数列，SPM 高级数学（中四）

数列是一列从一项到下一项都遵循固定规则的数。在 SPM 高级数学里，这是中四的第五章，属于代数学习领域。

本章把日常的数字规律，3、7、11、15、… 或 2、6、18、54、…，拿来，给你精确的工具去描述它、把它延伸到任意远，并把你需要的任意多项相加。

课程把数列分为两项内容标准。第一项，等差数列，处理每一步都以相同固定量上升或下降的数列，公差 $d$。

第二项，等比数列，处理每一项都是前一项乘以相同固定数的数列，公比 $r$。本章几乎每道题目最终都归结为：找出首项 $a$，连同 $d$ 或 $r$，再选对公式。

高级数学是一门选修科，而数列是较容易上手、用来建立早期信心的章节之一。它的四条主要公式印在 SPM 公式页上，运算量轻，推理通常简短而直接。

因此它是练习那个能在整份试卷上换取过程分的好习惯的理想之地，在动用计算器之前，把每一次代入清楚地写在各自一行上。

学完本章，你应该能够判断一个数列是等差、等比，还是两者皆非；不必列出前面所有项就能求出任意一项；用一行运算把一长串项相加；并且，对于各项持续缩小的等比数列，求出那个无穷和所趋近的单一数值。这些技能会在后面的课题以及关于储蓄、贷款偿还与稳定增长或衰减的实际问题中再度出现。

数列分为两项内容标准。以下的编码与标题直接来自 KSSM DSKP，认清它们，你就知道一道题目到底在考什么。

两项标准共享同一个形状，先找出首项与固定的步长，再套用公式，但两者的表现很不一样。等差数列沿直线增长，而等比数列通过反复相乘而增长（或缩小），这正是为什么等比数列可以陡峭攀升，也可以逐渐消退趋向一个极限。

两者都熟练，你几乎能应对试卷抛出的任何数列。

数列、项与规律。数列是一列有次序的数，每个数就是一项，记作 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, \dots$。

等差与等比都是由固定规则生成的数列。你学习的两条规则是加上一个常数（等差）和乘以一个常数（等比）。

辨认等差数列。当每一项与前一项之差为定值时，这个数列就是等差数列。

用 $T_{2}-T_{1}$、$T_{3}-T_{2}$、$T_{4}-T_{3}$ 来检验；若全部相等，这个共同的值就是公差 $d$，你可以把它作为理由写出。

等差数列的第n项。一旦知道首项 $a$ 与公差 $d$，不必列出前面各项就能求出任意一项。

每当题目要求某个特定的项时，这就是你该首先动用的公式。

$$T_{n}=a+(n-1)d$$

等差数列前n项和。要把前 $n$ 项相加，就用 $S_{n}$。

若你恰好知道末项 $l=T_{n}$，等价形式 $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ 往往更快。

$$S_{n}=\frac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$$

辨认等比数列。当每一项与前一项之比为定值时，这个数列就是等比数列。

用 $\frac{T_{2}}{T_{1}}$、$\frac{T_{3}}{T_{2}}$、$\frac{T_{4}}{T_{3}}$ 来检验；若全部相等，这个共同的值就是公比 $r$。注意 $r$ 可以是分数（各项缩小）或负数（各项正负交替）。

等比数列的第n项。有了首项 $a$ 与公比 $r$，任意一项都与起点相差 $r$ 的若干次幂。

指数是 $n-1$，所以首项对应 $r^{0}=1$。

$$T_{n}=ar^{\,n-1}$$

等比数列前n项和。公式页印了两个等价版本；用能保持符号整洁的那个。

当 $r>1$ 时第一个形式较整齐，当 $r<1$ 时第二个形式可避免负号。

$$S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r},\ r\neq 1$$

等比数列的无穷项和。当各项持续缩小，也就是当 $|r|<1$ 时，累加的总和会越来越接近一个有限的值，这就是无穷项和。

它只在 $|r|<1$ 时适用；若 $|r|\ge 1$，各项不缩小，就没有有限的和。

$$S_{\infty}=\frac{a}{1-r},\quad |r|<1$$

由两项求 $a$ 与 $d$（或 $r$）。许多题目给你两项，例如 $T_{3}=11$ 与 $T_{7}=27$，要你求这个数列。

用第n项公式把每一项写成关于 $a$ 与 $d$（或 $a$ 与 $r$）的方程，再联立求解。以这个等差例子来说，$a+2d=11$ 与 $a+6d=27$ 得 $4d=16$，于是 $d=4$，$a=3$。

