Penyelesaian Segi Tiga Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Apabila petua sinus memberi sudut, bagaimana saya tahu ia tirus atau cakah?

Bandingkan sisi. Sudut terbesar menghadap sisi terpanjang, dan hanya satu sudut dalam segi tiga boleh cakah. Jika sisi bertentangan sudut anda bukan yang terpanjang, sudut itu mestilah tirus, jadi ambil nilai yang diberi kalkulator. Kes dua-jawapan yang sebenar hanya timbul dalam keadaan kabur (SSA), yang diliputi dalam set sukar.

Q: Bolehkah saya mencari luas daripada tiga sisi tanpa sudut?

Boleh dengan hasil darab semi-perimeter s(s−a)(s−b)(s−c)\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}s(s−a)(s−b)(s−c), dan ia menjadi semakan yang baik. Namun dalam kaedah Add Math, pulihkan sudut dengan petua kosinus dan gunakan 12absin⁡C\tfrac{1}{2}ab\sin C21absinC; kedua-dua laluan memberi luas yang sama, seperti ditunjukkan Contoh 2.

Q: Mengapa sebutan petua kosinus bertambah bukannya menolak dalam Contoh 3?

Kerana sudut kandungnya cakah. Bagi 120∘120^{\circ}120∘, cos⁡120∘=−0.5\cos 120^{\circ}=-0.5cos120∘=−0.5, jadi −2bccos⁡A-2bc\cos A−2bccosA menjadi +2bc(0.5)+2bc(0.5)+2bc(0.5). Sisi bertentangan sudut cakah sentiasa yang terpanjang, sebab itu BC=14BC = 14BC=14 keluar lebih besar daripada kedua-dua sisi yang diberi.

Q: Berapa tepat sudut perantaraan saya patut?

Simpan sekurang-kurangnya satu atau dua tempat perpuluhan lebih pada sudut perantaraan daripada yang anda mahu dalam jawapan akhir, dan bundarkan hanya pada penghujung. Menyuap sudut yang dibundarkan berat semula ke dalam petua sinus atau kosinus ialah cara paling biasa kaedah yang betul masih mendarat pada nilai akhir yang tersasar sedikit.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Penyelesaian Segi Tiga sederhana ini meminta anda merangkai dua langkah, bukan satu. Anda akan mencari sudut dengan petua sinus kemudian menggunakan hasil tambah sudut untuk sampai ke kuantiti ketiga; mencari luas segi tiga apabila hanya ketiga-tiga sisi diberi, dengan memulihkan sudut dahulu; dan menyelesaikan segi tiga daripada dua sisi serta sudut kandungnya, bergerak daripada petua kosinus ke petua sinus.

Setiap satu masih menggunakan nombor kecil dan kemas supaya penaakulan kekal kelihatan sementara kalkulator membuat trigonometri. Gunakan set ini dengan jujur, tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris dengan kerja kami.

Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah; pada tahap ini biasanya ia pasangan yang tersalah padan atau hasil tambah sudut yang tidak dibawa terus. Lakaran berlabel memastikan setiap sisi menuju sudut yang menghadapnya.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana setiap jawapan menjadi input kepada langkah seterusnya, sudut menyuap hasil tambah sudut, sudut yang dipulihkan menyuap rumus luas, sisi baharu menyuap petua sinus.

Q1[5 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $a = 9$ cm, $b = 6$ cm dan $\angle A = 70^{\circ}$ . Cari $\angle B$ , $\angle C$ dan panjang sisi $c$ .

Show worked solution

Anda mempunyai pasangan sisi–sudut yang lengkap $a$ dan $A$ , serta sisi $b$ , jadi mulakan dengan petua sinus untuk mencari $\angle B$ . Tuliskannya dengan sinus di atas supaya sudut yang tidak diketahui mudah diasingkan:

\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}\;\Rightarrow\; \sin B=\dfrac{b\sin A}{a}

Gantikan $b = 6$ , $A = 70^{\circ}$ dan $a = 9$ , dengan $\sin 70^{\circ}=0.9397$ :

\sin B=\dfrac{6\sin 70^{\circ}}{9}=\dfrac{6\times0.9397}{9}=\dfrac{5.6382}{9}=0.6265

Ambil sinus songsang. Oleh sebab $a = 9$ lebih panjang daripada $b = 6$ , sudut $A$ lebih besar daripada $B$ ; dengan $A = 70^{\circ}$ itu memaksa $B$ menjadi tirus, jadi nilai tirus itulah yang kita mahu:

