Contoh Kerja Fungsi Kuadratik (KBAT)

Q: Bagaimana saya menunjukkan garis ialah tangen kepada lengkung?

Selesaikan garis dan lengkung secara serentak untuk mendapat satu kuadratik, kemudian tetapkan pembezanya b2−4ac=0b^2-4ac=0b2−4ac=0. Punca sama bermakna garis bertemu lengkung pada tepat satu titik, iaitu ketangenan.

Q: Mengapa keluarkan faktor pekali pendahulu sebelum menyempurnakan kuasa dua?

Menyempurnakan kuasa dua memerlukan pekali x2x^2x2 menjadi 111 di dalam kurungan. Mengeluarkan faktor −1-1−1 (atau mana-mana aaa) dahulu mengekalkan algebra betul; silap biasa ialah terlupa mengembangkannya semula ke atas kedua-dua sebutan.

Q: Bila identiti \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta membantu?

Setiap kali soalan memberi ungkapan simetri dalam punca. Ia membolehkan anda menjawab hanya dengan hasil tambah dan hasil darab daripada pekali, jadi anda tidak pernah perlukan punca itu sendiri.

Q: Perlukah saya beri kedua-dua nilai apabila k^2=25?

Ya, melainkan soalan mengehadkan tanda. Di sini k=5k=5k=5 dan k=−5k=-5k=−5 kedua-duanya memenuhi α2+β2=13\alpha^2+\beta^2=13α2+β2=13, jadi kedua-duanya jawapan sah dan setiap satu membawa markah.

Cara menggunakan set ini

Tiga masalah Fungsi Kuadratik sukar ini masing-masing menggabungkan dua idea. Yang pertama menggunakan persamaan serentak dan pembeza untuk membuat garis menyentuh lengkung; yang kedua menggabungkan penyempurnaan kuasa dua dengan nilai maksimum yang diberi; yang ketiga menghubungkan hasil tambah dan hasil darab punca dengan ungkapan simetri $\alpha^2+\beta^2$ .

Ia mencabar tetapi setiap baris ditunjukkan, jadi tiada langkah dibiarkan sebagai lompatan.

Cuba setiap satu di atas kertas dahulu, bina persamaan anda sendiri, kemudian bandingkan dengan kami. Soalan sukar memberi ganjaran kepada rancangan yang jelas: namakan syarat yang dipaksa oleh keadaan (tangen bermakna punca sama, maksimum bermakna pekali pendahulu negatif), tulis ia sebagai persamaan, dan selesaikan.

Menyemak jawapan dengan penggantian di hujung membezakan penyelesaian markah penuh daripada yang hampir tersasar.

Tiga contoh kerja

Q1[4 marks]

Garis lurus $y = 2x + k$ ialah tangen kepada lengkung $y = x^2 - 2x + 6$ . Cari nilai $k$ .

Show worked solution

Di tempat garis dan lengkung bertemu, nilai $y$ mereka adalah sama. Samakan ungkapan dan kumpulkan semuanya di satu sebelah:

x^2 - 2x + 6 = 2x + k

x^2 - 2x - 2x + 6 - k = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 4x + (6-k) = 0

Tangen menyentuh lengkung pada tepat satu titik, jadi kuadratik ini mesti mempunyai punca sama. Ini bermakna pembeza ialah sifar.

Di sini $a=1$ , $b=-4$ , $c=6-k$ :

b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(6-k) = 0

16 - 24 + 4k = 0 \;\Rightarrow\; 4k - 8 = 0 \;\Rightarrow\; k = 2

Semak: dengan $k=2$ , kuadratik menjadi $x^2-4x+4=0$ , iaitu $(x-2)^2=0$ , memberi satu titik $x=2$ . Di situ garis memberi $y=2(2)+2=6$ dan lengkung memberi $y=4-4+6=6$ , mereka bersentuh di $(2,6)$ , mengesahkan ketangenan.

Q2[4 marks]

Fungsi kuadratik $f(x) = -x^2 + 6x + c$ mempunyai nilai maksimum $13$ . Cari nilai $c$ dan nyatakan koordinat titik maksimum.

Show worked solution

Oleh sebab pekali $x^2$ adalah negatif, graf membuka ke bawah dan mempunyai maksimum. Sempurnakan kuasa dua.

