Janjang Contoh Kerja (KBAT)

Q: Apakah cara terpantas menambah sebutan ke-11 hingga ke-20 suatu JA?

Guna S20−S10S_{20}-S_{10}S20−S10. Menambah sepuluh sebutan satu demi satu adalah lambat dan mudah tersilap; beza dua hasil tambah separa memberi jumlah blok secara terus.

Q: Mengapa kita tolak d=0 dalam contoh pertama?

Beza sepunya 000 menjadikan setiap sebutan sama dengan 444, yang merupakan janjang geometri hanya dalam erti remeh nisbah 111. Janjang tak remeh yang dimaksudkan datang daripada d=4d=4d=4.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Janjang sukar ini meminta anda memegang dua idea dalam soalan yang sama. Satu menghubungkan janjang aritmetik dengan janjang geometri melalui syarat bahawa tiga sebutan berada dalam nisbah geometri; satu menggunakan hasil tambah hingga infiniti untuk mencari ekor, hasil tambah setiap sebutan melepasi satu titik tertentu; dan satu mencari jumlah blok sebutan sebagai beza dua hasil tambah separa.

Nombornya masih sengaja kemas, jadi cabarannya ialah penaakulan, bukan kerja kalkulator. Cuba setiap satu sepenuhnya di atas kertas dahulu, kemudian semak baris demi baris.

Di tempat kerja anda bercapah daripada kami, langkah itulah sasaran sebenar, soalan sukar biasanya berpusing pada satu idea, yang digunakan dengan kemas.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu memberi ganjaran kepada rancangan yang jelas sebelum sebarang algebra: namakan apa yang anda tahu, namakan apa yang anda mahu, dan pilih satu hubungan yang mengaitkannya.

Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya.

Q1[6 marks]

Sebutan pertama, kedua dan keempat suatu janjang aritmetik, yang sebutan pertamanya $4$ , juga merupakan tiga sebutan berturutan suatu janjang geometri. Cari (a) beza sepunya JA, (b) nisbah sepunya JG, dan (c) hasil tambah $5$ sebutan pertama JG itu.

Show worked solution

(a) Dengan sebutan pertama $a=4$ dan beza sepunya $d$ , sebutan pertama, kedua dan keempat JA ialah $4$ , $4+d$ dan $4+3d$ . Tiga sebutan berturutan JG memenuhi "sebutan tengah dikuasa duakan sama dengan hasil darab dua sebutan luar", jadi:

(4+d)^{2}=4\,(4+3d)

Kembangkan kedua-dua belah dan permudahkan:

16+8d+d^{2}=16+12d

d^{2}+8d-12d=0 \;\Rightarrow\; d^{2}-4d=0 \;\Rightarrow\; d(d-4)=0

Jadi $d=0$ atau $d=4$ . Beza sepunya $0$ menjadikan setiap sebutan sama, nisbah remeh $1$ , jadi kita ambil $d=4$ .

(b) Tiga sebutan JG kini ialah $4$ , $4+4=8$ dan $4+3(4)=16$ . Nisbah sepunya ialah mana-mana sebutan atas sebutan sebelumnya:

r=\frac{8}{4}=2 \qquad \left(\text{semak: } \frac{16}{8}=2\right)

(c) JG itu mempunyai sebutan pertama $4$ dan $r=2$ . Jumlahkan $5$ sebutan pertama dengan $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ :

S_{5}=\frac{4(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{4(32-1)}{1}=4(31)=124

Jawapan

$d=4$ , $r=2$ , dan lima sebutan pertama JG berjumlah $124$ . Semak dengan menyenaraikan JG $4,8,16,32,64$ : jumlahnya $4+8+16+32+64=124$ , dan sebutan $4,8,16$ memang berada pada kedudukan $1,2,4$ JA $4,8,12,16,\ldots$

Q2[5 marks]

Suatu janjang geometri mempunyai sebutan pertama $18$ dan hasil tambah hingga infiniti $27$ . Cari (a) nisbah sepunya, dan (b) hasil tambah semua sebutan dari sebutan keempat dan seterusnya.

Show worked solution

(a) Hasil tambah hingga infiniti ialah $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ , sah di sini kerana hasil tambah itu wujud. Gantikan $a=18$ dan $S_{\infty}=27$ , kemudian selesaikan bagi $r$ :

27=\frac{18}{1-r} \;\Rightarrow\; 1-r=\frac{18}{27}=\frac{2}{3} \;\Rightarrow\; r=\frac{1}{3}

Oleh sebab $|r|=\tfrac{1}{3}<1$ , hasil tambah hingga infiniti memang sah.