B=\sin^{-1}(0.6265)=38.79^{\circ}

Ketiga-tiga sudut berjumlah $180^{\circ}$ , jadi $\angle C$ ialah bakinya:

C=180^{\circ}-70^{\circ}-38.79^{\circ}=71.21^{\circ}

Sekarang kembali kepada petua sinus untuk sisi $c$ , pasangkannya dengan $C$ :

c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{9\sin 71.21^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}=\dfrac{9\times0.9467}{0.9397}=9.07

Jawapan

$\angle B = 38.79^{\circ}$ , $\angle C = 71.21^{\circ}$ dan $c = 9.07$ cm (2 t.p.). Semak $c$ dengan cara bebas menggunakan petua kosinus: $c^{2}=9^{2}+6^{2}-2(9)(6)\cos 71.21^{\circ}=117-34.79=82.21$ , jadi $c=\sqrt{82.21}=9.07$ , yang sepadan.

Q2[4 marks]

Suatu segi tiga mempunyai sisi $5$ cm, $6$ cm dan $7$ cm. Cari luasnya, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Rumus luas $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ memerlukan sudut, tetapi anda hanya diberi sisi, jadi pulihkan sudut dahulu dengan petua kosinus. Labelkan sisi $a = 5$ , $b = 6$ dan $c = 7$ ; maka sudut $C$ antara $a$ dan $b$ menghadap sisi $c = 7$ :

\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\dfrac{5^{2}+6^{2}-7^{2}}{2(5)(6)}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=0.2

Ini memberi $C=\cos^{-1}(0.2)=78.46^{\circ}$ . Untuk luas anda perlukan $\sin C$ ; baca terus daripada kalkulator, atau daripada $\sin^{2}C+\cos^{2}C=1$ :

\sin C=\sqrt{1-0.2^{2}}=\sqrt{0.96}=0.9798

Sekarang gunakan rumus luas dengan dua sisi yang mengandung $C$ , iaitu $a = 5$ dan $b = 6$ :

\text{Luas}=\tfrac{1}{2}ab\sin C=\tfrac{1}{2}(5)(6)(0.9798)=15\times0.9798=14.70

Jawapan

Luasnya ialah $14.70$ cm $^{2}$ (2 t.p.). Anda boleh mengesahkannya tanpa sebarang sudut menggunakan semi-perimeter $s=\tfrac{5+6+7}{2}=9$ : hasil darab $9(9-5)(9-6)(9-7)=9\times4\times3\times2=216$ , dan $\sqrt{216}=14.70$ , yang sepadan.

Q3[5 marks]

Suatu petak taman segi tiga $ABC$ mempunyai $AB = 6$ m, $AC = 10$ m dan sudut di $A$ antara kedua-dua sisi ini ialah $120^{\circ}$ . Cari panjang $BC$ dan saiz sudut di $B$ .

Show worked solution

Namakan sisi mengikut bucu yang bertentangan dengan setiap satu: $BC = a$ menghadap $A$ , $AC = b = 10$ menghadap $B$ , dan $AB = c = 6$ menghadap $C$ . Anda mempunyai dua sisi dan sudut kandung $A$ , jadi petua kosinus memberi $BC$ :

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=10^{2}+6^{2}-2(10)(6)\cos 120^{\circ}

Sudutnya cakah, jadi $\cos 120^{\circ}=-0.5$ ; menolak nombor negatif menjadikan sebutan tengah suatu tambahan:

a^{2}=100+36-120(-0.5)=136+60=196\;\Rightarrow\; a=\sqrt{196}=14

Jadi $BC = 14$ m. Untuk sudut di $B$ , gunakan petua sinus, pasangkan $\angle B$ dengan sisi yang dihadapnya, $b = 10$ :

\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{10\sin 120^{\circ}}{14}=\dfrac{10\times0.8660}{14}=0.6186

Oleh sebab $a = 14$ ialah sisi terpanjang, $A = 120^{\circ}$ ialah sudut terbesar, jadi $B$ mestilah tirus, ambil nilai tirus:

B=\sin^{-1}(0.6186)=38.21^{\circ}

Jawapan

$BC = 14$ m dan sudut di $B$ ialah $38.21^{\circ}$ (2 t.p.). Semak dengan hasil tambah sudut: sudut ketiga ialah $180^{\circ}-120^{\circ}-38.21^{\circ}=21.79^{\circ}$ , dan petua sinus mengesahkannya, kerana $\sin 21.79^{\circ}\div 6 = 0.0619 = \sin 120^{\circ}\div 14$ .

