二次函数，例题（KBAT）

在直线与曲线相交处，它们的 $y$ 值相等。令两式相等，并把所有项移到一边：

切线恰好在一点接触曲线，所以这个二次方程必须有相等根。这意味着判别式为零。

这里 $a=1$、$b=-4$、$c=6-k$：

验证：当 $k=2$ 时，二次方程为 $x^2-4x+4=0$，即 $(x-2)^2=0$，得到唯一点 $x=2$。此处直线给出 $y=2(2)+2=6$，曲线给出 $y=4-4+6=6$，它们在 $(2,6)$ 相切，确认相切成立。

由于 $x^2$ 的系数为负，图像开口向下，有最大值。用配方法。

从含 $x$ 的项中提出 $-1$：

在括号内，$x^2-6x = (x-3)^2 - 9$。代入并小心地把 $-1$ 展开：

$-(x-3)^2$ 最大为 $0$，在 $x=3$ 时取得，所以 $f(x)$ 的最大值是 $9+c$。令它等于给定的最大值 $13$：

最大点在 $x=3$ 处，值为 $13$，所以是 $(3,\,13)$。验证：$f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 4 = -9 + 18 + 4 = 13$，符合要求。

读出根之和与根之积。当 $a=1$、$b=-k$、$c=6$ 时：

用恒等式 $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ 把 $\alpha^2+\beta^2$ 用和与积表示：

令它等于给定值 $13$ 并求解：

验证 $k=5$：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，两根为 $2$ 和 $3$，且 $2^2+3^2=4+9=13$。验证 $k=-5$：$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$，两根为 $-2$ 和 $-3$，且 $(-2)^2+(-3)^2=13$。

两个值都成立。

把面积写成长乘以宽，再用给定的上限列出不等式，得到关于 $x$ 的二次不等式：

展开并移项使一边为零，然后因式分解求出临界值：

该表达式在两根 $-13$ 与 $5$ 之间为负，所以 $-13<x<5$；由于 $x$ 是长度，还必须为正，合并得取值范围 $0<x<5$。

要使方程有两个不相等的实根，判别式必须为正，且 $x^2$ 的系数不能为零（否则方程变为一次方程，最多只有一个根）。这里 $a=p$、$b=-4$、$c=p$：

化简并解这个关于 $p$ 的不等式：

此范围仍包含 $p=0$，但必须排除，因为此时方程会变成一次方程 $-4x=0$，只有一个根，所以最终范围为 $-2<p<0$ 或 $0<p<2$。

由已知方程读出根之和与根之积，再利用 $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ 与 $\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha\beta}$ 直接求出新根之和与积，而不必解出 $\alpha$ 与 $\beta$ 本身。这里 $a=1$、$b=-6$、$c=4$：

代入倒数和与倒数积公式，再用 $x^2-(\text{和})x+(\text{积})=0$ 列出新方程，然后两边乘以 $4$ 以消去分数：

设与墙平行的一边长为 $y$ 米。只有三边需要篱笆，所以 $2x+y=40$，即 $y=40-2x$。

面积为 $A=xy$：

$x^2$ 的系数为负，所以 $A(x)$ 有最大值。先提出 $-2$，再配方：

由于对任何 $x$，$-2(x-10)^2 \le 0$，所以当 $x=10$ 时面积最大，此时 $-2(x-10)^2=0$。这时 $y=40-2(10)=20$。

在交点处，两条曲线的 $x$ 与 $y$ 都相同，所以令两个 $y$ 的表达式相等：

移项使一边为零，化简后因式分解求出 $x$ 坐标；再把每个值代回任一条曲线，求出对应的 $y$ 坐标：