数列例题（简单）| SPM Add Math

Q: 怎样区分等差数列和等比数列？

看什么保持不变。若每一项减去前一项都相同，就是等差，公差为 ddd。若每一项除以前一项都相同，就是等比，公比为 rrr。

Q: 为什么 T_{n}=ar^{\,n-1} 的指数是 n-1？

因为首项 aaa 被 rrr 乘了零次，所以 T1=ar0=aT_{1}=ar^{0}=aT1=ar0=a。第二项含一个 rrr，第三项含两个，第 nnn 项含 n−1n-1n−1 个。

Q: 什么时候可以用无穷项和公式？

只在 ∣r∣<1|r|<1∣r∣<1、各项缩小趋向零时。此时 S∞=a1−rS_{\infty}=\frac{a}{1-r}S∞=1−ra。若 ∣r∣≥1|r|\ge 1∣r∣≥1，各项不缩小，就没有有限的和。

Q: 这些公式需要背吗？

数列的四条主要公式印在 SPM 公式页上，但把它们记熟能省时间，也帮你快速选对公式。多练到能自动写出正确公式为止。

这些例题涵盖什么

这组简单的数列例题帮你打好整章赖以立足的四个动作：由固定的公差认出等差数列并求任意一项、用求和公式把一段等差项相加、由固定的公比认出等比数列并求某一项，以及把逐渐缩小的等比数列一直加到无穷。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

请诚实地用这组题：先盖住解答，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照。凡是你的算法与我们分岔的地方，就找出分岔的那一步，那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应解答，并留意贯穿每一题的同一套流程：写出首项，写出固定的步长（ $d$ 或 $r$ ），写下公式，然后一次一行仔细代入。

Q1[3 marks]

一个数列开始为 $3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots$ ，并按同一规则继续。求 (a) 公差，(b) 第10项。

Show worked solution

(a) 数列每一步都上升相同的量，所以它是等差数列。公差 $d$ 就是任意一项减去它的前一项：

d=7-3=4

(b) 首项 $a=3$ ， $d=4$ ，第 $n$ 项为 $T_{n}=a+(n-1)d$ 。代入 $n=10$ ：

T_{10}=3+(10-1)(4)=3+9(4)=3+36=39

答案

公差是 $4$ ，第10项是 $39$ 。逐项验证： $3,7,11,15,19,23,27,31,35,39$ ，第十个正是 $39$ 。

Q2[3 marks]

一个等差数列首项为 $5$ ，公差为 $3$ 。求前 $12$ 项之和。

Show worked solution

等差数列前 $n$ 项和为 $S_{n}=\frac{n}{2}\,[\,2a+(n-1)d\,]$ 。这里 $a=5$ ， $d=3$ ， $n=12$ 。

代入，并在相乘之前先化简括号里的部分：

S_{12}=\frac{12}{2}\,[\,2(5)+(12-1)(3)\,]

S_{12}=6\,[\,10+33\,]=6(43)=258

答案

前 $12$ 项之和为 $258$ 。用另一形式 $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ 检验：末项 $l=T_{12}=5+11(3)=38$ ，所以 $S_{12}=6(5+38)=6(43)=258$ ，一致。

Q3[3 marks]

一个数列开始为 $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$ 。求 (a) 公比，(b) 第6项。

Show worked solution

(a) 每一项都是前一项的固定倍数，所以这是等比数列。公比 $r$ 就是任意一项除以它的前一项：

r=\frac{6}{2}=3

(b) 首项 $a=2$ ， $r=3$ ，第 $n$ 项为 $T_{n}=ar^{\,n-1}$ 。代入 $n=6$ ，所以指数是 $6-1=5$ ：

T_{6}=2\times 3^{\,6-1}=2\times 3^{5}=2\times 243=486

答案

公比是 $3$ ，第6项是 $486$ 。逐项列出检验： $2,6,18,54,162,486$ ，第六项是 $486$ 。

Q4[3 marks]

一个等比数列首项为 $12$ ，公比为 $\tfrac{1}{2}$ 。求它的无穷项和。

Show worked solution

由于 $|r|=\tfrac{1}{2}<1$ ，各项缩小趋向零，累加的总和会停在一个有限值上。无穷项和为 $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ 。

代入 $a=12$ ， $r=\tfrac{1}{2}$ ：

S_{\infty}=\frac{12}{1-\frac{1}{2}}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24

答案

无穷项和为 $24$ 。从累加 $12+6+3+1.5+\ldots$ 来看也合理，它逐渐逼近 $24$ 却始终不超过。

Q5[3 marks]