Keluarkan faktor $-1$ daripada sebutan $x$ :

f(x) = -\left(x^2 - 6x\right) + c

Di dalam kurungan, $x^2-6x = (x-3)^2 - 9$ . Gantikan dan kembangkan $-1$ dengan teliti:

f(x) = -\left[(x-3)^2 - 9\right] + c = -(x-3)^2 + 9 + c

Sebutan $-(x-3)^2$ paling banyak bernilai $0$ , dicapai apabila $x=3$ , jadi nilai maksimum $f(x)$ ialah $9+c$ . Samakan ini dengan maksimum yang diberi $13$ :

9 + c = 13 \;\Rightarrow\; c = 4

Titik maksimum berada pada $x=3$ , bernilai $13$ , jadi ia ialah $(3,\,13)$ . Semak: $f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 4 = -9 + 18 + 4 = 13$ , seperti dikehendaki.

Q3[4 marks]

Punca-punca bagi $x^2 - kx + 6 = 0$ ialah $\alpha$ dan $\beta$ . Diberi $\alpha^2 + \beta^2 = 13$ , cari nilai-nilai $k$ yang mungkin.

Show worked solution

Baca hasil tambah dan hasil darab punca. Dengan $a=1$ , $b=-k$ , $c=6$ :

\alpha+\beta = -\frac{-k}{1} = k, \qquad \alpha\beta = \frac{6}{1} = 6

Ungkapkan $\alpha^2+\beta^2$ melalui hasil tambah dan hasil darab menggunakan identiti $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ :

\alpha^2 + \beta^2 = k^2 - 2(6) = k^2 - 12

Samakan ini dengan nilai yang diberi $13$ dan selesaikan:

k^2 - 12 = 13 \;\Rightarrow\; k^2 = 25 \;\Rightarrow\; k = \pm 5

Semak $k=5$ : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ , punca $2$ dan $3$ , dan $2^2+3^2=4+9=13$ . Semak $k=-5$ : $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ , punca $-2$ dan $-3$ , dan $(-2)^2+(-3)^2=13$ .

Kedua-dua nilai berkesan.

Q4[4 marks]

Sebidang plot sayur-sayuran berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang $x+8$ m dan lebar $x$ m. Luas plot itu mestilah kurang daripada $65\text{ m}^2$ .

Bentukkan satu ketaksamaan kuadratik dalam $x$ , dan cari julat nilai $x$ .

Show worked solution

Tuliskan luas sebagai panjang darab lebar, kemudian bentukkan ketaksamaan menggunakan sempadan atas yang diberi. Ini memberi ketaksamaan kuadratik dalam $x$ :

x(x+8) < 65

Kembangkan dan susun semula supaya satu sebelah bersamaan sifar, kemudian faktorkan kuadratik itu untuk mencari nilai genting bagi $x$ :

x^2 + 8x - 65 < 0 \;\Rightarrow\; (x+13)(x-5) < 0

Ungkapan itu negatif di antara puncanya $-13$ dan $5$ , jadi $-13<x<5$ ; oleh sebab $x$ ialah panjang, ia juga mesti positif, memberi julat gabungan $0<x<5$ .

Jawapan

Lebar mesti memenuhi $0 < x < 5$ . Semakan: pada $x=4$ , plot berukuran $4\text{ m}$ dengan $12\text{ m}$ , memberi luas $48\text{ m}^2 < 65\text{ m}^2$ , di dalam julat; pada $x=5$ , luas ialah tepat $65\text{ m}^2$ , jadi $x=5$ betul ditolak.

Q5[5 marks]

Persamaan kuadratik $px^2 - 4x + p = 0$ , dengan $p$ ialah pemalar, mempunyai dua punca nyata yang berbeza. Cari julat nilai $p$ .

Show worked solution

Supaya persamaan mempunyai dua punca nyata yang berbeza, pembezanya mestilah positif, dan pekali $x^2$ tidak boleh sifar (jika tidak, persamaan menjadi linear dengan paling banyak satu punca). Di sini $a=p$ , $b=-4$ , $c=p$ :

b^2-4ac>0 \;\Rightarrow\; (-4)^2 - 4(p)(p) > 0

Permudahkan dan selesaikan ketaksamaan ini bagi $p$ :

16 - 4p^2 > 0 \;\Rightarrow\; p^2 < 4 \;\Rightarrow\; -2 < p < 2

Julat ini masih merangkumi $p=0$ , yang mesti ditolak kerana persamaan akan menjadi persamaan linear $-4x=0$ dengan hanya satu punca, memberi julat akhir $-2<p<0$ atau $0<p<2$ .

