Janjang Soalan Latihan | Add Math SPM

Q: Bagaimana saya membezakan janjang aritmetik daripada geometri?

Dalam AP anda menambah jumlah yang sama setiap kali, beza sepunya ddd. Dalam GP anda mendarab dengan jumlah yang sama setiap kali, nisbah sepunya rrr. Semak dua atau tiga jurang: beza sama bermaksud AP, nisbah sama bermaksud GP.

Q: Bila saya boleh menggunakan rumus hasil tambah hingga ketakterhinggaan?

Hanya apabila janjang geometri menumpu, yang memerlukan −1<r<1-1<r<1−1<r<1. Maka S∞=a1−rS_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}S∞=1−ra. Jika ∣r∣≥1|r|\ge 1∣r∣≥1, sebutan tidak mengecil, jadi hasil tambah membesar tanpa had dan rumus tidak terpakai.

Q: Bagaimana saya mencari a dan d apabila hanya dua sebutan diberi?

Tulis setiap sebutan sebagai persamaan menggunakan Tn=a+(n−1)dT_{n}=a+(n-1)dTn=a+(n−1)d, kemudian selesaikan pasangan itu serentak. Menolak satu persamaan daripada yang lain menghapuskan aaa dan terus memberi anda ddd.

Q: Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, rumus yang dipetik dengan betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir. Sebab itulah anda patut sentiasa menulis rumus dahulu.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada sebutan ke- $n$ janjang aritmetik hingga hasil tambah hingga ketakterhinggaan janjang geometri. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, rumus yang digunakan, penggantian $a$ , $d$ atau $r$ yang jelas, kemudian jawapan akhir.

Tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, rumus yang dipetik dengan betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir, jadi tulis rumus sebelum anda menggantikan.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Suatu janjang aritmetik mempunyai sebutan pertama $5$ dan beza sepunya $3$ . Cari sebutan ke- $10$ .

Show worked solution

Sebutan ke- $n$ bagi AP ialah $T_{n}=a+(n-1)d$ . Tulis rumus, kemudian gantikan $a=5$ , $d=3$ dan $n=10$ :

T_{10}=a+(10-1)d=5+9(3)

=5+27=32

Jawapan

Sebutan ke- $10$ ialah $32$ . Semak pantas dengan menyenaraikan: $5,8,11,14,17,20,23,26,29,32$ , nilai kesepuluh memang $32$ .

Q2[3 marks]

Bagi janjang aritmetik $4, 7, 10, \ldots$ , cari hasil tambah $12$ sebutan pertama.

Show worked solution

Baca $a=4$ dan $d=7-4=3$ . Hasil tambah $n$ sebutan pertama AP ialah $S_{n}=\dfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$ .

Gantikan $n=12$ :

S_{12}=\frac{12}{2}\big[2(4)+(12-1)(3)\big]

=6\big[8+33\big]=6(41)=246

Jawapan

Hasil tambahnya ialah $246$ . Semak dengan rumus hasil tambah yang satu lagi: sebutan ke- $12$ ialah $T_{12}=4+11(3)=37$ , jadi $S_{12}=\dfrac{12}{2}(4+37)=6(41)=246$ , yang sepadan.

Q3[4 marks]

Sebutan ke- $3$ suatu janjang aritmetik ialah $11$ dan sebutan ke- $7$ ialah $27$ . Cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, dan (b) sebutan ke- $20$ .

Show worked solution

(a) Tukar setiap sebutan yang diberi kepada persamaan menggunakan $T_{n}=a+(n-1)d$ . Daripada sebutan ke- $3$ dan ke- $7$ :

a+2d=11 \qquad a+6d=27

Tolak persamaan pertama daripada kedua untuk menghapuskan $a$ , kemudian gantikan semula:

(a+6d)-(a+2d)=27-11 \;\Rightarrow\; 4d=16 \;\Rightarrow\; d=4

a+2(4)=11 \;\Rightarrow\; a=3

(b) Kini guna rumus sebutan ke- $n$ dengan $a=3$ , $d=4$ , $n=20$ :

T_{20}=3+(20-1)(4)=3+76=79

Jawapan

$a=3$ , $d=4$ , dan sebutan ke- $20$ ialah $79$ . Semak sebutan yang diberi: $T_{3}=3+2(4)=11$ dan $T_{7}=3+6(4)=27$ , kedua-duanya betul.