Q4[4 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $\angle A = 40^{\circ}$ , $\angle B = 75^{\circ}$ dan sisi $AB = 12$ cm. Cari panjang $BC$ dan $AC$ .

Show worked solution

Dua sudut sudah diketahui, jadi yang ketiga terus terhasil daripada hasil tambah sudut, dan sebaik ketiga-tiga sudut tetap, petua sinus menghubungkan sisi yang diketahui $AB$ dengan kedua-dua sisi yang tidak diketahui.

C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 75^{\circ} = 65^{\circ}

Sisi $AB = c$ menghadap $C$ , jadi pasangkannya dengan $C$ dalam petua sinus dan selesaikan untuk $a = BC$ , sisi bertentangan $A$ :

a=\dfrac{c\sin A}{\sin C}=\dfrac{12\sin 40^{\circ}}{\sin 65^{\circ}}=\dfrac{12\times0.6428}{0.9063}=\dfrac{7.7136}{0.9063}=8.51

Nisbah yang sama, dipasangkan dengan $B$ , memberi $b = AC$ , sisi bertentangan $B$ :

b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}=\dfrac{12\sin 75^{\circ}}{\sin 65^{\circ}}=\dfrac{12\times0.9659}{0.9063}=\dfrac{11.5908}{0.9063}=12.79

Jawapan

$BC = 8.51$ cm dan $AC = 12.79$ cm (2 t.p.). Semak: kedua-dua keputusan berkongsi satu nisbah: $8.51\div\sin40^{\circ}=13.24$ dan $12.79\div\sin75^{\circ}=13.24$ , sepadan dengan $c\div\sin C = 12\div0.9063=13.24$ seperti yang dituntut petua sinus.

Q5[3 marks]

Segi tiga $XYZ$ mempunyai $XY = 8$ cm, $XZ = 5$ cm, dan luas $15$ cm $^{2}$ . Cari sudut tirus $X$ , dan seterusnya panjang $YZ$ .

Show worked solution

Rumus luas menggunakan sudut yang dikandung oleh dua sisi yang diberi, jadi susun semula untuk mengasingkan $\sin X$ dahulu.

\text{Luas}=\tfrac{1}{2}(XY)(XZ)\sin X\;\Rightarrow\;15=\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin X=20\sin X

Selesaikan untuk $\sin X$ , kemudian ambil sinus songsang tirus, kerana soalan meminta sudut tirus:

\sin X=\dfrac{15}{20}=0.75\;\Rightarrow\;X=\sin^{-1}(0.75)=48.59^{\circ}

Dengan $X$ diketahui, petua kosinus, menggunakan dua sisi yang sama yang mengandungnya, memberi sisi ketiga $YZ$ :

YZ^{2}=XY^{2}+XZ^{2}-2(XY)(XZ)\cos X=8^{2}+5^{2}-80(0.6614)=89-52.91=36.09\;\Rightarrow\;YZ=\sqrt{36.09}=6.01

Jawapan

$X = 48.59^{\circ}$ dan $YZ = 6.01$ cm (2 t.p.). Semak dengan rumus Heron menggunakan ketiga-tiga sisi $8, 5, 6.01$ : semi-perimeter $s\approx9.51$ , dan $\sqrt{s(s-8)(s-5)(s-6.01)}\approx15.0$ cm $^{2}$ , sepadan dengan luas yang diberi.

Q6[4 marks]

Sisi empat $ABCD$ mempunyai $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm, $\angle ABC = 100^{\circ}$ , $CD = 7$ cm dan $DA = 9$ cm. Dengan melukis pepenjuru $AC$ , cari panjang $AC$ dan saiz $\angle ADC$ .