Jawapan

$p$ memenuhi $-2<p<0$ atau $0<p<2$ . Semakan: $p=1$ memberi $x^2-4x+1=0$ dengan pembeza $12>0$ , dua punca nyata berbeza; $p=3$ (di luar julat) memberi pembeza $16-36=-20<0$ , tiada punca nyata, seperti dijangka.

Q6[4 marks]

Punca-punca bagi persamaan kuadratik $x^2 - 6x + 4 = 0$ ialah $\alpha$ dan $\beta$ . Tanpa menyelesaikan $\alpha$ dan $\beta$ , bentukkan satu persamaan kuadratik yang puncanya ialah $\dfrac{1}{\alpha}$ dan $\dfrac{1}{\beta}$ .

Show worked solution

Baca hasil tambah dan hasil darab punca daripada persamaan yang diberi, kemudian guna $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ dan $\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha\beta}$ untuk mencari hasil tambah dan hasil darab punca baharu secara terus, tanpa menyelesaikan $\alpha$ dan $\beta$ itu sendiri. Dengan $a=1$ , $b=-6$ , $c=4$ :

\alpha+\beta = 6, \qquad \alpha\beta = 4

Gantikan nilai-nilai ini ke dalam formula hasil tambah dan hasil darab timbal balik, kemudian bentukkan persamaan baharu menggunakan $x^2-(\text{hasil tambah})x+(\text{hasil darab})=0$ dan darabkan dengan $4$ untuk menghapuskan pecahan:

\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{4}

x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0 \;\Rightarrow\; 4x^2 - 6x + 1 = 0

Jawapan

Persamaan yang dikehendaki ialah $4x^2-6x+1=0$ . Semakan: menggantikan $x=\frac{1}{y}$ ke dalam persamaan asal dan mendarabkan dengan $y^2$ memberi $4y^2-6y+1=0$ , persamaan yang sama, mengesahkan transformasi punca timbal balik ini betul.

Q7[6 marks]

Seorang petani mempunyai $40$ m pagar untuk memagari sebuah kandang berbentuk segi empat tepat. Satu sisi kandang itu terletak di sepanjang tembok lurus yang sedia ada, jadi pagar hanya diperlukan untuk tiga sisi yang lain.

Katakan $x$ m ialah panjang setiap satu daripada dua sisi yang berserenjang dengan tembok itu. Ungkapkan luas kandang, $A$ , dalam sebutan $x$ , dan seterusnya cari luas maksimum yang mungkin.

Show worked solution

Katakan sisi yang selari dengan tembok mempunyai panjang $y$ m. Hanya tiga sisi memerlukan pagar, jadi $2x+y=40$ , memberi $y=40-2x$ .

Luasnya ialah $A=xy$ :

y = 40 - 2x, \qquad A(x) = x(40-2x) = 40x - 2x^2

Pekali $x^2$ adalah negatif, jadi $A(x)$ mempunyai nilai maksimum. Keluarkan faktor $-2$ dan sempurnakan kuasa dua:

A(x) = -2x^2 + 40x = -2\left(x^2-20x\right) = -2\left[(x-10)^2 - 100\right] = -2(x-10)^2 + 200

Oleh sebab $-2(x-10)^2 \le 0$ bagi setiap $x$ , luas adalah paling besar apabila $x=10$ , di mana $-2(x-10)^2=0$ . Maka $y=40-2(10)=20$ .

Jawapan

Luas maksimum ialah $200\text{ m}^2$ , apabila $x=10$ m dan $y=20$ m. Semakan: pada $x=8$ , $y=24$ dan luas ialah $192\text{ m}^2$ ; pada $x=12$ , $y=16$ dan luas juga $192\text{ m}^2$ , kedua-duanya kurang daripada $200\text{ m}^2$ , selaras dengan $x=10$ memberi maksimum.

Q8[5 marks]

Lengkung $y = x^2 - 2x + 5$ dan $y = -x^2 + 6x - 1$ bersilang pada dua titik. Cari koordinat kedua-dua titik persilangan itu.

