二次函数，例题（中等）

当判别式为正时才有两个相异实根：$b^2-4ac > 0$。这里 $a=1$、$b=p$、$c=4$。

$$p^2 - 4(1)(4) > 0 \;\Rightarrow\; p^2 - 16 > 0$$

把左边按平方差因式分解：

$$(p-4)(p+4) > 0$$

这个乘积在两根 $p=-4$ 和 $p=4$ 之外为正。所以解为：

$$p < -4 \quad \text{或} \quad p > 4$$

验证 $p=5$：判别式 $=25-16=9>0$，两个相异根，一致。验证 $p=0$：判别式 $=-16<0$，没有实根，正确地被排除。

对 $ax^2+bx+c=0$，根之和为 $-\frac{b}{a}$，根之积为 $\frac{c}{a}$。这里 $a=1$、$b=-5$、$c=2$，所以：

$$\alpha+\beta = -\frac{-5}{1} = 5, \qquad \alpha\beta = \frac{2}{1} = 2$$

现在求新根 $\alpha+1$ 与 $\beta+1$ 之和：

$$(\alpha+1)+(\beta+1) = \alpha+\beta+2 = 5+2 = 7$$

再求新根之积：

$$(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 2 + 5 + 1 = 8$$

以这些根为根的二次方程为 $x^2 - (\text{和})x + (\text{积}) = 0$：

$$x^2 - 7x + 8 = 0$$

新的和 $7$ 与积 $8$ 都与把每个原根加 $1$ 相符。

先用因式分解找出表达式等于零的位置：

$$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$$

所以临界值为 $x=3$ 和 $x=-2$。$y=x^2-x-6$ 的图像是开口向上的抛物线，所以 $y$ 在两根之间为负。

$$-2 < x < 3$$

用 $x=0$ 在内部检验：$0-0-6=-6<0$，满足。用 $x=4$ 在外部检验：$16-4-6=6>0$，不满足，确认此范围。

配方时，先把 $x$ 的系数 $-6$ 除以 $2$ 得 $-3$，再调整常数项使等式保持成立。

$$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11$$

化简常数项，得到配方后的形式。

$$f(x) = (x-3)^2 + 2$$

切线与曲线只相交于一点，所以把直线方程代入曲线方程，再令所得的判别式等于零。

$$x^2 + 4x + 7 = 2x + k \;\Rightarrow\; x^2 + 2x + (7-k) = 0$$

要有一个重根，须 $b^2-4ac=0$，这里 $a=1$、$b=2$、$c=7-k$。

$$(2)^2 - 4(1)(7-k) = 0 \;\Rightarrow\; 4 - 28 + 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 6$$

这个方程对 $x^2$ 而言是二次方程：令 $y=x^2$，再因式分解求出 $y$。

$$y^2 - 13y + 36 = (y-4)(y-9) = 0 \;\Rightarrow\; y = 4 \text{ 或 } y = 9$$

代回 $x^2=y$，再对每个值开平方。

$$x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x=\pm2, \qquad x^2=9 \;\Rightarrow\; x=\pm3$$

由于周长为 $24$ 米，长为 $12-x$，所以面积为：

$$A = x(12-x) = 12x - x^2$$

由于 $x^2$ 的系数为负，用配方法求最大值。

$$A = -(x^2-12x) = -[(x-6)^2 - 36] = 36 - (x-6)^2$$

最小点为 $(2,-9)$ 的二次函数可写成顶点式 $f(x) = a(x-2)^2 - 9$。代入点 $(0,-1)$ 求 $a$。

$$a(0-2)^2 - 9 = -1 \;\Rightarrow\; 4a = 8 \;\Rightarrow\; a = 2$$

把 $a=2$ 代回，并展开为一般式。

$$f(x) = 2(x-2)^2 - 9 = 2x^2 - 8x - 1$$