Janjang Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Diberi dua sebutan JA, bagaimana saya mencari a dan d?

Tuliskan setiap sebutan dengan Tn=a+(n−1)dT_{n}=a+(n-1)dTn=a+(n−1)d untuk mendapat dua persamaan, kemudian tolak satu daripada yang lain untuk menghapuskan aaa dan selesaikan ddd. Gantikan ddd semula untuk mencari aaa.

Q: Mengapa saya bahagi dua persamaan untuk JG tetapi tolak untuk JA?

Sebutan JA ialah a+(n−1)da+(n-1)da+(n−1)d, jadi menolak menghapuskan aaa dan meninggalkan gandaan ddd. Sebutan JG ialah ar n−1ar^{\,n-1}arn−1, jadi membahagi menghapuskan aaa dan meninggalkan kuasa rrr.

Q: Apabila hasil tambah JA memberi kuadratik dalam n, punca mana yang saya simpan?

Simpan punca nombor bulat positif. Bilangan sebutan tidak boleh negatif atau pecahan, jadi penyelesaian seperti n=−212n=-\tfrac{21}{2}n=−221 ditolak atas sebab itu.

Q: Versi rumus hasil tambah JG yang mana patut saya guna?

Kedua-duanya sama, jadi mana-mana boleh. Guna Sn=a(rn−1)r−1S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}Sn=r−1a(rn−1) apabila r>1r>1r>1 dan Sn=a(1−rn)1−rS_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}Sn=1−ra(1−rn) apabila r<1r<1r<1; setiap satu mengekalkan tanda positif dan kemas.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Janjang sederhana ini ialah langkah seterusnya yang wajar sebaik sahaja empat rumus teras terasa automatik. Alih-alih memberi anda $a$ , $d$ atau $r$ secara terus, setiap soalan menyembunyikannya satu lapisan ke bawah: anda diberi dua sebutan dan mesti membina sepasang persamaan, atau diberi hasil tambah dan mesti menyelesaikan bilangan sebutan.

Nombornya kekal kecil dan kemas supaya algebra, bukan aritmetik, yang menjadi tumpuan. Gunakan set ini secara jujur, tutup penyelesaian, cuba keseluruhan soalan di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris.

Di tempat laluan anda berbeza daripada kami, cari langkah tepat yang bercapah; di situlah soalan sederhana menang atau kalah.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu memberi ganjaran kepada disiplin yang sama: tukarkan fakta yang diberi kepada persamaan, selesaikan bagi yang tidak diketahui dengan kemas, kemudian jawab tepat apa yang diminta.

Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya.

Q1[4 marks]

Dalam suatu janjang aritmetik, sebutan ke-4 ialah $14$ dan sebutan ke-9 ialah $34$ . Cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, dan (b) sebutan ke-20.

Show worked solution

(a) Tuliskan setiap sebutan yang diberi dengan $T_{n}=a+(n-1)d$ . Sebutan ke-4 memberi satu persamaan dan sebutan ke-9 memberi satu lagi:

T_{4}=a+3d=14 \qquad T_{9}=a+8d=34

Tolak persamaan pertama daripada yang kedua untuk menyingkirkan $a$ :

(a+8d)-(a+3d)=34-14 \;\Rightarrow\; 5d=20 \;\Rightarrow\; d=4

Gantikan $d=4$ semula ke dalam $a+3d=14$ :

a+3(4)=14 \;\Rightarrow\; a=14-12=2

(b) Kini guna $T_{n}=a+(n-1)d$ dengan $n=20$ :

T_{20}=2+(20-1)(4)=2+19(4)=2+76=78

Jawapan

$a=2$ , $d=4$ , dan sebutan ke-20 ialah $78$ . Semak data yang diberi: $T_{4}=2+3(4)=14$ dan $T_{9}=2+8(4)=34$ , kedua-duanya betul.

Q2[4 marks]

Suatu janjang aritmetik mempunyai sebutan pertama $3$ dan beza sepunya $4$ . Hasil tambah $n$ sebutan pertama ialah $210$ .

Cari nilai $n$ .

