Contoh Kerja Fungsi Kuadratik (Sederhana)

Q: Bagaimana saya menukar "dua punca nyata berbeza" kepada ketaksamaan?

Punca nyata berbeza memerlukan pembeza positif, jadi tulis b2−4ac>0b^2-4ac>0b2−4ac>0, gantikan pekali, dan selesaikan ketaksamaan yang terhasil. Punca sama guna =0=0=0; tiada punca nyata guna <0<0<0.

Q: Bagaimana arah ketaksamaan kuadratik ditentukan?

Cari punca, kemudian bayangkan parabola. Bagi lengkung membuka ke atas, ungkapan adalah negatif antara punca dan positif di luar punca. Menguji satu nilai menetapkan arahnya jika anda ragu.

Q: Bagaimana membentuk persamaan daripada punca baharu tanpa mencari punca itu sendiri?

Guna hasil tambah dan hasil darab. Kira hasil tambah baharu dan hasil darab baharu daripada α+β\alpha+\betaα+β dan αβ\alpha\betaαβ, kemudian tulis x2−(hasil tambah)x+(hasil darab)=0x^2-(\text{hasil tambah})x+(\text{hasil darab})=0x2−(hasil tambah)x+(hasil darab)=0.

Q: Adakah saya memperoleh markah bagi langkah pembeza walaupun tersilap kemudian?

Ya. Add Math dimarkahkan secara analitik, jadi ketaksamaan pembeza yang dibentuk dan dipermudah dengan betul memperoleh markah kaedah dengan sendirinya.

Cara menggunakan set ini

Tiga masalah Fungsi Kuadratik sederhana ini menuntut anda menggabungkan idea, bukan sekadar menggunakan satu peraturan. Anda akan menggunakan pembeza untuk mencari julat nilai bagi anu, hasil tambah dan hasil darab punca untuk membina persamaan baharu, dan analisis tanda untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik.

Setiap satu diselesaikan baris demi baris supaya tiada langkah tersembunyi.

Cuba setiap soalan di atas kertas sebelum membaca penyelesaian kami, tutup kerja kami, buat sepenuhnya, kemudian bandingkan. Soalan sederhana ialah tempat silap tanda dan kesimpulan separuh siap paling merugikan, jadi semak setiap baris dan pastikan pernyataan akhir anda menjawab tepat apa yang ditanya.

Tiga contoh kerja

Q1[3 marks]

Cari julat nilai $p$ supaya persamaan $x^2 + px + 4 = 0$ mempunyai dua punca nyata yang berbeza.

Show worked solution

Dua punca nyata berbeza berlaku apabila pembeza adalah positif: $b^2-4ac > 0$ . Di sini $a=1$ , $b=p$ dan $c=4$ .

p^2 - 4(1)(4) > 0 \;\Rightarrow\; p^2 - 16 > 0

Faktorkan sebelah kiri sebagai beza dua kuasa dua:

(p-4)(p+4) > 0

Hasil darab ini positif di luar punca $p=-4$ dan $p=4$ . Maka penyelesaiannya ialah:

p < -4 \quad \text{atau} \quad p > 4

Semak $p=5$ : pembeza $=25-16=9>0$ , dua punca berbeza, selaras. Semak $p=0$ : pembeza $=-16<0$ , tiada punca nyata, betul-betul dikecualikan.

Q2[4 marks]

Punca-punca bagi $x^2 - 5x + 2 = 0$ ialah $\alpha$ dan $\beta$ . Bentukkan persamaan kuadratik yang puncanya $\alpha+1$ dan $\beta+1$ .

Show worked solution

Bagi $ax^2+bx+c=0$ , hasil tambah punca ialah $-\frac{b}{a}$ dan hasil darab ialah $\frac{c}{a}$ . Di sini $a=1$ , $b=-5$ , $c=2$ , maka:

\alpha+\beta = -\frac{-5}{1} = 5, \qquad \alpha\beta = \frac{2}{1} = 2

Kini cari hasil tambah punca baharu $\alpha+1$ dan $\beta+1$ :

(\alpha+1)+(\beta+1) = \alpha+\beta+2 = 5+2 = 7

Dan hasil darab punca baharu:

(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 2 + 5 + 1 = 8

Persamaan kuadratik dengan punca ini ialah $x^2 - (\text{hasil tambah})x + (\text{hasil darab}) = 0$ :

x^2 - 7x + 8 = 0

Hasil tambah baharu $7$ dan hasil darab $8$ kedua-duanya selaras dengan menaikkan setiap punca asal sebanyak $1$ .