(b) Sebutan dari yang keempat dan seterusnya ialah semua yang tinggal selepas tiga sebutan pertama, jadi jumlahnya ialah $S_{\infty}$ tolak hasil tambah tiga sebutan pertama. Cari $S_{3}$ dahulu dengan $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ (bentuk kemas apabila $r<1$ ):

S_{3}=\frac{18\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18\left(1-\frac{1}{27}\right)}{\frac{2}{3}}=\frac{18\cdot\frac{26}{27}}{\frac{2}{3}}=26

Kini tolak daripada hasil tambah hingga infiniti:

S_{\infty}-S_{3}=27-26=1

Jawapan

$r=\tfrac{1}{3}$ , dan sebutan dari yang keempat dan seterusnya berjumlah $1$ . Semak dengan menganggap sebutan keempat sebagai permulaan JG baharu: sebutan pertamanya ialah $T_{4}=18\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}=\tfrac{2}{3}$ , masih dengan nisbah $\tfrac{1}{3}$ , jadi hasil tambah hingga infinitinya ialah $\dfrac{2/3}{1-1/3}=\dfrac{2/3}{2/3}=1$ , yang sepadan.

Q3[6 marks]

Suatu janjang aritmetik sedemikian rupa sehingga sebutan ke-5 ialah $17$ dan hasil tambah $10$ sebutan pertama ialah $185$ . Cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, dan (b) hasil tambah sebutan ke-11 hingga ke-20 termasuk.

Show worked solution

(a) Tukarkan setiap fakta kepada persamaan. Sebutan ke-5 guna $T_{n}=a+(n-1)d$ ; hasil tambah guna $S_{n}=\frac{n}{2}[\,2a+(n-1)d\,]$ :

T_{5}=a+4d=17

S_{10}=\frac{10}{2}\,[\,2a+9d\,]=5(2a+9d)=185 \;\Rightarrow\; 2a+9d=37

Daripada persamaan pertama, $a=17-4d$ . Gantikan ke dalam $2a+9d=37$ :

2(17-4d)+9d=37 \;\Rightarrow\; 34-8d+9d=37 \;\Rightarrow\; d=3

Maka $a=17-4(3)=5$ .

(b) Sebutan ke-11 hingga ke-20 ialah $20$ sebutan pertama dengan $10$ sebutan pertama ditolak, jadi jumlahnya ialah $S_{20}-S_{10}$ . Kira $S_{20}$ :

S_{20}=\frac{20}{2}\,[\,2(5)+19(3)\,]=10\,[\,10+57\,]=10(67)=670

Kita sudah tahu $S_{10}=185$ , jadi:

S_{20}-S_{10}=670-185=485

Jawapan

$a=5$ , $d=3$ , dan sebutan ke-11 hingga ke-20 berjumlah $485$ . Semak secara bebas: sepuluh sebutan itu berjalan dari $T_{11}=5+10(3)=35$ hingga $T_{20}=5+19(3)=62$ , jadi jumlahnya ialah $\frac{10}{2}(35+62)=5(97)=485$ , yang sepadan.

Q4[5 marks]

Tiga sebutan berturutan suatu janjang aritmetik mempunyai hasil tambah $24$ dan hasil darab $312$ . Cari nilai-nilai yang mungkin bagi ketiga-tiga sebutan itu, dan nyatakan beza sepunya bagi setiap kes.

Show worked solution

Oleh sebab ketiga-tiga sebutan itu berturutan, tuliskannya secara simetri sebagai $a-d$ , $a$ , $a+d$ , hasil tambahnya terus dipermudahkan tanpa $d$ muncul langsung.

(a-d)+a+(a+d)=24

3a=24 \;\Rightarrow\; a=8

Kini guna hasil darab. Dengan $a=8$ , hasil darab ketiga-tiga sebutan ialah $(a-d)(a)(a+d)=a(a^{2}-d^{2})$ :

8\left(8^{2}-d^{2}\right)=312

64-d^{2}=39 \;\Rightarrow\; d^{2}=25 \;\Rightarrow\; d=\pm5

Kedua-dua tanda $d$ adalah sah, kedua-duanya hanya menerangkan tiga nombor yang sama, ditulis menaik atau menurun.

Jawapan

Ketiga-tiga sebutan ialah $3$ , $8$ , $13$ (dengan $d=5$ ), atau nombor yang sama secara songsang, $13$ , $8$ , $3$ (dengan $d=-5$ ). Semak: $3+8+13=24$ dan $3\times8\times13=312$ , kedua-duanya betul.

Q5[5 marks]

Bilangan bakteria dalam suatu kultur ialah $5$ pada permulaan eksperimen. Populasinya bertiga ganda setiap jam, jadi bilangan yang direkodkan pada permulaan setiap jam berturutan, $T_{1}=5, T_{2}, T_{3}, \ldots$ , membentuk suatu janjang geometri dengan nisbah sepunya $3$ .

Cari bilangan jam penuh paling minimum selepas permulaan eksperimen supaya populasi melebihi $10\,000$ .