Show worked solution

Guna hasil tambah JA $S_{n}=\frac{n}{2}\,[\,2a+(n-1)d\,]$ dengan $a=3$ dan $d=4$ , dan samakannya dengan $210$ :

\frac{n}{2}\,[\,2(3)+(n-1)(4)\,]=210

Permudahkan dalam kurungan dahulu: $2(3)+(n-1)(4)=6+4n-4=4n+2$ . Jadi

\frac{n}{2}(4n+2)=210 \;\Rightarrow\; n(2n+1)=210

Kembangkan dan bawa semua ke satu sebelah untuk membentuk persamaan kuadratik dalam $n$ :

2n^{2}+n-210=0

Faktorkan. Oleh sebab $2\times(-210)=-420$ dan $21\times(-20)=-420$ dengan $21-20=1$ , faktornya ialah:

(2n+21)(n-10)=0 \;\Rightarrow\; n=-\tfrac{21}{2} \ \text{atau}\ n=10

Jawapan

Bilangan sebutan mesti nombor bulat positif, jadi $n=10$ dan kita tolak $n=-\tfrac{21}{2}$ . Semak: $S_{10}=\frac{10}{2}[\,2(3)+9(4)\,]=5(6+36)=5(42)=210$ , seperti yang dikehendaki.

Q3[4 marks]

Dalam suatu janjang geometri, sebutan ke-2 ialah $6$ dan sebutan ke-5 ialah $48$ . Cari (a) nisbah sepunya dan sebutan pertama, dan (b) hasil tambah $6$ sebutan pertama.

Show worked solution

(a) Tuliskan setiap sebutan yang diberi dengan $T_{n}=ar^{\,n-1}$ :

T_{2}=ar=6 \qquad T_{5}=ar^{4}=48

Bahagikan persamaan kedua dengan yang pertama supaya $a$ terhapus dan hanya $r$ tinggal:

\frac{ar^{4}}{ar}=\frac{48}{6} \;\Rightarrow\; r^{3}=8 \;\Rightarrow\; r=2

Gantikan $r=2$ ke dalam $ar=6$ :

a(2)=6 \;\Rightarrow\; a=3

(b) Dengan $a=3$ , $r=2$ dan $n=6$ , guna $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ , bentuk kemas apabila $r>1$ :

S_{6}=\frac{3(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{3(64-1)}{1}=3(63)=189

Jawapan

$r=2$ , $a=3$ , dan hasil tambah $6$ sebutan pertama ialah $189$ . Semak dengan menyenaraikan sebutan $3,6,12,24,48,96$ : jumlahnya $189$ , dan memang $T_{2}=6$ dan $T_{5}=48$ .

Q4[4 marks]

Nombor-nombor $3x$ , $x+8$ , dan $21$ ialah tiga sebutan berturutan suatu janjang aritmetik. Cari (a) nilai $x$ , dan (b) beza sepunya dan sebutan ke-5 janjang itu.

Show worked solution

Bagi tiga sebutan JA berturutan, dua kali sebutan tengah sama dengan hasil tambah sebutan luar: $2T_{2}=T_{1}+T_{3}$ .

2(x+8)=3x+21

Kembangkan dan selesaikan bagi $x$ :

2x+16=3x+21 \;\Rightarrow\; 16-21=3x-2x \;\Rightarrow\; x=-5

(b) Cari $a=3x$ dan beza sepunya $d$ , kemudian guna $T_{n}=a+(n-1)d$ bagi sebutan ke-5:

a=3(-5)=-15 \qquad d=(x+8)-3x=-2(-5)+8=18

T_{5}=a+4d=-15+4(18)=-15+72=57

Jawapan

$x=-5$ . Tiga sebutan itu ialah $-15$ , $3$ , $21$ (beza sepunya $18$ ), dan $T_{5}=57$ .

Semak: $2(3)=6=-15+21$ .

Q5[4 marks]

Suatu janjang geometri mempunyai sebutan ke-2 bersamaan $6$ dan hasil tambah hingga tak terhingga bersamaan $27$ . Cari nilai-nilai yang mungkin bagi sebutan pertama $a$ dan nisbah sepunya $r$ .

