方程组练习题 | SPM Add Math

Q: 怎么把 x 和 y 正确配对？

把每个 xxx 代回线性方程，求出它各自的 yyy。切勿把一个根的 xxx 与另一个根的 yyy 混在一起，那会得到一个并不同时落在两条图像上的点。

Q: 像 x=\tfrac{3}{2} 这样的分数是错的吗？

完全不是。方程组常有非整数解。只要这组解满足两个原方程，它就是对的，所以务必用代入来检验。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章方程组，从二元消元一直到一个线性方程与一个非线性方程联立求解，逐题加深。每题给自己大约六到十分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，一行方法、代入或消元，然后写出最终答案。

在你真正把完整过程写到纸上之前，别打开解答。

当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。由于 Add Math 采用分析式评分，即使最后的算术出错，一行清楚的方法仍能拿分，所以务必写出你消去或代入的那个方程。

方程组往往不止一组解，养成把每个 $x$ 与它对应的 $y$ 配好，并把每一组解代回两个方程检验的习惯。

六道练习题

Q1[3 marks]

解联立方程 $2x+3y=13$ 与 $x+y=5$ 。

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用消元法。把第二个方程乘以 $2$ ，使 $x$ 项与第一个方程一致：

2x+3y=13 \qquad 2(x+y)=2(5) \;\Rightarrow\; 2x+2y=10

用第一个方程减去新方程，消去 $x$ ，只剩一个未知数：

(2x+3y)-(2x+2y)=13-10 \;\Rightarrow\; y=3

把 $y=3$ 代回 $x+y=5$ ：

x+3=5 \;\Rightarrow\; x=2

答案

$x=2$ ， $y=3$ 。代回第一个方程检验： $2(2)+3(3)=4+9=13$ ，与要求一致。

Q2[4 marks]

解联立方程 $y=x+2$ 与 $y=x^{2}$ 。

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一个是线性方程，一个是曲线，所以把线性式代入曲线。由于两者都等于 $y$ ，令它们相等：

x^{2}=x+2

把所有项移到一边组成二次方程，再因式分解：

x^{2}-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=2 \;\text{或}\; x=-1

用线性方程 $y=x+2$ 求出每个 $x$ 对应的 $y$ ：

x=2 \;\Rightarrow\; y=4 \qquad x=-1 \;\Rightarrow\; y=1

答案

$(x,y)=(2,4)$ 或 $(-1,1)$ 。检验 $(2,4)$ ： $4=2+2$ 且 $4=2^{2}$ ，都成立； $(-1,1)$ ： $1=-1+2$ 且 $1=(-1)^{2}$ ，都成立。

Q3[5 marks]

解三元一次方程组： $x+y+z=6$ ， $2x+y-z=1$ ， $x+2y+z=8$ 。

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把方程标记为 (1)、(2)、(3)。用 (3) 减 (1)，因为 $x$ 与 $z$ 在这两式中出现得完全相同，可一次消去两者：

(x+2y+z)-(x+y+z)=8-6 \;\Rightarrow\; y=2

把 $y=2$ 代回 (1) 与 (2)，得到关于 $x$ 与 $z$ 的两个方程：

x+z=4 \qquad 2x-z=1-2=-1

把这两式相加以消去 $z$ ，再求解并代回：

(x+z)+(2x-z)=4+(-1) \;\Rightarrow\; 3x=3 \;\Rightarrow\; x=1 \;\Rightarrow\; z=3

答案

$x=1$ ， $y=2$ ， $z=3$ 。代入 (2) 检验： $2(1)+2-3=1$ ，正确；代入 (3)： $1+2(2)+3=8$ ，正确。

Q4[5 marks]

解联立方程 $y=x+1$ 与 $x^{2}+y^{2}=25$ 。

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把线性方程代入非线性方程，用 $x+1$ 替换 $y$ ：

x^{2}+(x+1)^{2}=25

展开并化简为标准二次式：

x^{2}+x^{2}+2x+1=25 \;\Rightarrow\; 2x^{2}+2x-24=0 \;\Rightarrow\; x^{2}+x-12=0

因式分解并解出 $x$ ：

(x+4)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=-4 \;\text{或}\; x=3

由 $y=x+1$ 求出每个对应的 $y$ ：

x=3 \;\Rightarrow\; y=4 \qquad x=-4 \;\Rightarrow\; y=-3

答案

$(x,y)=(3,4)$ 或 $(-4,-3)$ 。检验 $(3,4)$ ： $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ ； $(-4,-3)$ ： $(-4)^{2}+(-3)^{2}=16+9=25$ 。