Q3[3 marks]

Cari julat nilai $x$ yang memenuhi $x^2 - x - 6 < 0$ .

Show worked solution

Mula-mula cari di mana ungkapan bersamaan sifar dengan memfaktorkan:

x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)

Maka nilai genting ialah $x=3$ dan $x=-2$ . Graf $y=x^2-x-6$ ialah parabola yang membuka ke atas, jadi $y$ adalah negatif antara kedua-dua punca.

-2 < x < 3

Semak di dalam dengan $x=0$ : $0-0-6=-6<0$ , dipenuhi. Semak di luar dengan $x=4$ : $16-4-6=6>0$ , tidak dipenuhi, mengesahkan julat itu.

Q4[3 marks]

Ungkapkan $f(x) = x^2 - 6x + 11$ dalam bentuk $(x-h)^2+k$ , dan nyatakan nilai minimum $f(x)$ serta nilai $x$ yang sepadan.

Show worked solution

Lengkapkan kuasa dua dengan membahagi dua pekali $x$ , iaitu $-6$ , untuk mendapat $-3$ , kemudian laraskan pemalar supaya ungkapan kekal sama.

f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11

Permudahkan sebutan pemalar untuk mencapai bentuk kuasa dua lengkap.

f(x) = (x-3)^2 + 2

Jawapan

Oleh sebab $(x-3)^2 \ge 0$ untuk semua $x$ nyata, nilai minimum $f(x)$ ialah $2$ , berlaku pada $x=3$ . Semak: $f(3) = 9-18+11=2$ , sepadan.

Q5[4 marks]

Cari nilai $k$ supaya garis lurus $y = 2x + k$ menjadi tangen kepada lengkung $y = x^2 + 4x + 7$ .

Show worked solution

Tangen menyentuh lengkung pada tepat satu titik, jadi gantikan persamaan garis ke dalam persamaan lengkung dan samakan pembeza yang terhasil dengan sifar.

x^2 + 4x + 7 = 2x + k \;\Rightarrow\; x^2 + 2x + (7-k) = 0

Bagi satu punca berganda, $b^2-4ac=0$ dengan $a=1$ , $b=2$ , $c=7-k$ .

(2)^2 - 4(1)(7-k) = 0 \;\Rightarrow\; 4 - 28 + 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 6

Jawapan

$k=6$ . Semak: apabila $k=6$ , $x^2+2x+1=(x+1)^2=0$ memberikan satu titik sentuhan $x=-1$ , dengan $y=2(-1)+6=4$ pada kedua-dua garis dan lengkung.

Q6[4 marks]

Selesaikan persamaan $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ bagi nilai $x$ yang nyata.

Show worked solution

Persamaan ini berbentuk kuadratik dalam $x^2$ : biar $y=x^2$ , kemudian faktorkan dan selesaikan bagi $y$ .

y^2 - 13y + 36 = (y-4)(y-9) = 0 \;\Rightarrow\; y = 4 \text{ atau } y = 9

Gantikan semula $x^2=y$ dan ambil punca kuasa dua bagi setiap nilai.

x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x=\pm2, \qquad x^2=9 \;\Rightarrow\; x=\pm3

Jawapan

Persamaan ini mempunyai empat penyelesaian nyata: $x = -3, -2, 2, 3$ . Semak: pada $x=2$ , $16-13(4)+36=16-52+36=0$ , dan pada $x=3$ , $81-13(9)+36=81-117+36=0$ , mengesahkan kedua-duanya.

Q7[4 marks]

Sebuah taman berbentuk segi empat tepat hendak dipagar menggunakan $24$ m pagar di keempat-empat sisi. Jika lebarnya $x$ m, ungkapkan luas $A$ dalam sebutan $x$ , dan cari nilai $x$ yang memberikan luas maksimum, berserta luas maksimum itu.

Show worked solution

Oleh sebab perimeter ialah $24$ m, panjangnya ialah $12-x$ , maka luasnya ialah:

A = x(12-x) = 12x - x^2

Lengkapkan kuasa dua untuk mencari nilai maksimum, kerana pekali $x^2$ adalah negatif.

A = -(x^2-12x) = -[(x-6)^2 - 36] = 36 - (x-6)^2

Jawapan

Oleh sebab $(x-6)^2 \ge 0$ , $A$ adalah paling besar apabila $x=6$ , memberikan luas maksimum $36$ m $^2$ (taman itu menjadi segi empat sama $6\text{ m} \times 6\text{ m}$ ). Semak: $A(6) = 6(12-6) = 36$ , sepadan.