Show worked solution

Guna $T_{2}=ar=6$ dan $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}=27$ (sah kerana siri itu menumpu, jadi $|r|<1$ ). Daripada persamaan $S_{\infty}$ , $a=27(1-r)$ .

a=27(1-r)

Gantikan ke dalam $ar=6$ :

27r(1-r)=6 \;\Rightarrow\; 27r-27r^{2}=6 \;\Rightarrow\; 9r^{2}-9r+2=0

Faktorkan:

(3r-2)(3r-1)=0 \;\Rightarrow\; r=\tfrac{2}{3} \ \text{atau}\ r=\tfrac{1}{3}

Gantikan setiap $r$ semula ke dalam $a=27(1-r)$ . Kedua-duanya memenuhi $|r|<1$ , jadi kedua-duanya sah:

r=\tfrac{2}{3}: a=27(1-\tfrac{2}{3})=9 \qquad r=\tfrac{1}{3}: a=27(1-\tfrac{1}{3})=18

Jawapan

Dua janjang memenuhi syarat: $a=9$ , $r=\tfrac{2}{3}$ atau $a=18$ , $r=\tfrac{1}{3}$ . Semak: $9\times\tfrac{2}{3}=6$ dan $18\times\tfrac{1}{3}=6$ , kedua-duanya sepadan dengan $T_{2}=6$ ; dan $\tfrac{9}{1-2/3}=27$ , $\tfrac{18}{1-1/3}=27$ , kedua-duanya sepadan dengan $S_{\infty}=27$ .

Q6[4 marks]

Hasil tambah $n$ sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberi oleh $S_{n}=3n^{2}+5n$ . Cari (a) sebutan pertama, dan (b) sebutan ke-6 janjang itu.

Show worked solution

(a) Sebutan pertama sama dengan $S_{1}$ (hasil tambah bagi satu sebutan sahaja):

T_{1}=S_{1}=3(1)^{2}+5(1)=3+5=8

(b) Bagi $n\ge2$ , sebutan ke- $n$ ialah $S_{n}-S_{n-1}$ . Guna ini untuk mencari $T_{6}$ sebagai $S_{6}-S_{5}$ :

S_{6}=3(6)^{2}+5(6)=108+30=138 \qquad S_{5}=3(5)^{2}+5(5)=75+25=100

T_{6}=S_{6}-S_{5}=138-100=38

Jawapan

Sebutan pertama ialah $8$ , dan $T_{6}=38$ . Semak dengan sebutan am $T_{n}=S_{n}-S_{n-1}=6n+2$ (didapati dengan mengembangkan): $T_{1}=6(1)+2=8$ dan $T_{6}=6(6)+2=38$ , kedua-duanya sepadan.

Q7[4 marks]

Dalam suatu janjang geometri, sebutan pertama ialah $3$ dan nisbah sepunya ialah $2$ . Cari nilai terkecil $n$ supaya $T_{n}$ melebihi $300$ .

Show worked solution

Tuliskan $T_{n}$ menggunakan rumus JG dan bentuk ketaksamaan:

T_{n}=3(2)^{n-1} > 300 \;\Rightarrow\; 2^{n-1} > 100

Ambil $\lg$ kedua-dua belah ( $n-1$ kini eksponen, jadi $\lg$ membawanya turun):

(n-1)\lg 2 > \lg 100 \;\Rightarrow\; n-1 > \frac{2}{\lg 2} \approx \frac{2}{0.3010} \approx 6.64

Oleh sebab $n$ mesti nombor bulat, bundarkan ke atas kepada integer seterusnya melebihi $6.64$ : $n-1=7$ , jadi $n=8$ . Sahkan dengan memeriksa sebutan sempadan:

T_{7}=3(2)^{6}=192\;(\text{tidak} > 300) \qquad T_{8}=3(2)^{7}=384\;(>300)

Jawapan

Nilai terkecil ialah $n=8$ . $T_{7}=192$ tidak melebihi $300$ , tetapi $T_{8}=384$ melebihi, mengesahkan $n=8$ ialah sebutan pertama yang melepasi $300$ .

Q8[4 marks]

Nombor-nombor $2$ , $x$ , dan $x+4$ ialah tiga sebutan berturutan suatu janjang geometri. Cari (a) nilai-nilai yang mungkin bagi $x$ , dan (b) nilai nisbah sepunya $r$ yang sepadan.

