三角形的解，例题（中等）

你有一对完整的边与对角 $a$ 和 $A$，还有边 $b$，所以从正弦定理起步求 $\angle B$。把正弦写在上面，未知角就容易单独解出：

$$\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}\;\Rightarrow\; \sin B=\dfrac{b\sin A}{a}$$

代入 $b = 6$、$A = 70^{\circ}$ 与 $a = 9$，取 $\sin 70^{\circ}=0.9397$：

$$\sin B=\dfrac{6\sin 70^{\circ}}{9}=\dfrac{6\times0.9397}{9}=\dfrac{5.6382}{9}=0.6265$$

取反正弦。由于 $a = 9$ 比 $b = 6$ 长，角 $A$ 大于 $B$；而 $A = 70^{\circ}$ 就迫使 $B$ 是锐角，所以取那个锐角值：

$$B=\sin^{-1}(0.6265)=38.79^{\circ}$$

三个角之和为 $180^{\circ}$，所以 $\angle C$ 就是剩下的部分：

$$C=180^{\circ}-70^{\circ}-38.79^{\circ}=71.21^{\circ}$$

现在回到正弦定理求边 $c$，把它和 $C$ 配成一对：

$$c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{9\sin 71.21^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}=\dfrac{9\times0.9467}{0.9397}=9.07$$

面积公式 $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ 需要一个角，但题目只给了边，所以先用余弦定理还原一个角。把三边标为 $a = 5$、$b = 6$、$c = 7$；那么夹在 $a$ 和 $b$ 之间的角 $C$ 就对着边 $c = 7$：

$$\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\dfrac{5^{2}+6^{2}-7^{2}}{2(5)(6)}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=0.2$$

这给出 $C=\cos^{-1}(0.2)=78.46^{\circ}$。面积需要 $\sin C$；可直接从计算器读出，或由 $\sin^{2}C+\cos^{2}C=1$ 求得：

$$\sin C=\sqrt{1-0.2^{2}}=\sqrt{0.96}=0.9798$$

现在用夹住 $C$ 的那两条边 $a = 5$ 与 $b = 6$ 代入面积公式：

$$\text{面积}=\tfrac{1}{2}ab\sin C=\tfrac{1}{2}(5)(6)(0.9798)=15\times0.9798=14.70$$

按各自所对的顶点给边命名：$BC = a$ 对 $A$，$AC = b = 10$ 对 $B$，$AB = c = 6$ 对 $C$。你有两条边和夹角 $A$，所以余弦定理给出 $BC$：

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=10^{2}+6^{2}-2(10)(6)\cos 120^{\circ}$$

这个角是钝角，所以 $\cos 120^{\circ}=-0.5$；减去一个负数，中间那一项就变成相加：

$$a^{2}=100+36-120(-0.5)=136+60=196\;\Rightarrow\; a=\sqrt{196}=14$$

所以 $BC = 14$ 米。求 $B$ 处的角，用正弦定理，把 $\angle B$ 和它所对的边 $b = 10$ 配成一对：

$$\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{10\sin 120^{\circ}}{14}=\dfrac{10\times0.8660}{14}=0.6186$$

由于 $a = 14$ 是最长的边，$A = 120^{\circ}$ 是最大的角，所以 $B$ 必是锐角，取锐角值：

$$B=\sin^{-1}(0.6186)=38.21^{\circ}$$

已知两个角，第三个角立刻由内角和求得，三个角都确定后，正弦定理就能把已知边 $AB$ 与两条未知边联系起来。

$$C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 75^{\circ} = 65^{\circ}$$

边 $AB = c$ 对着 $C$，把它和 $C$ 配成一对代入正弦定理，求出 $A$ 所对的边 $a = BC$：

$$a=\dfrac{c\sin A}{\sin C}=\dfrac{12\sin 40^{\circ}}{\sin 65^{\circ}}=\dfrac{12\times0.6428}{0.9063}=\dfrac{7.7136}{0.9063}=8.51$$