Show worked solution

Pada titik persilangan, kedua-dua lengkung mempunyai $x$ dan $y$ yang sama, jadi samakan kedua-dua ungkapan bagi $y$ :

x^2 - 2x + 5 = -x^2 + 6x - 1

Susun semula supaya satu sebelah bersamaan sifar, permudahkan, dan faktorkan untuk mencari koordinat- $x$ ; kemudian gantikan setiap nilai semula ke dalam mana-mana lengkung untuk mencari koordinat- $y$ yang sepadan:

2x^2 - 8x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 4x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; (x-1)(x-3) = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \text{ atau } x = 3

x=1: \; y = 1^2 - 2(1) + 5 = 4 \qquad\qquad x=3: \; y = 3^2 - 2(3) + 5 = 8

Jawapan

Lengkung-lengkung itu bersilang pada $(1,4)$ dan $(3,8)$ . Semakan: lengkung kedua memberi $y=-1^2+6(1)-1=4$ pada $x=1$ dan $y=-3^2+6(3)-1=8$ pada $x=3$ , sepadan dengan kedua-dua titik, mengesahkan ia terletak pada kedua-dua lengkung.

Poin kaedah utama

Garis menjadi tangen kepada lengkung apabila menyelesaikannya secara serentak memberi kuadratik dengan punca sama, jadi tetapkan pembezanya kepada $0$ .
Bagi parabola membuka ke bawah (pekali $x^2$ negatif), menyempurnakan kuasa dua memberi nilai maksimum sebagai pemalar selepas sebutan kuasa dua.
Keluarkan faktor pekali pendahulu sebelum menyempurnakan kuasa dua, dan kembangkan semula dengan teliti, di sinilah tanda tersilap.
Guna $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ untuk menukar syarat simetri kepada persamaan dalam hasil tambah dan hasil darab.
Anu yang dikuasaduakan, seperti $k^2=25$ , biasanya memberi dua jawapan $k=\pm 5$ , nyatakan kedua-duanya melainkan soalan menolak satu.

Silap biasa yang perlu dielakkan

Soalan sukar menghukum algebra yang tergesa-gesa. Apabila anda membentuk kuadratik bagi tangen, kumpulkan setiap sebutan di satu sebelah sebelum menetapkan pembeza kepada sifar.

Apabila menyempurnakan kuasa dua dengan pekali pendahulu negatif, keluarkan faktor $-1$ dahulu dan kembangkannya semula ke atas kedua-dua sebutan. Dan apabila anu yang dikuasaduakan muncul, seperti $k^2=25$ , jangan berhenti pada punca positif, nyatakan kedua-dua $k=5$ dan $k=-5$ melainkan soalan menolak satu.

Bagaimana guru membantu

Soalan sukar sebenarnya tentang memilih syarat yang betul. Guru kami membantu anda menamakannya dengan pantas: ketangenan memaksa punca sama, maksimum memaksa pekali pendahulu negatif, ungkapan simetri mengundang identiti hasil tambah dan hasil darab.

Kami mengulang langkah yang peka tanda, mengeluarkan faktor $-1$ , mengembangkan kuasa dua yang disempurnakan, sehingga ia tidak lagi menjatuhkan anda, dan kami menegaskan semakan penggantian akhir yang menangkap penyelesaian tercicir seperti $k=-5$ . Pengajaran dalam bahasa Inggeris, dan kerana Add Math dimarkahkan secara analitik, kami pastikan setiap keputusan dan baris memperoleh markahnya.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menunjukkan garis ialah tangen kepada lengkung?

Selesaikan garis dan lengkung secara serentak untuk mendapat satu kuadratik, kemudian tetapkan pembezanya $b^2-4ac=0$ . Punca sama bermakna garis bertemu lengkung pada tepat satu titik, iaitu ketangenan.

Mengapa keluarkan faktor pekali pendahulu sebelum menyempurnakan kuasa dua?

Menyempurnakan kuasa dua memerlukan pekali $x^2$ menjadi $1$ di dalam kurungan. Mengeluarkan faktor $-1$ (atau mana-mana $a$ ) dahulu mengekalkan algebra betul; silap biasa ialah terlupa mengembangkannya semula ke atas kedua-dua sebutan.

Bila identiti

\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta

membantu?

Setiap kali soalan memberi ungkapan simetri dalam punca. Ia membolehkan anda menjawab hanya dengan hasil tambah dan hasil darab daripada pekali, jadi anda tidak pernah perlukan punca itu sendiri.

Perlukah saya beri kedua-dua nilai apabila

k^2=25

Ya, melainkan soalan mengehadkan tanda. Di sini $k=5$ dan $k=-5$ kedua-duanya memenuhi $\alpha^2+\beta^2=13$ , jadi kedua-duanya jawapan sah dan setiap satu membawa markah.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi Kuadratik, Contoh Kerja (KBAT)

Cara menggunakan set ini

Tiga contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?