为实际情境建模。固定的年薪增额、每排以固定数目递增的座位、或每月相同的储蓄，都构成等差数列。

反复的百分比增长、汽车价值的折旧、或每次弹跳都损失固定比例高度的皮球，都构成等比数列，而像 $0.4444\ldots$ 这样的循环小数，正好就是某个等比数列的无穷项和。把文字题读好，意味着先判断哪一种模型合适。

数列可以在任何一份笔试中被考到。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：甲组有 12题，占 64分，全部作答；乙组有 3题，占 16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于甲组（7题，50分，全部作答）、乙组（4题，30分，作答 3题）与丙组（4题，20分，作答 2题）。

两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，作答时可使用不可编程的科学计算器。题目跨越不同难度，格式采用低到高 5 : 3 : 2 的难度比例，所以你既会遇到直接代入的题目，也会遇到较长的多步骤文字题。

我们不会预测任何单独一章会占多少分，因为这逐年不同。

本章很适合这种要你写出过程的结构式格式。典型的短题要你求某一项或某个和；较长的题目可能给你两项，要你求 $a$ 与 $d$，再用它们回答一个实际情境的问题。

因为评分是分析式的，每一次正确的代入、每一个解出的数值、每一个最终答案，都能各自得分，所以先写公式、再写代入、再算结果，即使有一步运算失误，也能保住你的分数。

值得一提的是，我们的课程以英语授课，而 SPM 试卷以国文（马来文）与英文双语命题，因此你会用两种语言的术语来练习，在考试当天不会被任何一个词卡住。

本章丢掉的分数，大多来自少数几个可以避免的习惯。在每一套练习之前先读一读，直到它们成为本能。

• 混淆 $d$ 与 $r$。在选公式之前，先检验数列：差为定值是等差，比为定值是等比。把等差公式用到等比数列上，或反过来，是本章最常见的错误。
• 在 $n-1$ 这个指标上出错。第n项用的是 $n-1$，不是 $n$：$T_{n}=a+(n-1)d$ 与 $T_{n}=ar^{n-1}$。误用 $n$ 会把每个答案都错开一项。
• 在不适用时用无穷项和。$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ 只在 $|r|<1$ 时成立。若 $|r|\ge 1$，各项不缩小，就没有有限的和，先检查 $r$。
• 以为每条公式都会给。等差与等比的 $T_{n}$ 和 $S_{n}$ 共四条在公式页上，但无穷项和不在。把 $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ 背下来，考试时才随手可用。
• 数错项数。当题目问两个位置之间有多少项时，要含两端地数，并用第n项公式核对。例如从 $T_{5}$ 到 $T_{20}$ 共有 $20-5+1=16$ 项，而不是 15 项。
• 忘了 $n$ 必须是正整数。在解『哪一项首次超过……』时，你常会得到非整数的 $n$；要向上取到下一个整数，因为项只存在于整数位置上。

这些错误没有一个关乎能力，每一个都只是习惯，而习惯是可以纠正的。动手前先检验是等差还是等比，仔细写好指标，并检查对 $r$ 的条件，你在本章的准确度就会迅速提升。

数列会回报有条理、稳扎稳打的学习方式。按顺序做完以下步骤，再用下面的资源来温习和自我测验。

争取短而频繁的练习，而不是一次漫长的死记硬背。每天做几道等差题和几道等比题，永远先写公式再写数字。

当某个步骤感觉稳了，就往下走；若还不稳，就放慢并重复。分散在一两个星期里，这份安静的练习会把数列变成你最可靠的分数之一。

1. 1

   记熟五条公式

   记清哪四条会给（等差与等比的 $T_{n}$ 和 $S_{n}$），哪一条不会，无穷项和，并记下条件 $|r|<1$。

2. 2

   反复练习辨认

   通过检验差与比，练习判断一个数列是等差、等比，还是两者皆非，并给出理由。

3. 3

   求 a 与 d 或 r

   给定两项，用第n项公式列出两条方程并联立求解，把这个数列完全确定下来。

4. 4

   做完整的文字题

   把薪资、储蓄、增长与循环小数的问题转化为等差或等比数列，再作答，并写出每一次代入。

5. 5

   计时并复盘

   在计时的情况下做综合练习，然后在下一次练习前重读你的常见错误清单。

• 数列，复习笔记
• 数列，常见错误
• 数列，练习题
• 数列，试卷二答题指南
• 数列，重要术语
• 数列，例题精解（简易）
• 数列，例题精解（中等）
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