Show worked solution

Pepenjuru $AC$ membahagikan sisi empat itu kepada dua segi tiga yang berkongsi satu sisi itu. Cari $AC$ dahulu, daripada segi tiga $ABC$ , di mana dua sisi dan sudut kandungnya diketahui:

AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2(AB)(BC)\cos(\angle ABC)=6^{2}+8^{2}-2(6)(8)\cos100^{\circ}

AC^{2}=100-96(-0.1736)=100+16.67=116.67\;\Rightarrow\;AC=\sqrt{116.67}=10.80

Nilai $AC$ ini kini menjadi sisi yang diketahui bagi segi tiga $ACD$ , di mana ketiga-tiga sisi sudah diketahui. Gunakan petua kosinus sekali lagi, kali ini untuk mencari $\angle ADC$ , sudut yang menghadap $AC$ :

\cos(\angle ADC)=\dfrac{CD^{2}+DA^{2}-AC^{2}}{2(CD)(DA)}=\dfrac{7^{2}+9^{2}-10.80^{2}}{2(7)(9)}=\dfrac{130-116.67}{126}=0.1058

\angle ADC=\cos^{-1}(0.1058)=83.93^{\circ}

Jawapan

$AC = 10.80$ cm dan $\angle ADC = 83.93^{\circ}$ (2 t.p.). Semakan: $CD^{2}+DA^{2}=130$ hampir dengan $AC^{2}=116.67$ , jadi $\cos(\angle ADC)$ terhasil kecil dan positif, sudut itu berada sedikit di bawah $90^{\circ}$ , tepat seperti yang dijangka bagi pepenjuru yang panjangnya setanding dengan sisi yang mengandunginya.

Q7[4 marks]

Daripada satu titik pemerhatian $O$ , titik $A$ berjarak $10$ km pada bearing $030^{\circ}$ , dan titik $B$ berjarak $7$ km pada bearing $100^{\circ}$ . Cari jarak $AB$ , dan seterusnya cari jarak terpendek daripada $O$ ke laluan lurus $AB$ .

Show worked solution

Kedua-dua bearing diukur daripada titik yang sama $O$ , jadi sudut antara kedua-duanya cuma bezanya:

\angle AOB = 100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}

Dua sisi dan sudut kandungnya di $O$ kini diketahui, jadi petua kosinus memberi $AB$ :

AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2(OA)(OB)\cos(\angle AOB)=10^{2}+7^{2}-140\cos70^{\circ}=149-140(0.3420)=101.12

AB=\sqrt{101.12}=10.06

Untuk jarak terpendek daripada $O$ ke garis $AB$ , tuliskan luas segi tiga $OAB$ dengan dua cara, sekali daripada dua sisi dan sudut kandungnya, sekali sebagai $\tfrac{1}{2}\times AB\times h$ , dan samakan kedua-duanya:

\text{Luas}=\tfrac{1}{2}(OA)(OB)\sin(\angle AOB)=\tfrac{1}{2}(10)(7)\sin70^{\circ}=35(0.9397)=32.89

h=\dfrac{2\times\text{Luas}}{AB}=\dfrac{2(32.89)}{10.06}=\dfrac{65.78}{10.06}=6.54

Jawapan

$AB = 10.06$ km dan jarak terpendek daripada $O$ ke $AB$ ialah $6.54$ km (2 t.p.). Semakan: kaki serenjang di dalam segi tiga mestilah lebih pendek daripada kedua-dua sisi daripada $O$ , dan $6.54 < 7 < 10$ , seperti yang dijangka.

Q8[4 marks]

Segi tiga sama kaki $ABC$ mempunyai $AB = AC$ , $\angle BAC = 80^{\circ}$ , dan perimeter $32$ cm. Cari panjang $AB$ dan panjang $BC$ .

Show worked solution

Katakan $AB = AC = x$ . Petua kosinus menghubungkan tapak $BC$ dengan $x$ dan sudut puncak:

BC^{2}=x^{2}+x^{2}-2x^{2}\cos80^{\circ}=2x^{2}(1-0.1736)=1.6528x^{2}\;\Rightarrow\;BC=1.2856x

Perimeter memberi persamaan kedua yang menghubungkan $x$ dan $BC$ . Gantikan ungkapan bagi $BC$ dan selesaikan untuk $x$ :

2x+BC=32\;\Rightarrow\;2x+1.2856x=32\;\Rightarrow\;3.2856x=32\;\Rightarrow\;x=9.74

Gantikan semula untuk mencari $BC$ :

BC=1.2856(9.74)=12.52

Jawapan

$AB=AC=9.74$ cm dan $BC=12.52$ cm (2 t.p.). Semak: perimeternya ialah $9.74+9.74+12.52=32.00$ cm, sepadan dengan nilai yang diberi.

