数列例题（中等）| SPM Add Math

Q: 已知等差数列的两项，怎么求 a 与 d？

用 Tn=a+(n−1)dT_{n}=a+(n-1)dTn=a+(n−1)d 把每一项写成方程，得到两个方程，再相减消去 aaa、解出 ddd。把 ddd 代回即可求 aaa。

Q: 为什么等比数列要把两个方程相除，等差数列却要相减？

等差项是 a+(n−1)da+(n-1)da+(n−1)d，相减会约去 aaa，留下 ddd 的倍数。等比项是 ar n−1ar^{\,n-1}arn−1，相除会约去 aaa，留下 rrr 的幂。

Q: 当等差和给出关于 n 的二次方程时，该保留哪个根？

保留正整数根。项数不能为负，也不能是分数，所以像 n=−212n=-\tfrac{21}{2}n=−221 这样的解要在此基础上舍去。

Q: 等比数列求和公式该用哪个版本？

两者相等，用哪个都行。r>1r>1r>1 时用 Sn=a(rn−1)r−1S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}Sn=r−1a(rn−1)，r<1r<1r<1 时用 Sn=a(1−rn)1−rS_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}Sn=1−ra(1−rn)；各自都让符号保持为正、保持整洁。

这些例题涵盖什么

这组中等的数列例题，是四条核心公式变得自动之后自然的下一步。它不再直接把 $a$ 、 $d$ 或 $r$ 交给你，而是把它们藏深一层：给你两个项，你得列出一对方程；或给你一个和，你得解出项数。

数字保持小而干净，让重点落在代数而不是算术上。请诚实地用这组题，先盖住解答，在纸上完整做整道题，然后再逐行对照。

凡是你的路线与我们分岔的地方，就找出分岔的那一步；中等题的胜负正是在那里决定的。

例题解析

三题全部做完。每一题都回报同一套纪律：把已知的事实化成方程，干净地解出未知量，再准确回答题目所问。

每一题都先自己完整做一遍，再看对应解答。

Q1[4 marks]

在一个等差数列中，第4项是 $14$ ，第9项是 $34$ 。求 (a) 首项与公差，(b) 第20项。

Show worked solution

(a) 用 $T_{n}=a+(n-1)d$ 写出每个已知项。第4项给一个方程，第9项给另一个：

T_{4}=a+3d=14 \qquad T_{9}=a+8d=34

用第二式减第一式，消去 $a$ ：

(a+8d)-(a+3d)=34-14 \;\Rightarrow\; 5d=20 \;\Rightarrow\; d=4

把 $d=4$ 代回 $a+3d=14$ ：

a+3(4)=14 \;\Rightarrow\; a=14-12=2

(b) 现在用 $T_{n}=a+(n-1)d$ ，代入 $n=20$ ：

T_{20}=2+(20-1)(4)=2+19(4)=2+76=78

答案

$a=2$ ， $d=4$ ，第20项是 $78$ 。核对已知数据： $T_{4}=2+3(4)=14$ ， $T_{9}=2+8(4)=34$ ，都正确。

Q2[4 marks]

一个等差数列首项为 $3$ ，公差为 $4$ 。前 $n$ 项之和为 $210$ 。

求 $n$ 的值。

Show worked solution

用等差求和 $S_{n}=\frac{n}{2}\,[\,2a+(n-1)d\,]$ ，代入 $a=3$ 、 $d=4$ ，并令它等于 $210$ ：

\frac{n}{2}\,[\,2(3)+(n-1)(4)\,]=210

先化简括号里的部分： $2(3)+(n-1)(4)=6+4n-4=4n+2$ 。于是

\frac{n}{2}(4n+2)=210 \;\Rightarrow\; n(2n+1)=210

展开并把所有项移到一边，得到关于 $n$ 的一元二次方程：

2n^{2}+n-210=0

因式分解。由于 $2\times(-210)=-420$ ，而 $21\times(-20)=-420$ 且 $21-20=1$ ，因此因式为：

(2n+21)(n-10)=0 \;\Rightarrow\; n=-\tfrac{21}{2} \ \text{或}\ n=10

答案

项数必须是正整数，所以 $n=10$ ，舍去 $n=-\tfrac{21}{2}$ 。检验： $S_{10}=\frac{10}{2}[\,2(3)+9(4)\,]=5(6+36)=5(42)=210$ ，符合要求。

Q3[4 marks]