Q8[3 marks]

Graf suatu fungsi kuadratik mempunyai titik minimum di $(2,-9)$ dan melalui titik $(0,-1)$ . Cari persamaan fungsi itu dalam bentuk $f(x)=ax^2+bx+c$ .

Show worked solution

Fungsi kuadratik dengan titik minimum $(2,-9)$ boleh ditulis dalam bentuk verteks $f(x) = a(x-2)^2 - 9$ . Gantikan titik $(0,-1)$ untuk mencari $a$ .

a(0-2)^2 - 9 = -1 \;\Rightarrow\; 4a = 8 \;\Rightarrow\; a = 2

Gantikan semula $a=2$ dan kembangkan kepada bentuk umum.

f(x) = 2(x-2)^2 - 9 = 2x^2 - 8x - 1

Jawapan

$f(x) = 2x^2-8x-1$ . Semak: $f(2)=8-16-1=-9$ (titik minimum) dan $f(0)=-1$ , kedua-duanya sepadan dengan maklumat yang diberi.

Poin kaedah utama

Bagi syarat tentang punca, terjemahkannya kepada pembeza: $>0$ dua punca nyata berbeza, $=0$ dua punca sama, $<0$ tiada punca nyata.
Ketaksamaan pembeza seperti $p^2-16>0$ difaktorkan kepada $(p-4)(p+4)>0$ , memberi julat, bukan satu nilai.
Hasil tambah punca $=-\frac{b}{a}$ dan hasil darab $=\frac{c}{a}$ ; bina persamaan baharu dengan $x^2-(\text{hasil tambah})x+(\text{hasil darab})=0$ .
Bagi parabola membuka ke atas, ungkapan adalah negatif antara puncanya dan positif di luarnya, lakar atau uji satu titik untuk menentukan.
Sentiasa sahkan julat anda dengan satu nilai di dalam dan satu di luar.

Silap biasa yang perlu dielakkan

Silap klasik di sini ialah tanda dan arah. Menulis $b^2-4ac>0$ dengan tanda $b$ yang salah memesongkan julat; terlupa bahawa parabola membuka ke atas adalah negatif antara puncanya menyongsangkan ketaksamaan kuadratik; dan semasa membentuk persamaan baharu, mengelirukan hasil tambah dengan hasil darab merosakkan sebutan tengah dan akhir.

Lakar parabola dan uji satu nilai, dan sentiasa nyatakan julat sepenuhnya, $p<-4$ atau $p>4$ , bukan sekadar $p^2>16$ .

Bagaimana guru membantu

Soalan sederhana memberi ganjaran kepada pelajar yang membaca dengan teliti dan menyelesaikan dengan kemas. Guru kami menyemai dua tabiat khususnya: menukar syarat berayat ("dua punca berbeza") kepada ketaksamaan pembeza yang betul, dan menentukan arah ketaksamaan kuadratik dengan membayangkan parabola, bukan meneka.

Kami pastikan baris akhir anda menjawab soalan yang ditanya, julat ditulis sebagai $p<-4$ atau $p>4$ , bukan sekadar $p^2>16$ . Pengajaran dalam bahasa Inggeris, dan kerana Add Math dimarkahkan secara analitik, kami tunjukkan cara setiap baris kerja jelas menyimpan markahnya sendiri.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menukar "dua punca nyata berbeza" kepada ketaksamaan?

Punca nyata berbeza memerlukan pembeza positif, jadi tulis $b^2-4ac>0$ , gantikan pekali, dan selesaikan ketaksamaan yang terhasil. Punca sama guna $=0$ ; tiada punca nyata guna $<0$ .

Bagaimana arah ketaksamaan kuadratik ditentukan?

Cari punca, kemudian bayangkan parabola. Bagi lengkung membuka ke atas, ungkapan adalah negatif antara punca dan positif di luar punca.

Menguji satu nilai menetapkan arahnya jika anda ragu.

Bagaimana membentuk persamaan daripada punca baharu tanpa mencari punca itu sendiri?

Guna hasil tambah dan hasil darab. Kira hasil tambah baharu dan hasil darab baharu daripada $\alpha+\beta$ dan $\alpha\beta$ , kemudian tulis $x^2-(\text{hasil tambah})x+(\text{hasil darab})=0$ .

Adakah saya memperoleh markah bagi langkah pembeza walaupun tersilap kemudian?

Ya. Add Math dimarkahkan secara analitik, jadi ketaksamaan pembeza yang dibentuk dan dipermudah dengan betul memperoleh markah kaedah dengan sendirinya.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi Kuadratik, Contoh Kerja (sederhana)

Cara menggunakan set ini

Tiga contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?