Show worked solution

Bagi tiga sebutan JG berturutan, kuasa dua sebutan tengah sama dengan hasil darab sebutan luar:

x^{2}=2(x+4)

Kembangkan dan susun semula menjadi persamaan kuadratik, kemudian faktorkan:

x^{2}-2x-8=0 \;\Rightarrow\; (x-4)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=4 \ \text{atau}\ x=-2

(b) Cari $r=\dfrac{x}{2}$ bagi setiap kes:

x=4: r=\frac{4}{2}=2 \qquad x=-2: r=\frac{-2}{2}=-1

Jawapan

$x=4$ memberi JG $2,4,8$ dengan $r=2$ ; $x=-2$ memberi JG $2,-2,2$ dengan $r=-1$ . Kedua-duanya janjang geometri yang sah (semak: $4^{2}=2\times8=16$ , dan $(-2)^{2}=2\times2=4$ ).

Perhatikan bentuk yang dikongsi ketiga-tiganya: baca fakta yang diberi menjadi persamaan, hapuskan satu yang tidak diketahui (dengan menolak bagi JA, dengan membahagi bagi JG), selesaikan, kemudian gantikan semula ke dalam rumus yang sebenarnya diminta oleh soalan. Tabiat itulah yang menjadikan soalan Janjang sederhana terasa rutin.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih penaakulan yang menjadi sandaran kebanyakan soalan Janjang sederhana. Bawa poin ini ke dalam latihan anda sendiri.

Dua sebutan JA memberi dua persamaan linear dalam $a$ dan $d$ ; tolak untuk menghapuskan $a$ dan cari $d$ dahulu.
Dua sebutan JG memberi dua persamaan dalam $a$ dan $r$ ; bahagi untuk menghapuskan $a$ dan cari $r$ dahulu.
Menyamakan hasil tambah JA dengan sasaran biasanya menghasilkan kuadratik dalam $n$ , bentuk $=0$ , kemudian faktorkan atau guna rumus.
Bilangan sebutan $n$ mesti nombor bulat positif, jadi tolak penyelesaian negatif atau pecahan.
Guna $S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ apabila $r>1$ dan $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ apabila $r<1$ untuk mengekalkan tanda kemas.
Sentiasa semak jawapan dengan sebutan asal yang diberi, ia menangkap kesilapan tanda dalam beberapa saat.

Bagaimana guru membantu

Soalan sederhana ialah tempat pelajar sama ada membina keyakinan atau senyap-senyap kehilangannya, dan bezanya selalu satu tabiat, tahu untuk menolak bagi JA tetapi membahagi bagi JG, atau ingat bahawa $n$ tidak boleh negatif. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati cara anda membina persamaan dan campur tangan pada saat tepat sesuatu kaedah terpesong, sebelum ia menjadi corak.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menunjukkan sebab setiap gerak itu berikutan. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama dalam kedua-duanya.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Diberi dua sebutan JA, bagaimana saya mencari

a

dan

d

Tuliskan setiap sebutan dengan $T_{n}=a+(n-1)d$ untuk mendapat dua persamaan, kemudian tolak satu daripada yang lain untuk menghapuskan $a$ dan selesaikan $d$ . Gantikan $d$ semula untuk mencari $a$ .

Mengapa saya bahagi dua persamaan untuk JG tetapi tolak untuk JA?

Sebutan JA ialah $a+(n-1)d$ , jadi menolak menghapuskan $a$ dan meninggalkan gandaan $d$ . Sebutan JG ialah $ar^{\,n-1}$ , jadi membahagi menghapuskan $a$ dan meninggalkan kuasa $r$ .

Apabila hasil tambah JA memberi kuadratik dalam

n

, punca mana yang saya simpan?

Simpan punca nombor bulat positif. Bilangan sebutan tidak boleh negatif atau pecahan, jadi penyelesaian seperti $n=-\tfrac{21}{2}$ ditolak atas sebab itu.

Versi rumus hasil tambah JG yang mana patut saya guna?

Kedua-duanya sama, jadi mana-mana boleh. Guna $S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ apabila $r>1$ dan $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ apabila $r<1$ ; setiap satu mengekalkan tanda positif dan kemas.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Janjang, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?