在一个等比数列中，第2项是 $6$ ，第5项是 $48$ 。求 (a) 公比与首项，(b) 前 $6$ 项之和。

Show worked solution

(a) 用 $T_{n}=ar^{\,n-1}$ 写出每个已知项：

T_{2}=ar=6 \qquad T_{5}=ar^{4}=48

用第二式除以第一式，让 $a$ 约去，只剩 $r$ ：

\frac{ar^{4}}{ar}=\frac{48}{6} \;\Rightarrow\; r^{3}=8 \;\Rightarrow\; r=2

把 $r=2$ 代入 $ar=6$ ：

a(2)=6 \;\Rightarrow\; a=3

(b) 有了 $a=3$ 、 $r=2$ 、 $n=6$ ，用 $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ ，这是 $r>1$ 时较整齐的形式：

S_{6}=\frac{3(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{3(64-1)}{1}=3(63)=189

答案

$r=2$ ， $a=3$ ，前 $6$ 项之和为 $189$ 。逐项列出检验 $3,6,12,24,48,96$ ：总和为 $189$ ，且确实 $T_{2}=6$ 、 $T_{5}=48$ 。

Q4[4 marks]

$3x$ 、 $x+8$ 、 $21$ 是一个等差数列中三个连续的项。求 (a) $x$ 的值，(b) 公差以及该数列的第5项。

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对于等差数列中三个连续的项，中间项的两倍等于两旁项之和： $2T_{2}=T_{1}+T_{3}$ 。

2(x+8)=3x+21

展开并解出 $x$ ：

2x+16=3x+21 \;\Rightarrow\; 16-21=3x-2x \;\Rightarrow\; x=-5

(b) 求 $a=3x$ 与公差 $d$ ，再用 $T_{n}=a+(n-1)d$ 求第5项：

a=3(-5)=-15 \qquad d=(x+8)-3x=-2(-5)+8=18

T_{5}=a+4d=-15+4(18)=-15+72=57

答案

$x=-5$ 。三项为 $-15$ 、 $3$ 、 $21$ （公差为 $18$ ）， $T_{5}=57$ 。

检验： $2(3)=6=-15+21$ 。

Q5[4 marks]

一个等比数列的第2项为 $6$ ，无穷项之和为 $27$ 。求首项 $a$ 与公比 $r$ 所有可能的值。

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用 $T_{2}=ar=6$ 和 $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}=27$ （因数列收敛，故 $|r|<1$ ）。由 $S_{\infty}$ 式得 $a=27(1-r)$ 。

a=27(1-r)

代入 $ar=6$ ：

27r(1-r)=6 \;\Rightarrow\; 27r-27r^{2}=6 \;\Rightarrow\; 9r^{2}-9r+2=0

因式分解：

(3r-2)(3r-1)=0 \;\Rightarrow\; r=\tfrac{2}{3} \ \text{或}\ r=\tfrac{1}{3}

把每个 $r$ 代回 $a=27(1-r)$ 。两者都满足 $|r|<1$ ，因此都成立：

r=\tfrac{2}{3}: a=27(1-\tfrac{2}{3})=9 \qquad r=\tfrac{1}{3}: a=27(1-\tfrac{1}{3})=18

答案

有两个数列符合条件： $a=9$ 、 $r=\tfrac{2}{3}$ 或 $a=18$ 、 $r=\tfrac{1}{3}$ 。检验： $9\times\tfrac{2}{3}=6$ ， $18\times\tfrac{1}{3}=6$ ，都符合 $T_{2}=6$ ；且 $\tfrac{9}{1-2/3}=27$ ， $\tfrac{18}{1-1/3}=27$ ，都符合 $S_{\infty}=27$ 。

Q6[4 marks]

一个等差数列的前 $n$ 项之和为 $S_{n}=3n^{2}+5n$ 。求 (a) 首项，(b) 该数列的第6项。

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(a) 首项等于 $S_{1}$ （只有一项时的和）：

T_{1}=S_{1}=3(1)^{2}+5(1)=3+5=8

(b) 当 $n\ge2$ 时，第 $n$ 项为 $S_{n}-S_{n-1}$ 。用它求 $T_{6}$ ，即 $S_{6}-S_{5}$ ：

S_{6}=3(6)^{2}+5(6)=108+30=138 \qquad S_{5}=3(5)^{2}+5(5)=75+25=100

T_{6}=S_{6}-S_{5}=138-100=38

答案

首项为 $8$ ， $T_{6}=38$ 。用展开后得到的通项 $T_{n}=S_{n}-S_{n-1}=6n+2$ 检验： $T_{1}=6(1)+2=8$ ， $T_{6}=6(6)+2=38$ ，两者都吻合。

