Janjang Contoh Kerja (Mudah)

Q: Bagaimana saya membezakan janjang aritmetik daripada janjang geometri?

Semak apa yang kekal tetap. Jika setiap sebutan tolak sebutan sebelumnya adalah sama, ia aritmetik dengan beza sepunya ddd. Jika setiap sebutan dibahagi sebutan sebelumnya adalah sama, ia geometri dengan nisbah sepunya rrr.

Q: Mengapa eksponennya n-1 dalam T_{n}=ar^{\,n-1}?

Kerana sebutan pertama aaa telah didarab dengan rrr sebanyak sifar kali, jadi T1=ar0=aT_{1}=ar^{0}=aT1=ar0=a. Sebutan kedua ada satu faktor rrr, ketiga ada dua, dan sebutan ke-nnn ada n−1n-1n−1.

Q: Bilakah saya boleh guna rumus hasil tambah hingga infiniti?

Hanya apabila ∣r∣<1|r|<1∣r∣<1, supaya sebutan mengecil menghampiri sifar. Maka S∞=a1−rS_{\infty}=\frac{a}{1-r}S∞=1−ra. Jika ∣r∣≥1|r|\ge 1∣r∣≥1, sebutan tidak mengecil dan tiada hasil tambah terhingga.

Q: Perlukah saya menghafal rumus ini?

Empat rumus utama janjang dicetak pada senarai rumus SPM, tetapi menghafalnya menjimatkan masa dan membantu anda memilih yang betul dengan pantas. Berlatih sehingga menulis rumus yang betul menjadi automatik.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Janjang mudah ini membina empat gerak yang menyokong seluruh bab: mengenal pasti janjang aritmetik daripada beza sepunya yang tetap dan mencari mana-mana sebutan, menjumlahkan sekumpulan sebutan JA dengan rumus hasil tambah, mengenal pasti janjang geometri daripada nisbahnya yang tetap dan mencari sebutan, serta menjumlahkan JG yang mengecil hingga infiniti. Setiap soalan menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda boleh mengikuti setiap baris tanpa bergantung pada kalkulator.

Gunakan set ini secara jujur: tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris. Di tempat kerja anda berbeza daripada kami, cari langkah tepat yang bercapah, baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan rutin yang sama di sebalik setiap satu: namakan sebutan pertama, namakan langkah tetap ( $d$ atau $r$ ), tulis rumus, kemudian gantikan satu baris teliti pada satu masa.

Q1[3 marks]

Suatu jujukan bermula $3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots$ dan berterusan dengan peraturan yang sama. Cari (a) beza sepunya, dan (b) sebutan ke-10.

Show worked solution

(a) Jujukan naik dengan amaun yang sama pada setiap langkah, jadi ia janjang aritmetik. Beza sepunya $d$ ialah mana-mana sebutan tolak sebutan sebelumnya:

d=7-3=4

(b) Dengan sebutan pertama $a=3$ dan $d=4$ , sebutan ke- $n$ ialah $T_{n}=a+(n-1)d$ . Masukkan $n=10$ :

T_{10}=3+(10-1)(4)=3+9(4)=3+36=39

Jawapan

Beza sepunya ialah $4$ dan sebutan ke-10 ialah $39$ . Semak dengan mengira: $3,7,11,15,19,23,27,31,35,39$ , sebutan kesepuluh memang $39$ .

Q2[3 marks]

Suatu janjang aritmetik mempunyai sebutan pertama $5$ dan beza sepunya $3$ . Cari hasil tambah $12$ sebutan pertama.

Show worked solution

Hasil tambah $n$ sebutan pertama JA ialah $S_{n}=\frac{n}{2}\,[\,2a+(n-1)d\,]$ . Di sini $a=5$ , $d=3$ dan $n=12$ .

Gantikan, kemudian permudahkan dalam kurungan sebelum mendarab:

S_{12}=\frac{12}{2}\,[\,2(5)+(12-1)(3)\,]

S_{12}=6\,[\,10+33\,]=6(43)=258

Jawapan

Hasil tambah $12$ sebutan pertama ialah $258$ . Semak dengan bentuk lain $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ : sebutan terakhir ialah $l=T_{12}=5+11(3)=38$ , jadi $S_{12}=6(5+38)=6(43)=258$ , yang sepadan.