两组都满足这个圆。

Q5[5 marks]

$3$ 本笔记本和 $2$ 支笔的总价是 RM $13$ 。 $5$ 本笔记本和 $2$ 支笔的总价是 RM $19$ 。

求一本笔记本和一支笔的价格。

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设一本笔记本的价格为 $x$ ，一支笔为 $y$ ，都以令吉为单位。把每句话化成方程：

3x+2y=13 \qquad 5x+2y=19

两式的 $2y$ 项相同，所以用第二式减第一式消去 $y$ ：

(5x+2y)-(3x+2y)=19-13 \;\Rightarrow\; 2x=6 \;\Rightarrow\; x=3

把 $x=3$ 代回第一个方程：

3(3)+2y=13 \;\Rightarrow\; 9+2y=13 \;\Rightarrow\; 2y=4 \;\Rightarrow\; y=2

答案

一本笔记本 RM $3$ ，一支笔 RM $2$ 。检验第二个方程： $5(3)+2(2)=15+4=19$ ，与要求一致。

答案要用题目的话说清楚，而不只是写数字。

Q6[6 marks]

解联立方程 $2x+y=7$ 与 $xy=6$ 。

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把线性方程中的 $y$ 解出作为主项，再代入乘积方程。由 $2x+y=7$ ：

y=7-2x

代入 $xy=6$ 并展开：

x(7-2x)=6 \;\Rightarrow\; 7x-2x^{2}=6

整理成标准式。这是首项系数不为一的二次式，要仔细因式分解：

2x^{2}-7x+6=0 \;\Rightarrow\; (2x-3)(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x=\tfrac{3}{2} \;\text{或}\; x=2

由 $y=7-2x$ 求出每个对应的 $y$ ：

x=2 \;\Rightarrow\; y=3 \qquad x=\tfrac{3}{2} \;\Rightarrow\; y=7-3=4

答案

$(x,y)=(2,3)$ 或 $\left(\tfrac{3}{2},4\right)$ 。检验乘积： $2\times 3=6$ ， $\tfrac{3}{2}\times 4=6$ ，都正确。

非整数答案不是错误，因式 $(2x-3)$ 自然给出 $x=\tfrac{3}{2}$ 。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那些数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看是否用对了方法、代入或消元是否正确、解是否成对完整。

方法分：你是否写出了正确的步骤，为消元而作的倍乘，或把某个变量解为主项再代入？
化简分：化出的单变量方程是否正确，若是二次式是否整理成标准式？
配对分：你是否为每个值都求出了对应的第二个变量，使每组解都成对完整？
答案分：所有解对是否清楚写出，并代回两个原方程检验？
如果最后的数字错了但方法那一行对，就给自己方法分，真正的考官正是这么做的。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，漏掉的第二组解，或者展开括号时的符号错误，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

什么时候消元，什么时候代入？

对两个线性方程，把其中一式倍乘使一对项一致，再相加或相减来消去一个变量。当其中一个方程是非线性时，把线性方程中的一个变量解为主项，代入另一个方程。

为什么线性与非线性联立常有两组解？

代入通常会产生一个二次方程，它可以有两个根。每个根是某个变量的一个值，并各自配上另一个变量对应的值，所以你通常报告两组完整的 $(x,y)$ 。

怎么把

x

和

y

正确配对？

把每个 $x$ 代回线性方程，求出它各自的 $y$ 。切勿把一个根的 $x$ 与另一个根的 $y$ 混在一起，那会得到一个并不同时落在两条图像上的点。

像

x=\tfrac{3}{2}

这样的分数是错的吗？

完全不是。方程组常有非整数解。

只要这组解满足两个原方程，它就是对的，所以务必用代入来检验。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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