用同一比值，改配 $B$，就得到 $B$ 所对的边 $b = AC$：

$$b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}=\dfrac{12\sin 75^{\circ}}{\sin 65^{\circ}}=\dfrac{12\times0.9659}{0.9063}=\dfrac{11.5908}{0.9063}=12.79$$

面积公式用到的是两条已知边所夹的角，所以先把公式变形，单独解出 $\sin X$。

$$\text{面积}=\tfrac{1}{2}(XY)(XZ)\sin X\;\Rightarrow\;15=\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin X=20\sin X$$

解出 $\sin X$，再取锐角的反正弦，因为题目要求的是锐角：

$$\sin X=\dfrac{15}{20}=0.75\;\Rightarrow\;X=\sin^{-1}(0.75)=48.59^{\circ}$$

有了 $X$，用余弦定理，仍是夹住它的那两条边，求出第三边 $YZ$：

$$YZ^{2}=XY^{2}+XZ^{2}-2(XY)(XZ)\cos X=8^{2}+5^{2}-80(0.6614)=89-52.91=36.09\;\Rightarrow\;YZ=\sqrt{36.09}=6.01$$

对角线 $AC$ 把四边形分成两个共用这条边的三角形。先从三角形 $ABC$ 求 $AC$，那里两条边与夹角都是已知的：

$$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2(AB)(BC)\cos(\angle ABC)=6^{2}+8^{2}-2(6)(8)\cos100^{\circ}$$

$$AC^{2}=100-96(-0.1736)=100+16.67=116.67\;\Rightarrow\;AC=\sqrt{116.67}=10.80$$

这个 $AC$ 的值现在成为三角形 $ACD$ 的已知边，此时三条边都已知。再次使用余弦定理，这次求 $\angle ADC$，也就是 $AC$ 所对的角：

$$\cos(\angle ADC)=\dfrac{CD^{2}+DA^{2}-AC^{2}}{2(CD)(DA)}=\dfrac{7^{2}+9^{2}-10.80^{2}}{2(7)(9)}=\dfrac{130-116.67}{126}=0.1058$$

$$\angle ADC=\cos^{-1}(0.1058)=83.93^{\circ}$$

两个方位角都是从同一点 $O$ 量起的，所以它们之间的夹角就是两者之差：

$$\angle AOB = 100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}$$

$O$ 处的两条边与夹角现在都已知，余弦定理就能求出 $AB$：

$$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2(OA)(OB)\cos(\angle AOB)=10^{2}+7^{2}-140\cos70^{\circ}=149-140(0.3420)=101.12$$

$$AB=\sqrt{101.12}=10.06$$

要求 $O$ 到直线 $AB$ 的最短距离，把三角形 $OAB$ 的面积写成两种形式，一种用两边及夹角，一种写成 $\tfrac{1}{2}\times AB\times h$，再令两者相等：

$$\text{面积}=\tfrac{1}{2}(OA)(OB)\sin(\angle AOB)=\tfrac{1}{2}(10)(7)\sin70^{\circ}=35(0.9397)=32.89$$

$$h=\dfrac{2\times\text{面积}}{AB}=\dfrac{2(32.89)}{10.06}=\dfrac{65.78}{10.06}=6.54$$

设 $AB = AC = x$。余弦定理把底边 $BC$ 与 $x$ 及顶角联系起来：

$$BC^{2}=x^{2}+x^{2}-2x^{2}\cos80^{\circ}=2x^{2}(1-0.1736)=1.6528x^{2}\;\Rightarrow\;BC=1.2856x$$

周长给出第二个把 $x$ 与 $BC$ 联系起来的方程。代入 $BC$ 的表达式，解出 $x$：

$$2x+BC=32\;\Rightarrow\;2x+1.2856x=32\;\Rightarrow\;3.2856x=32\;\Rightarrow\;x=9.74$$

代回求 $BC$：

$$BC=1.2856(9.74)=12.52$$