Sistem Persamaan Soalan Latihan

Q: Bagaimana saya memasangkan x dan y dengan betul?

Gantikan setiap xxx semula ke dalam persamaan linear untuk memperoleh yyy tersendirinya. Jangan sekali-kali mencampurkan xxx daripada satu punca dengan yyy daripada punca lain, itu memberi titik yang tidak terletak pada kedua-dua graf.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab Sistem Persamaan, daripada penghapusan dua pemboleh ubah hingga satu persamaan linear diselesaikan bersama satu persamaan tak linear. Beri diri anda kira-kira enam hingga sepuluh minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, satu baris kaedah, penggantian atau penghapusan, kemudian jawapan akhir.

Jangan buka penyelesaian sehingga anda benar-benar menulis percubaan penuh di atas kertas.

Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang. Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, satu baris kaedah yang jelas masih memperoleh markah walaupun aritmetik akhir tergelincir, jadi tunjukkan persamaan yang anda hapuskan atau gantikan ke dalamnya.

Sistem selalunya mempunyai lebih daripada satu pasangan penyelesaian, biasakan memasangkan setiap $x$ dengan $y$ sepadannya, dan menyemak setiap pasangan dalam kedua-dua persamaan.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Selesaikan persamaan serentak $2x+3y=13$ dan $x+y=5$ .

Show worked solution

Guna penghapusan. Darab persamaan kedua dengan $2$ supaya sebutan $x$ sepadan dengan persamaan pertama:

2x+3y=13 \qquad 2(x+y)=2(5) \;\Rightarrow\; 2x+2y=10

Tolak persamaan baru daripada yang pertama untuk menghapuskan $x$ , meninggalkan satu anu:

(2x+3y)-(2x+2y)=13-10 \;\Rightarrow\; y=3

Gantikan semula $y=3$ ke dalam $x+y=5$ :

x+3=5 \;\Rightarrow\; x=2

Jawapan

$x=2$ , $y=3$ . Semak dalam persamaan pertama: $2(2)+3(3)=4+9=13$ , seperti yang dikehendaki.

Q2[4 marks]

Selesaikan persamaan serentak $y=x+2$ dan $y=x^{2}$ .

Show worked solution

Satu persamaan linear dan satu lengkung, jadi gantikan ungkapan linear ke dalam lengkung. Oleh sebab kedua-duanya bersamaan $y$ , samakan keduanya:

x^{2}=x+2

Bawa semua ke satu belah untuk membentuk kuadratik, kemudian faktorkan:

x^{2}-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=2 \;\text{atau}\; x=-1

Cari $y$ sepadan bagi setiap $x$ menggunakan persamaan linear $y=x+2$ :

x=2 \;\Rightarrow\; y=4 \qquad x=-1 \;\Rightarrow\; y=1

Jawapan

$(x,y)=(2,4)$ atau $(-1,1)$ . Semak $(2,4)$ : $4=2+2$ dan $4=2^{2}$ , kedua-duanya benar; dan $(-1,1)$ : $1=-1+2$ dan $1=(-1)^{2}$ , kedua-duanya benar.

Q3[5 marks]

Selesaikan sistem tiga persamaan linear: $x+y+z=6$ , $2x+y-z=1$ , dan $x+2y+z=8$ .

Show worked solution

Labelkan persamaan sebagai (1), (2), (3). Tolak (1) daripada (3) untuk menyingkirkan kedua-dua $x$ dan $z$ sekaligus, kerana keduanya muncul serupa dalam dua persamaan itu:

(x+2y+z)-(x+y+z)=8-6 \;\Rightarrow\; y=2

Masukkan semula $y=2$ ke dalam (1) dan (2) untuk memperoleh dua persamaan dalam $x$ dan $z$ :

x+z=4 \qquad 2x-z=1-2=-1

Tambah kedua-dua ini untuk menghapuskan $z$ , kemudian selesaikan dan gantikan semula:

(x+z)+(2x-z)=4+(-1) \;\Rightarrow\; 3x=3 \;\Rightarrow\; x=1 \;\Rightarrow\; z=3

Jawapan

$x=1$ , $y=2$ , $z=3$ . Semak dalam (2): $2(1)+2-3=1$ , betul; dan dalam (3): $1+2(2)+3=8$ , betul.

Q4[5 marks]

Selesaikan persamaan serentak $y=x+1$ dan $x^{2}+y^{2}=25$ .

Show worked solution

Gantikan persamaan linear ke dalam yang tak linear, menggantikan $y$ dengan $x+1$ :

x^{2}+(x+1)^{2}=25

Kembangkan dan permudahkan kepada bentuk kuadratik piawai:

x^{2}+x^{2}+2x+1=25 \;\Rightarrow\; 2x^{2}+2x-24=0 \;\Rightarrow\; x^{2}+x-12=0

Faktorkan dan selesaikan untuk $x$ :

(x+4)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=-4 \;\text{atau}\; x=3

Cari setiap $y$ sepadan daripada $y=x+1$ :

x=3 \;\Rightarrow\; y=4 \qquad x=-4 \;\Rightarrow\; y=-3

Jawapan

$(x,y)=(3,4)$ atau $(-4,-3)$ . Semak $(3,4)$ : $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ ; dan $(-4,-3)$ : $(-4)^{2}+(-3)^{2}=16+9=25$ .