Show worked solution

Dengan $a=5$ dan $r=3$ , sebutan $T_{n}=ar^{n-1}$ memberi bilangan yang direkodkan $(n-1)$ jam selepas permulaan. Kita perlukan $n$ paling minimum supaya $T_{n}$ melebihi $10\,000$ ; oleh sebab $n$ berada pada kuasa, ini memerlukan logaritma.

5(3)^{n-1} > 10\,000

3^{n-1} > 2000

Ambil $\lg$ kedua-dua belah. Oleh sebab asas $3>1$ , arah ketaksamaan kekal:

(n-1)\lg 3 > \lg 2000 \;\Rightarrow\; n-1 > \frac{\lg 2000}{\lg 3}

n-1 > 6.919\ldots \;\Rightarrow\; n > 7.919\ldots

$n$ mestilah nombor bulat, jadi ambil integer paling minimum melebihi $7.919\ldots$ :

n=8

$T_{8}$ ialah bilangan yang direkodkan $8-1=7$ jam selepas permulaan, jadi $7$ jam penuh diperlukan.

Jawapan

$7$ jam penuh. Semak: $T_{7}=5(3)^{6}=3645$ (masih kurang daripada $10\,000$ ), manakala $T_{8}=5(3)^{7}=10\,935$ , iaitu bilangan pertama yang melebihi $10\,000$ .

Q6[6 marks]

Aiman sedang memilih antara dua skim wang saku $10$ hari daripada pak ciknya. Skim A membayar RM10 pada hari 1, meningkat RM10 pada setiap hari berikutnya (janjang aritmetik).

Skim B membayar RM1 pada hari 1, berganda pada setiap hari berikutnya (janjang geometri). (a) Cari jumlah yang dibayar bagi setiap skim sepanjang $10$ hari itu.

(b) Nyatakan skim yang membayar lebih banyak secara keseluruhan, dan cari bezanya.

Show worked solution

Skim A ialah JA dengan $a=10$ , $d=10$ , $n=10$ . Cari jumlahnya dengan $S_{n}=\dfrac{n}{2}\,[\,2a+(n-1)d\,]$ :

S_{10}^{A}=\frac{10}{2}\,[\,2(10)+9(10)\,]=5(20+90)=5(110)=550

Skim B ialah JG dengan $a=1$ , $r=2$ , $n=10$ . Oleh sebab $r>1$ , guna $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ :

S_{10}^{B}=\frac{1\left(2^{10}-1\right)}{2-1}=2^{10}-1=1024-1=1023

Bandingkan kedua-dua jumlah:

S_{10}^{B}-S_{10}^{A}=1023-550=473

Jawapan

Skim A berjumlah RM550 dan Skim B berjumlah RM1023, jadi Skim B membayar lebih banyak, dengan beza RM473. Semak akal: di bawah Skim B, hari $10$ sahaja membayar $2^{9}=$ RM512, sudah hampir keseluruhan jumlah $10$ -hari Skim A, jadi jurang besar itu munasabah.

Q7[5 marks]

Tiga nombor disisipkan antara $4$ dan $324$ supaya lima nombor itu membentuk sebutan berturutan suatu janjang geometri. (a) Cari nilai yang mungkin bagi nisbah sepunya.

(b) Dengan mengambil nisbah sepunya positif, cari tiga nombor yang disisipkan dan hasil tambahnya.

Show worked solution

Dengan sebutan pertama $T_{1}=4$ dan sebutan kelima $T_{5}=324$ , guna $T_{5}=ar^{4}$ untuk membentuk persamaan dalam $r$ :

324=4r^{4}

r^{4}=81 \;\Rightarrow\; r=\pm3

Kedua-dua punca memenuhi persamaan kerana kuasanya genap; kedua-duanya memberi JG yang sah melalui $4$ dan $324$ . Ambil nisbah positif $r=3$ untuk bahagian (b):

T_{2}=4(3)=12,\quad T_{3}=12(3)=36,\quad T_{4}=36(3)=108

12+36+108=156

Jawapan

$r=3$ atau $r=-3$ ; dengan nisbah positif, tiga nombor yang disisipkan ialah $12$ , $36$ , $108$ , berjumlah $156$ . Semak: $4,12,36,108,324$ ialah JG dengan nisbah $3$ , dan $4(3)^{4}=4(81)=324$ seperti yang dikehendaki.

Q8[6 marks]

Hasil tambah $n$ sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberi oleh $S_{n}=3n^{2}+5n$ . (a) Cari sebutan pertama dan beza sepunya.

(b) Ungkapkan $T_{n}$ dalam sebutan $n$ . (c) Tentukan sama ada $100$ ialah sebutan janjang ini.

Show worked solution

(a)–(b) Sebutan pertama ialah $S_{1}$ ; setiap sebutan seterusnya ialah $T_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ .

