数列，例题（KBAT）

(a) 首项 $a=4$，公差为 $d$，则等差数列的第1、第2、第4项为 $4$、$4+d$ 与 $4+3d$。三个连续等比项满足「中项平方等于两外项之积」，所以：

$$(4+d)^{2}=4\,(4+3d)$$

两边展开并化简：

$$16+8d+d^{2}=16+12d$$

$$d^{2}+8d-12d=0 \;\Rightarrow\; d^{2}-4d=0 \;\Rightarrow\; d(d-4)=0$$

所以 $d=0$ 或 $d=4$。公差为 $0$ 会让每一项都相等，公比为 $1$ 的平凡情形，所以取 $d=4$。

(b) 现在这三个等比项为 $4$、$4+4=8$ 与 $4+3(4)=16$。公比就是任意一项除以它的前一项：

$$r=\frac{8}{4}=2 \qquad \left(\text{检验： } \frac{16}{8}=2\right)$$

(c) 该等比数列首项为 $4$，$r=2$。用 $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ 求前 $5$ 项之和：

$$S_{5}=\frac{4(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{4(32-1)}{1}=4(31)=124$$

(a) 无穷项和为 $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$，因为此处该和存在，故可用。代入 $a=18$、$S_{\infty}=27$，解出 $r$：

$$27=\frac{18}{1-r} \;\Rightarrow\; 1-r=\frac{18}{27}=\frac{2}{3} \;\Rightarrow\; r=\frac{1}{3}$$

由于 $|r|=\tfrac{1}{3}<1$，无穷项和确实成立。

(b) 从第四项起的各项，就是去掉前三项后剩下的全部，所以它们的和等于 $S_{\infty}$ 减去前三项之和。先用 $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$（$r<1$ 时较整齐的形式）求 $S_{3}$：

$$S_{3}=\frac{18\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18\left(1-\frac{1}{27}\right)}{\frac{2}{3}}=\frac{18\cdot\frac{26}{27}}{\frac{2}{3}}=26$$

再从无穷项和中减去：

$$S_{\infty}-S_{3}=27-26=1$$

(a) 把每个事实化成方程。第5项用 $T_{n}=a+(n-1)d$；和用 $S_{n}=\frac{n}{2}[\,2a+(n-1)d\,]$：

$$T_{5}=a+4d=17$$

$$S_{10}=\frac{10}{2}\,[\,2a+9d\,]=5(2a+9d)=185 \;\Rightarrow\; 2a+9d=37$$

由第一式得 $a=17-4d$。代入 $2a+9d=37$：

$$2(17-4d)+9d=37 \;\Rightarrow\; 34-8d+9d=37 \;\Rightarrow\; d=3$$

于是 $a=17-4(3)=5$。

(b) 第11到第20项，就是前 $20$ 项去掉前 $10$ 项，所以其和为 $S_{20}-S_{10}$。先算 $S_{20}$：

$$S_{20}=\frac{20}{2}\,[\,2(5)+19(3)\,]=10\,[\,10+57\,]=10(67)=670$$

我们已知 $S_{10}=185$，所以：

$$S_{20}-S_{10}=670-185=485$$

由于这三项连续，设它们为 $a-d$、$a$、$a+d$，这样它们的和会立刻化简，$d$ 根本不出现。

$$(a-d)+a+(a+d)=24$$

$$3a=24 \;\Rightarrow\; a=8$$

接下来用积。当 $a=8$ 时，三项之积为 $(a-d)(a)(a+d)=a(a^{2}-d^{2})$：

$$8\left(8^{2}-d^{2}\right)=312$$

$$64-d^{2}=39 \;\Rightarrow\; d^{2}=25 \;\Rightarrow\; d=\pm5$$

两个 $d$ 值都成立，它们只是把同一组三个数按递增或递减的顺序写出来。

取 $a=5$、$r=3$，则 $T_{n}=ar^{n-1}$ 表示实验开始后 $(n-1)$ 小时所记录的数目。我们要求使 $T_{n}$ 超过 $10\,000$ 的最小 $n$；由于 $n$ 出现在指数上，需要用对数求解。

$$5(3)^{n-1} > 10\,000$$

$$3^{n-1} > 2000$$

两边取 $\lg$。由于底数 $3>1$，不等号方向不变：

$$(n-1)\lg 3 > \lg 2000 \;\Rightarrow\; n-1 > \frac{\lg 2000}{\lg 3}$$

$$n-1 > 6.919\ldots \;\Rightarrow\; n > 7.919\ldots$$

$n$ 必须是整数，所以取大于 $7.919\ldots$ 的最小整数：

$$n=8$$

$T_{8}$ 是实验开始后 $8-1=7$ 小时所记录的数目，所以需要 $7$ 个完整小时。

方案 A 是等差数列，$a=10$，$d=10$，$n=10$。用 $S_{n}=\dfrac{n}{2}\,[\,2a+(n-1)d\,]$ 求其总额：

$$S_{10}^{A}=\frac{10}{2}\,[\,2(10)+9(10)\,]=5(20+90)=5(110)=550$$

方案 B 是等比数列，$a=1$，$r=2$，$n=10$。由于 $r>1$，用 $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$：

$$S_{10}^{B}=\frac{1\left(2^{10}-1\right)}{2-1}=2^{10}-1=1024-1=1023$$

比较两个总额：

$$S_{10}^{B}-S_{10}^{A}=1023-550=473$$

首项 $T_{1}=4$，第五项 $T_{5}=324$，用 $T_{5}=ar^{4}$ 列出关于 $r$ 的方程：

$$324=4r^{4}$$

$$r^{4}=81 \;\Rightarrow\; r=\pm3$$

由于指数是偶数，两个根都满足方程；两者都能给出经过 $4$ 与 $324$ 的合法等比数列。第(b)部分取正公比 $r=3$：

$$T_{2}=4(3)=12,\quad T_{3}=12(3)=36,\quad T_{4}=36(3)=108$$

$$12+36+108=156$$

(a)–(b) 首项就是 $S_{1}$；此后每一项为 $T_{n}=S_{n}-S_{n-1}$。

$$T_{1}=S_{1}=3(1)^{2}+5(1)=8$$

$$T_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\left(3n^{2}+5n\right)-\left[3(n-1)^{2}+5(n-1)\right]$$

$$T_{n}=6n+2$$

在 $n=1$ 处检验此式：$6(1)+2=8$，恰好与 $T_{1}$ 相符，所以它对每个 $n\ge1$ 都成立。由于 $T_{n}$ 是关于 $n$ 的一次式，系数为 $6$，可知首项 $a=8$，公差 $d=6$。

(c) $100$ 是此数列的一项，当且仅当 $6n+2=100$ 有正整数解 $n$：

$$6n+2=100 \;\Rightarrow\; n=\frac{98}{6}=\frac{49}{3}$$

$n$ 不是整数，所以 $100$ 不是此数列的一项。