Q3[3 marks]

Suatu jujukan bermula $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$ . Cari (a) nisbah sepunya, dan (b) sebutan ke-6.

Show worked solution

(a) Setiap sebutan ialah gandaan tetap sebutan sebelumnya, jadi ini janjang geometri. Nisbah sepunya $r$ ialah mana-mana sebutan dibahagi sebutan sebelumnya:

r=\frac{6}{2}=3

(b) Dengan sebutan pertama $a=2$ dan $r=3$ , sebutan ke- $n$ ialah $T_{n}=ar^{\,n-1}$ . Masukkan $n=6$ , jadi eksponennya $6-1=5$ :

T_{6}=2\times 3^{\,6-1}=2\times 3^{5}=2\times 243=486

Jawapan

Nisbah sepunya ialah $3$ dan sebutan ke-6 ialah $486$ . Semak dengan menyenaraikan: $2,6,18,54,162,486$ , sebutan keenam ialah $486$ .

Q4[3 marks]

Suatu janjang geometri mempunyai sebutan pertama $12$ dan nisbah sepunya $\tfrac{1}{2}$ . Cari hasil tambah hingga infiniti.

Show worked solution

Oleh sebab $|r|=\tfrac{1}{2}<1$ , sebutan mengecil menghampiri sifar dan jumlah berjalan menetap pada satu nilai terhingga. Hasil tambah hingga infiniti ialah $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ .

Gantikan $a=12$ dan $r=\tfrac{1}{2}$ :

S_{\infty}=\frac{12}{1-\frac{1}{2}}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24

Jawapan

Hasil tambah hingga infiniti ialah $24$ . Ini munasabah daripada jumlah berjalan $12+6+3+1.5+\ldots$ , yang merangkak menghampiri $24$ tanpa pernah melepasinya.

Q5[3 marks]

Nombor $3x-1$ , $x+7$ , dan $5x-3$ ialah tiga sebutan berturutan janjang aritmetik. Cari nilai $x$ .

Show worked solution

Dalam janjang aritmetik, beza antara sebutan berturutan adalah tetap, jadi sebutan tengah tepat di pertengahan antara dua jirannya: dua kali sebutan tengah sama dengan hasil tambah dua sebutan di kedua-dua belah.

2(x+7)=(3x-1)+(5x-3)

Kembangkan kedua-dua belah dan kumpulkan sebutan $x$ pada satu sisi:

2x+14=8x-4 \Rightarrow 18=6x \Rightarrow x=3

Jawapan

$x=3$ . Semak: sebutan menjadi $8,10,12$ , janjang aritmetik sebenar dengan beza sepunya $2$ .

Q6[3 marks]

Nombor $3$ , $x$ , dan $27$ ialah tiga sebutan berturutan janjang geometri. Cari nilai $x$ yang mungkin.

Show worked solution

Dalam janjang geometri, nisbah antara sebutan berturutan adalah tetap, jadi kuasa dua sebutan tengah sama dengan hasil darab dua sebutan di kedua-dua belah.

x^{2}=(3)(27)=81

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah, ingat nisbah sepunya boleh negatif, jadi kedua-dua punca sah di sini:

x=\pm 9

Jawapan

$x=9$ atau $x=-9$ . Dengan $x=9$ , sebutan $3,9,27$ membentuk JG dengan $r=3$ ; dengan $x=-9$ , sebutan $3,-9,27$ membentuk JG dengan $r=-3$ , kedua-duanya sah.

Q7[3 marks]

Suatu janjang aritmetik mempunyai sebutan pertama $4$ dan beza sepunya $5$ . Sebutan yang keberapakah bersamaan dengan $79$ ?

Show worked solution

Guna $T_{n}=a+(n-1)d$ dengan $a=4$ , $d=5$ , dan tetapkan $T_{n}=79$ , kemudian selesaikan untuk $n$ :

79=4+(n-1)(5)

Permudahkan dan asingkan $n$ :

75=5(n-1) \Rightarrow 15=n-1 \Rightarrow n=16

Jawapan

$79$ ialah sebutan ke-16. Semak: $T_{16}=4+(15)(5)=4+75=79$ .