Benang merah pada tahap ini ialah tiada satu baris pun menamatkan soalan. Anda sampai ke keputusan perantaraan, sudut, sisi, nilai sinus, kemudian menyuapnya ke hadapan.

Kekalkan setiap nilai perantaraan di atas kertas dan berlabel, supaya anda boleh menggantikannya dengan kemas dan supaya pemeriksa dapat mengikuti rangkaian itu. Sudut yang tersalah baca pada awalnya secara senyap merosakkan segala-galanya selepasnya, dan itulah sebabnya semakan bebas pada akhir berbaloi dengan seminit tambahan.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih penaakulan dua langkah yang menjadi tulang belakang soalan Penyelesaian Segi Tiga sederhana. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Apabila petua sinus memberi sudut, tuliskan dengan sinus di atas: $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}$ mengasingkan yang tidak diketahui dengan kemas.
Ketiga-tiga sudut segi tiga berjumlah $180^{\circ}$ ; sebaik anda ada dua, yang ketiga terus terhasil, dan ia selalu membuka sisi terakhir.
Untuk mencari luas daripada tiga sisi, pulihkan sudut dengan petua kosinus dahulu, kemudian gunakan $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ dengan dua sisi yang mengandung sudut itu.
Sudut kandung yang cakah menjadikan $\cos A$ negatif, jadi sebutan $-2bc\cos A$ bertambah, jangkakan sisi bertentangan menjadi yang terpanjang.
Sudut terbesar sentiasa menghadap sisi terpanjang; gunakan ini untuk memutuskan sama ada sudut daripada petua sinus patut diambil sebagai tirus.
Tamatkan dengan semakan bebas, petua kosinus terhadap sisi petua sinus, atau hasil tambah sudut terhadap petua sinus, kerana pada tahap ini satu kesilapan awal terbawa ke setiap baris kemudian, dan pemarkahan analitik masih memberi ganjaran kepada langkah perantaraan yang jelas.

Bagaimana guru membantu

Pada tahap sederhana, markah biasanya hilang bukan dalam satu rumus tetapi pada sambungan antara langkah, sudut yang dibundarkan terlalu awal, atau nilai petua sinus diambil sebagai tirus sedangkan geometri menuntut cakah. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memperlahankan tepat pada sambungan itu, meminta anda menjustifikasikan setiap pilihan sebelum meneruskan, supaya rangkaian penaakulan itu bertahan di bawah tekanan peperiksaan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang mencontohkan tabiat membuat semakan bebas ringkas pada akhir. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apabila petua sinus memberi sudut, bagaimana saya tahu ia tirus atau cakah?

Bandingkan sisi. Sudut terbesar menghadap sisi terpanjang, dan hanya satu sudut dalam segi tiga boleh cakah.

Jika sisi bertentangan sudut anda bukan yang terpanjang, sudut itu mestilah tirus, jadi ambil nilai yang diberi kalkulator. Kes dua-jawapan yang sebenar hanya timbul dalam keadaan kabur (SSA), yang diliputi dalam set sukar.

Bolehkah saya mencari luas daripada tiga sisi tanpa sudut?

Boleh dengan hasil darab semi-perimeter $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , dan ia menjadi semakan yang baik. Namun dalam kaedah Add Math, pulihkan sudut dengan petua kosinus dan gunakan $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ ; kedua-dua laluan memberi luas yang sama, seperti ditunjukkan Contoh 2.

Mengapa sebutan petua kosinus bertambah bukannya menolak dalam Contoh 3?

Kerana sudut kandungnya cakah. Bagi $120^{\circ}$ , $\cos 120^{\circ}=-0.5$ , jadi $-2bc\cos A$ menjadi $+2bc(0.5)$ .

Sisi bertentangan sudut cakah sentiasa yang terpanjang, sebab itu $BC = 14$ keluar lebih besar daripada kedua-dua sisi yang diberi.

Berapa tepat sudut perantaraan saya patut?

Simpan sekurang-kurangnya satu atau dua tempat perpuluhan lebih pada sudut perantaraan daripada yang anda mahu dalam jawapan akhir, dan bundarkan hanya pada penghujung. Menyuap sudut yang dibundarkan berat semula ke dalam petua sinus atau kosinus ialah cara paling biasa kaedah yang betul masih mendarat pada nilai akhir yang tersasar sedikit.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Penyelesaian Segi Tiga, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?