T_{1}=S_{1}=3(1)^{2}+5(1)=8

T_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\left(3n^{2}+5n\right)-\left[3(n-1)^{2}+5(n-1)\right]

T_{n}=6n+2

Semak formula ini pada $n=1$ : $6(1)+2=8$ , sepadan tepat dengan $T_{1}$ , jadi ia berlaku bagi setiap $n\ge1$ . Oleh sebab $T_{n}$ linear dalam $n$ dengan pekali $6$ , sebutan pertama ialah $a=8$ dan beza sepunya ialah $d=6$ .

6n+2=100 \;\Rightarrow\; n=\frac{98}{6}=\frac{49}{3}

$n$ bukan nombor bulat, jadi $100$ bukan sebutan janjang ini.

Jawapan

$a=8$ , $d=6$ , $T_{n}=6n+2$ ; $100$ bukan sebutan (ia memerlukan $n=\tfrac{49}{3}$ ). Semak: $T_{16}=6(16)+2=98$ dan $T_{17}=6(17)+2=104$ , jadi janjang ini terus melangkaui $100$ .

Merentasi ketiga-tiganya, bahagian sukar tidak pernah aritmetik, ia memilih satu hubungan yang membuka soalan: syarat JG pada tiga sebutan, ekor sebagai $S_{\infty}-S_{3}$ , dan blok sebagai $S_{20}-S_{10}$ . Namakan apa yang mengaitkan yang diketahui dengan yang tidak diketahui, dan pengiraan menyusul.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menunjukkan bagaimana segelintir rumus yang sama bergabung menjadi soalan yang lebih sukar. Sediakan idea ini untuk masalah yang mencampurkan dua topik.

Tiga nombor berada dalam janjang geometri tepat apabila sebutan tengah dikuasa duakan sama dengan hasil darab dua sebutan luar: $b^{2}=ac$ .
Apabila sesuatu syarat memberi $d(d-4)=0$ , tolak punca yang menjadikan janjang remeh (di sini $d=0$ ) dan simpan yang bermakna.
Hasil tambah semua sebutan melepasi sebutan ke- $k$ bagi JG tak terhingga ialah $S_{\infty}-S_{k}$ ; setara dengannya, ia JG baharu bermula pada $T_{k+1}$ .
Hasil tambah blok sebutan JA, katakan ke-11 hingga ke-20, ialah $S_{20}-S_{10}$ , tidak perlu menambah sepuluh sebutan satu demi satu.
Dua fakta tentang JA memberi dua persamaan dalam $a$ dan $d$ ; selesaikannya bersama sebelum menjawab bahagian akhir.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, setiap baris yang jelas, pembinaan, penghapusan, penggantian, boleh memperoleh markah kaedahnya sendiri.

Bagaimana guru membantu

Soalan sukar jarang gagal pada aritmetik; ia gagal pada rancangan, tidak menyedari bahawa tiga sebutan dalam JG memberi $b^{2}=ac$ , atau tidak melihat ekor sebagai $S_{\infty}-S_{3}$ . Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami membantu anda menamakan hubungan penyambung dahulu, supaya algebra menjadi rutin dan bukan tekaan.

Kami juga melatih menolak punca remeh dan menyemak melalui laluan kedua, tabiat yang melindungi markah penuh. Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mempelajari penaakulan, bukan hanya jawapan.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama dalam kedua-duanya.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menggunakan fakta bahawa tiga sebutan berada dalam janjang geometri?

Samakan sebutan tengah yang dikuasa duakan dengan hasil darab dua sebutan luar: jika sebutannya $a$ , $b$ , $c$ maka $b^{2}=ac$ . Ini memberi satu persamaan yang boleh anda selesaikan bagi yang tidak diketahui.

Bagaimana saya mencari hasil tambah setiap sebutan selepas titik tertentu dalam JG tak terhingga?

Tolak hasil tambah separa daripada hasil tambah hingga infiniti. Sebutan dari yang keempat dan seterusnya berjumlah $S_{\infty}-S_{3}$ .

Anda boleh semak dengan menjumlahkan JG baharu yang bermula pada sebutan keempat.

Apakah cara terpantas menambah sebutan ke-11 hingga ke-20 suatu JA?

Guna $S_{20}-S_{10}$ . Menambah sepuluh sebutan satu demi satu adalah lambat dan mudah tersilap; beza dua hasil tambah separa memberi jumlah blok secara terus.

Mengapa kita tolak

d=0

dalam contoh pertama?

Beza sepunya $0$ menjadikan setiap sebutan sama dengan $4$ , yang merupakan janjang geometri hanya dalam erti remeh nisbah $1$ . Janjang tak remeh yang dimaksudkan datang daripada $d=4$ .

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Janjang, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?