Q8[3 marks]

Suatu janjang geometri mempunyai sebutan pertama $5$ dan nisbah sepunya $2$ . Sebutan yang keberapakah bersamaan dengan $160$ ?

Show worked solution

Guna $T_{n}=ar^{\,n-1}$ dengan $a=5$ , $r=2$ , dan tetapkan $T_{n}=160$ , kemudian selesaikan untuk $n$ :

160=5\times 2^{\,n-1}

Bahagikan kedua-dua belah dengan $5$ , kemudian tulis $32$ sebagai kuasa $2$ supaya eksponennya boleh disepadankan:

32=2^{\,n-1}=2^{5} \Rightarrow n-1=5 \Rightarrow n=6

Jawapan

$160$ ialah sebutan ke-6. Semak: $T_{6}=5\times 2^{5}=5\times 32=160$ .

Lihat betapa berbezanya keempat-empat ini pada rupanya, namun betapa serupanya disiplinnya: tentukan JA atau JG dahulu, tuliskan $a$ bersama $d$ atau $r$ , pilih rumus yang sepadan, kemudian gantikan dalam baris yang kemas dan berasingan. Susunan itulah yang menukar Janjang menjadi blok markah awal yang boleh dipercayai.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih kemahiran harian yang membuka hampir setiap soalan Janjang dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Uji JA dengan menyemak bahawa beza berturut-turut adalah sama; beza sepunya ialah $d=T_{2}-T_{1}$ .
Uji JG dengan menyemak bahawa nisbah berturut-turut adalah sama; nisbah sepunya ialah $r=\frac{T_{2}}{T_{1}}$ .
Guna $T_{n}=a+(n-1)d$ untuk sebutan JA dan $T_{n}=ar^{\,n-1}$ untuk sebutan JG, eksponennya $n-1$ , bukan $n$ .
Jumlahkan sebutan JA dengan $S_{n}=\frac{n}{2}[\,2a+(n-1)d\,]$ , atau $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$ apabila sebutan terakhir $l$ diketahui.
Hasil tambah hingga infiniti $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ terpakai hanya apabila $|r|<1$ ; jika tidak, tiada hasil tambah terhingga.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris rumus yang betul dengan penggantian yang jelas boleh memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah pada soalan seperti ini, biasanya ia satu tabiat kecil yang boleh dibetulkan, menulis $r^{n}$ dan bukan $r^{\,n-1}$ , atau menggunakan rumus hasil tambah hingga infiniti apabila $|r|\ge 1$ . Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab setiap rumus sesuai. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-duanya.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya membezakan janjang aritmetik daripada janjang geometri?

Semak apa yang kekal tetap. Jika setiap sebutan tolak sebutan sebelumnya adalah sama, ia aritmetik dengan beza sepunya $d$ .

Jika setiap sebutan dibahagi sebutan sebelumnya adalah sama, ia geometri dengan nisbah sepunya $r$ .

Mengapa eksponennya

n-1

dalam

T_{n}=ar^{\,n-1}

Kerana sebutan pertama $a$ telah didarab dengan $r$ sebanyak sifar kali, jadi $T_{1}=ar^{0}=a$ . Sebutan kedua ada satu faktor $r$ , ketiga ada dua, dan sebutan ke- $n$ ada $n-1$ .

Bilakah saya boleh guna rumus hasil tambah hingga infiniti?

Hanya apabila $|r|<1$ , supaya sebutan mengecil menghampiri sifar. Maka $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ .

Jika $|r|\ge 1$ , sebutan tidak mengecil dan tiada hasil tambah terhingga.

Perlukah saya menghafal rumus ini?

Empat rumus utama janjang dicetak pada senarai rumus SPM, tetapi menghafalnya menjimatkan masa dan membantu anda memilih yang betul dengan pantas. Berlatih sehingga menulis rumus yang betul menjadi automatik.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Janjang, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?