$3x-1$ 、 $x+7$ 和 $5x-3$ 是等差数列中三个连续的项。求 $x$ 的值。

Show worked solution

在等差数列中，相邻两项之差保持不变，所以中间项正好是左右两项的平均值：中间项的两倍等于左右两项之和。

2(x+7)=(3x-1)+(5x-3)

展开两边，并把含 $x$ 的项归到一边：

2x+14=8x-4 \Rightarrow 18=6x \Rightarrow x=3

答案

$x=3$ 。验证：各项变为 $8,10,12$ ，确实是公差为 $2$ 的等差数列。

Q6[3 marks]

$3$ 、 $x$ 和 $27$ 是等比数列中三个连续的项。求 $x$ 的可能值。

Show worked solution

在等比数列中，相邻两项之比保持不变，所以中间项的平方等于左右两项之积。

x^{2}=(3)(27)=81

对两边开平方，注意公比可以是负数，所以这里两个根都成立：

x=\pm 9

答案

$x=9$ 或 $x=-9$ 。当 $x=9$ 时，各项 $3,9,27$ 构成公比 $r=3$ 的等比数列；当 $x=-9$ 时，各项 $3,-9,27$ 构成公比 $r=-3$ 的等比数列，两者都成立。

Q7[3 marks]

一个等差数列的首项为 $4$ ，公差为 $5$ 。数列中的第几项等于 $79$ ？

Show worked solution

利用 $T_{n}=a+(n-1)d$ ，代入 $a=4$ 、 $d=5$ ，并令 $T_{n}=79$ ，再求 $n$ ：

79=4+(n-1)(5)

化简并求出 $n$ ：

75=5(n-1) \Rightarrow 15=n-1 \Rightarrow n=16

答案

$79$ 是第16项。验证： $T_{16}=4+(15)(5)=4+75=79$ 。

Q8[3 marks]

一个等比数列的首项为 $5$ ，公比为 $2$ 。数列中的第几项等于 $160$ ？

Show worked solution

利用 $T_{n}=ar^{\,n-1}$ ，代入 $a=5$ 、 $r=2$ ，并令 $T_{n}=160$ ，再求 $n$ ：

160=5\times 2^{\,n-1}

两边除以 $5$ ，再把 $32$ 写成 $2$ 的幂，方便比较指数：

32=2^{\,n-1}=2^{5} \Rightarrow n-1=5 \Rightarrow n=6

答案

$160$ 是第6项。验证： $T_{6}=5\times 2^{5}=5\times 32=160$ 。

看看这四题表面多么不同，底下的纪律却多么一致：先判断是等差还是等比，写下 $a$ 连同 $d$ 或 $r$ ，选对公式，再用干净、分开的行代入。正是这个次序，把《数列》变成一整块可靠的开局分数。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每一道 Add Math 数列题都要用到的日常技能。多做练习时，记住以下几点。

检验等差：看相邻两项之差是否相等；公差为 $d=T_{2}-T_{1}$ 。
检验等比：看相邻两项之比是否相等；公比为 $r=\frac{T_{2}}{T_{1}}$ 。
等差项用 $T_{n}=a+(n-1)d$ ，等比项用 $T_{n}=ar^{\,n-1}$ ，指数是 $n-1$ ，不是 $n$ 。
等差求和用 $S_{n}=\frac{n}{2}[\,2a+(n-1)d\,]$ ，已知末项 $l$ 时用 $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ 。
无穷项和 $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ 只在 $|r|<1$ 时适用；否则没有有限的和。
由于采用分析式评分，即使最后的算术出错，一行正确的公式加清楚的代入仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，通常是一个可以纠正的小习惯，把 $r^{\,n-1}$ 写成 $r^{n}$ ，或在 $|r|\ge 1$ 时误用无穷项和公式。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，趁它还没养成习惯就当场纠正。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每条公式为什么合适的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

怎样区分等差数列和等比数列？

看什么保持不变。若每一项减去前一项都相同，就是等差，公差为 $d$ 。

若每一项除以前一项都相同，就是等比，公比为 $r$ 。

为什么

T_{n}=ar^{\,n-1}

的指数是

n-1

？

因为首项 $a$ 被 $r$ 乘了零次，所以 $T_{1}=ar^{0}=a$ 。第二项含一个 $r$ ，第三项含两个，第 $n$ 项含 $n-1$ 个。

什么时候可以用无穷项和公式？

只在 $|r|<1$ 、各项缩小趋向零时。此时 $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ 。

若 $|r|\ge 1$ ，各项不缩小，就没有有限的和。

这些公式需要背吗？

数列的四条主要公式印在 SPM 公式页上，但把它们记熟能省时间，也帮你快速选对公式。多练到能自动写出正确公式为止。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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这些例题涵盖什么

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关键方法要点

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