数列练习题 | SPM Add Math

Q: 怎样区分等差数列和等比数列？

等差数列每次加上相同的量，公差 ddd；等比数列每次乘以相同的量，公比 rrr。检查两三个间隔：差相等就是等差，比相等就是等比。

Q: 什么时候才能用无穷之和的公式？

只有当等比数列收敛时，也就是 −1<r<1-1<r<1−1<r<1。这时 S∞=a1−rS_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}S∞=1−ra。若 ∣r∣≥1|r|\ge 1∣r∣≥1，各项不缩小，和会无限增大，公式便不适用。

Q: 只给了两项时，怎么求 a 和 d？

用 Tn=a+(n−1)dT_{n}=a+(n-1)dTn=a+(n−1)d 把每一项写成方程，再联立求解。用一式减另一式即可消去 aaa，直接得到 ddd。

Q: 最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确写出的公式与正确的代入即使最后算术出错也能拿分。这就是为什么你应当始终先写公式。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章，从等差数列的第 $n$ 项，一直到等比数列的无穷之和，逐题加深。每题给自己大约五到八分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，写出所用的公式，清楚地代入 $a$ 、 $d$ 或 $r$ ，然后写出最终答案。

忍住偷看的冲动。

只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。

由于 Add Math 采用分析式评分，即使算术出错，一条正确写出的公式仍能拿分，所以务必先写公式，再代入。

六道练习题

Q1[3 marks]

一个等差数列的首项为 $5$ ，公差为 $3$ 。求第 $10$ 项。

Show worked solution

等差数列的第 $n$ 项为 $T_{n}=a+(n-1)d$ 。先写公式，再代入 $a=5$ 、 $d=3$ 、 $n=10$ ：

T_{10}=a+(10-1)d=5+9(3)

=5+27=32

答案

第 $10$ 项是 $32$ 。列举快速检验： $5,8,11,14,17,20,23,26,29,32$ ，第十个值确实是 $32$ 。

Q2[3 marks]

对于等差数列 $4, 7, 10, \ldots$ ，求前 $12$ 项之和。

Show worked solution

读出 $a=4$ ， $d=7-4=3$ 。等差数列前 $n$ 项之和为 $S_{n}=\dfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$ 。

代入 $n=12$ ：

S_{12}=\frac{12}{2}\big[2(4)+(12-1)(3)\big]

=6\big[8+33\big]=6(41)=246

答案

和为 $246$ 。用另一条求和公式检验：第 $12$ 项为 $T_{12}=4+11(3)=37$ ，所以 $S_{12}=\dfrac{12}{2}(4+37)=6(41)=246$ ，一致。

Q3[4 marks]

某等差数列的第 $3$ 项为 $11$ ，第 $7$ 项为 $27$ 。求 (a) 首项与公差，(b) 第 $20$ 项。

Show worked solution

(a) 用 $T_{n}=a+(n-1)d$ 把每一个已知项化成方程。由第 $3$ 项与第 $7$ 项：

a+2d=11 \qquad a+6d=27

用第二式减第一式消去 $a$ ，再代回：

(a+6d)-(a+2d)=27-11 \;\Rightarrow\; 4d=16 \;\Rightarrow\; d=4

a+2(4)=11 \;\Rightarrow\; a=3

(b) 再用第 $n$ 项公式，代入 $a=3$ 、 $d=4$ 、 $n=20$ ：

T_{20}=3+(20-1)(4)=3+76=79

答案

$a=3$ ， $d=4$ ，第 $20$ 项为 $79$ 。检验已知项： $T_{3}=3+2(4)=11$ ， $T_{7}=3+6(4)=27$ ，两者都对。

Q4[4 marks]

一个等比数列的首项为 $3$ ，第二项为 $6$ 。求 (a) 公比，(b) 第 $6$ 项。

Show worked solution

(a) 公比是任一项除以它的前一项， $r=\dfrac{T_{2}}{T_{1}}$ ：

r=\frac{6}{3}=2

(b) 等比数列的第 $n$ 项为 $T_{n}=ar^{n-1}$ 。代入 $a=3$ 、 $r=2$ 、 $n=6$ ：

T_{6}=3(2)^{6-1}=3(2)^{5}=3(32)=96

答案

$r=2$ ，第 $6$ 项为 $96$ 。列举快速检验： $3,6,12,24,48,96$ ，第六个值是 $96$ 。

Q5[4 marks]

对于等比数列 $2, 6, 18, \ldots$ ，求前 $5$ 项之和。

Show worked solution

读出 $a=2$ ， $r=\dfrac{6}{2}=3$ 。由于 $r>1$ ，用 $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ ，取 $n=5$ ：

S_{5}=\frac{2\big(3^{5}-1\big)}{3-1}=\frac{2(243-1)}{2}

=\frac{2(242)}{2}=242

答案

和为 $242$ 。直接相加检验： $2+6+18+54+162=242$ ，一致。

Q6[5 marks]

一个等比数列的首项为 $18$ ，其无穷之和为 $27$ 。求 (a) 公比，(b) 第三项。

Show worked solution

(a) 因为级数收敛，无穷之和存在，且 $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ 。代入 $a=18$ 与 $S_{\infty}=27$ ，再解出 $r$ ：

\frac{18}{1-r}=27 \;\Rightarrow\; 1-r=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}

r=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

(b) 取 $a=18$ ， $r=\dfrac{1}{3}$ ，第三项为 $T_{3}=ar^{2}$ ：

T_{3}=18\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=18\times\frac{1}{9}=2

答案

$r=\dfrac{1}{3}$ ，第三项为 $2$ 。由于 $|r|<1$ ，这个无穷之和是有效的。

检验： $S_{\infty}=\dfrac{18}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{18}{\tfrac{2}{3}}=27$ ，与题目一致。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看公式是否正确、代入是否正确、最终陈述是否清楚。

方法分：你是否写出了正确的公式， $T_{n}=a+(n-1)d$ 、 $S_{n}=\dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ 、 $T_{n}=ar^{n-1}$ ，或 $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ ？
代入分： $a$ 、 $d$ 或 $r$ 以及 $n$ 是否放进了正确位置， $(n-1)$ 是否保留了括号？
答案分：最终数值是否清楚写出，用列举各项或用第二条公式复核后能否成立？
对无穷之和，必须 $|r|<1$ 答案才有效，务必确认公比是一个真分数。
如果最后的数字错了但公式和代入都对，就给自己方法分，真正的考官正是这么做的。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，把等差公式用在等比数列上、把 $n-1$ 写成 $n$ ，或在公比大于一时仍去求无穷之和，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一条公式「为什么」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

怎样区分等差数列和等比数列？

等差数列每次加上相同的量，公差 $d$ ；等比数列每次乘以相同的量，公比 $r$ 。检查两三个间隔：差相等就是等差，比相等就是等比。

什么时候才能用无穷之和的公式？

只有当等比数列收敛时，也就是 $-1<r<1$ 。这时 $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ 。

若 $|r|\ge 1$ ，各项不缩小，和会无限增大，公式便不适用。

只给了两项时，怎么求

a

和

d

？

用 $T_{n}=a+(n-1)d$ 把每一项写成方程，再联立求解。用一式减另一式即可消去 $a$ ，直接得到 $d$ 。

最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确写出的公式与正确的代入即使最后算术出错也能拿分。

这就是为什么你应当始终先写公式。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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如何使用这些练习题

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如何像考官那样给自己评分

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