiap $x$ , jadi tiada risiko silap padan.

Bagaimana saya menyemak jawapan tiga pemboleh ubah?

Gantikan ketiga-tiga nilai ke dalam satu persamaan yang tidak anda gunakan untuk menyelesaikannya. Jika persamaan itu seimbang, penyelesaian anda selamat, sebab itulah melabel persamaan $(1)$ , $(2)$ , $(3)$ berbaloi dengan masa yang diambilnya.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Sistem Persamaan, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?