Q7[4 marks]

在一个等比数列中，首项为 $3$ ，公比为 $2$ 。求使 $T_{n}$ 超过 $300$ 的最小 $n$ 值。

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用等比数列公式写出 $T_{n}$ ，并列出不等式：

T_{n}=3(2)^{n-1} > 300 \;\Rightarrow\; 2^{n-1} > 100

两边取常用对数 $\lg$ （ $n-1$ 是指数，取对数可把它移下来）：

(n-1)\lg 2 > \lg 100 \;\Rightarrow\; n-1 > \frac{2}{\lg 2} \approx \frac{2}{0.3010} \approx 6.64

由于 $n$ 必须是整数，向上取整到大于 $6.64$ 的下一个整数： $n-1=7$ ，即 $n=8$ 。用边界项检验：

T_{7}=3(2)^{6}=192\;(\text{未} > 300) \qquad T_{8}=3(2)^{7}=384\;(>300)

答案

最小值为 $n=8$ 。 $T_{7}=192$ 未超过 $300$ ，但 $T_{8}=384$ 已超过，证实 $n=8$ 是第一个超过 $300$ 的项。

Q8[4 marks]

$2$ 、 $x$ 、 $x+4$ 是一个等比数列中三个连续的项。求 (a) $x$ 所有可能的值，(b) 对应的公比 $r$ 的值。

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对于等比数列中三个连续的项，中间项的平方等于两旁项之积：

x^{2}=2(x+4)

展开并整理成一元二次方程，再因式分解：

x^{2}-2x-8=0 \;\Rightarrow\; (x-4)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=4 \ \text{或}\ x=-2

(b) 对每种情况求 $r=\dfrac{x}{2}$ ：

x=4: r=\frac{4}{2}=2 \qquad x=-2: r=\frac{-2}{2}=-1

答案

$x=4$ 给出等比数列 $2,4,8$ ， $r=2$ ； $x=-2$ 给出等比数列 $2,-2,2$ ， $r=-1$ 。两者都是合法的等比数列（检验： $4^{2}=2\times8=16$ ， $(-2)^{2}=2\times2=4$ ）。

留意三题共同的形状：把已知事实读成方程，消去一个未知量（等差用相减，等比用相除），解出来，再代回题目真正要求的那条公式。正是这个习惯，让中等的数列题变得像例行公事。

关键方法要点

这三道例题演练的是大多数中等数列题所依赖的推理。把这些要点带进你自己的练习。

等差数列的两项给出关于 $a$ 与 $d$ 的两个线性方程；相减消去 $a$ ，先求 $d$ 。
等比数列的两项给出关于 $a$ 与 $r$ 的两个方程；相除消去 $a$ ，先求 $r$ 。
把等差和令为目标值，通常会得到关于 $n$ 的二次方程，先化为 $=0$ ，再因式分解或用公式。
项数 $n$ 必须是正整数，所以舍去负数或分数的解。
$r>1$ 时用 $S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ ， $r<1$ 时用 $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ ，让符号保持整洁。
务必用题目原来的已知项检验答案，几秒钟就能抓出符号错误。

老师如何帮忙

中等题是学生要么建立信心、要么悄悄失去信心的地方，差别往往在一个习惯，知道等差要相减而等比要相除，或记得 $n$ 不能为负。在一对一的课堂上，我们的老师会看你如何列方程，在方法开始偏离的那一刻及时介入，趁它还没变成套路。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步为什么这样走的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

已知等差数列的两项，怎么求

a

与

d

？

用 $T_{n}=a+(n-1)d$ 把每一项写成方程，得到两个方程，再相减消去 $a$ 、解出 $d$ 。把 $d$ 代回即可求 $a$ 。

为什么等比数列要把两个方程相除，等差数列却要相减？

等差项是 $a+(n-1)d$ ，相减会约去 $a$ ，留下 $d$ 的倍数。等比项是 $ar^{\,n-1}$ ，相除会约去 $a$ ，留下 $r$ 的幂。

当等差和给出关于

n

的二次方程时，该保留哪个根？

保留正整数根。项数不能为负，也不能是分数，所以像 $n=-\tfrac{21}{2}$ 这样的解要在此基础上舍去。

等比数列求和公式该用哪个版本？

两者相等，用哪个都行。 $r>1$ 时用 $S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ ， $r<1$ 时用 $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ ；各自都让符号保持为正、保持整洁。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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