Kedua-dua pasangan memenuhi bulatan itu.

Q5[5 marks]

Jumlah harga $3$ buku nota dan $2$ pen ialah RM $13$ . Jumlah harga $5$ buku nota dan $2$ pen ialah RM $19$ .

Cari harga sebuah buku nota dan harga sebatang pen.

Show worked solution

Biarkan harga sebuah buku nota ialah $x$ dan sebatang pen ialah $y$ , kedua-duanya dalam ringgit. Tukar setiap ayat kepada persamaan:

3x+2y=13 \qquad 5x+2y=19

Sebutan $2y$ adalah serupa, jadi tolak persamaan pertama daripada kedua untuk menghapuskan $y$ :

(5x+2y)-(3x+2y)=19-13 \;\Rightarrow\; 2x=6 \;\Rightarrow\; x=3

Gantikan semula $x=3$ ke dalam persamaan pertama:

3(3)+2y=13 \;\Rightarrow\; 9+2y=13 \;\Rightarrow\; 2y=4 \;\Rightarrow\; y=2

Jawapan

Sebuah buku nota berharga RM $3$ dan sebatang pen berharga RM $2$ . Semak persamaan kedua: $5(3)+2(2)=15+4=19$ , seperti yang dikehendaki.

Sentiasa nyatakan jawapan dalam perkataan soalan, bukan hanya sebagai nombor.

Q6[6 marks]

Selesaikan persamaan serentak $2x+y=7$ dan $xy=6$ .

Show worked solution

Jadikan $y$ sebagai perkara rumus persamaan linear, kemudian gantikan ke dalam persamaan hasil darab. Daripada $2x+y=7$ :

y=7-2x

Gantikan ke dalam $xy=6$ dan kembangkan:

x(7-2x)=6 \;\Rightarrow\; 7x-2x^{2}=6

Susun semula kepada bentuk piawai. Ini kuadratik dengan pekali pendahulu bukan satu, jadi faktorkan dengan teliti:

2x^{2}-7x+6=0 \;\Rightarrow\; (2x-3)(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x=\tfrac{3}{2} \;\text{atau}\; x=2

Cari setiap $y$ sepadan daripada $y=7-2x$ :

x=2 \;\Rightarrow\; y=3 \qquad x=\tfrac{3}{2} \;\Rightarrow\; y=7-3=4

Jawapan

$(x,y)=(2,3)$ atau $\left(\tfrac{3}{2},4\right)$ . Semak hasil darab: $2\times 3=6$ dan $\tfrac{3}{2}\times 4=6$ , kedua-duanya betul.

Jawapan bukan integer bukanlah kesilapan, faktor $(2x-3)$ hanya memberi $x=\tfrac{3}{2}$ .

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari kaedah yang betul dimulakan, penggantian atau penghapusan yang tepat, dan pasangan penyelesaian yang lengkap.

Markah kaedah: adakah anda menulis gerak yang betul, pendaraban untuk menghapuskan, atau menjadikan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus dan menggantikan?
Markah penurunan: adakah persamaan satu pemboleh ubah yang terhasil betul, dan diturunkan kepada bentuk piawai jika ia kuadratik?
Markah pasangan: adakah anda mencari pemboleh ubah kedua yang sepadan bagi setiap nilai, supaya setiap penyelesaian ialah pasangan lengkap?
Markah jawapan: adakah semua pasangan penyelesaian dinyatakan dengan jelas dan disemak dalam kedua-dua persamaan asal?
Jika nombor akhir anda salah tetapi baris kaedah betul, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, pasangan penyelesaian kedua yang terlupa, atau ralat tanda semasa mengembangkan kurungan, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bila saya menghapus, dan bila saya menggantikan?

Bagi dua persamaan linear, hapuskan satu pemboleh ubah dengan mendarabkan satu persamaan supaya sepasang sebutan sepadan, kemudian tambah atau tolak. Apabila satu persamaan tak linear, jadikan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus persamaan linear dan gantikan ke dalam yang satu lagi.

Mengapa sistem linear-dan-tak-linear selalu mempunyai dua penyelesaian?

Penggantian biasanya menghasilkan kuadratik, yang boleh mempunyai dua punca. Setiap punca ialah nilai bagi satu pemboleh ubah, dan ia berpasangan dengan nilai tersendirinya bagi yang lain, jadi anda lazimnya melaporkan dua pasangan $(x,y)$ yang lengkap.

Bagaimana saya memasangkan

x

dan

y

dengan betul?

Gantikan setiap $x$ semula ke dalam persamaan linear untuk memperoleh $y$ tersendirinya. Jangan sekali-kali mencampurkan $x$ daripada satu punca dengan $y$ daripada punca lain, itu memberi titik yang tidak terletak pada kedua-dua graf.

Adakah pecahan seperti

x=\tfrac{3}{2}

jawapan yang salah?

Sama sekali tidak. Sistem persamaan selalu mempunyai penyelesaian bukan integer.

Selagi pasangan itu memenuhi kedua-dua persamaan asal, ia betul, jadi sentiasa semak dengan penggantian.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Sistem Persamaan, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?