Q4[4 marks]

Suatu janjang geometri mempunyai sebutan pertama $3$ dan sebutan kedua $6$ . Cari (a) nisbah sepunya, dan (b) sebutan ke- $6$ .

Show worked solution

(a) Nisbah sepunya ialah mana-mana sebutan dibahagi sebutan sebelumnya, $r=\dfrac{T_{2}}{T_{1}}$ :

r=\frac{6}{3}=2

(b) Sebutan ke- $n$ bagi GP ialah $T_{n}=ar^{n-1}$ . Gantikan $a=3$ , $r=2$ , $n=6$ :

T_{6}=3(2)^{6-1}=3(2)^{5}=3(32)=96

Jawapan

$r=2$ dan sebutan ke- $6$ ialah $96$ . Semak pantas dengan menyenaraikan: $3,6,12,24,48,96$ , nilai keenam ialah $96$ .

Q5[4 marks]

Bagi janjang geometri $2, 6, 18, \ldots$ , cari hasil tambah $5$ sebutan pertama.

Show worked solution

Baca $a=2$ dan $r=\dfrac{6}{2}=3$ . Oleh sebab $r>1$ , guna $S_{n}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ dengan $n=5$ :

S_{5}=\frac{2\big(3^{5}-1\big)}{3-1}=\frac{2(243-1)}{2}

=\frac{2(242)}{2}=242

Jawapan

Hasil tambahnya ialah $242$ . Semak dengan menambah terus: $2+6+18+54+162=242$ , yang sepadan.

Q6[5 marks]

Suatu janjang geometri mempunyai sebutan pertama $18$ , dan hasil tambah hingga ketakterhinggaannya ialah $27$ . Cari (a) nisbah sepunya, dan (b) sebutan ketiga.

Show worked solution

(a) Hasil tambah hingga ketakterhinggaan wujud kerana siri ini menumpu, dan $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ . Gantikan $a=18$ dan $S_{\infty}=27$ , kemudian selesaikan untuk $r$ :

\frac{18}{1-r}=27 \;\Rightarrow\; 1-r=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}

r=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

(b) Dengan $a=18$ dan $r=\dfrac{1}{3}$ , sebutan ketiga ialah $T_{3}=ar^{2}$ :

T_{3}=18\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=18\times\frac{1}{9}=2

Jawapan

$r=\dfrac{1}{3}$ dan sebutan ketiga ialah $2$ . Oleh sebab $|r|<1$ , hasil tambah hingga ketakterhinggaan itu sah.

Semak: $S_{\infty}=\dfrac{18}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{18}{\tfrac{2}{3}}=27$ , seperti yang diberi.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari rumus yang betul, penggantian yang tepat, dan pernyataan akhir yang jelas.

Markah kaedah: adakah anda menulis rumus yang betul, $T_{n}=a+(n-1)d$ , $S_{n}=\dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ , $T_{n}=ar^{n-1}$ , atau $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ ?
Markah penggantian: adakah $a$ , $d$ atau $r$ dan $n$ diletakkan pada tempat yang betul, dengan kurungan dikekalkan pada $(n-1)$ ?
Markah jawapan: adakah nilai akhir dinyatakan dengan jelas, dan bertahan apabila disemak dengan menyenaraikan sebutan atau menggunakan rumus kedua?
Bagi hasil tambah hingga ketakterhinggaan, anda mesti mempunyai $|r|<1$ supaya jawapan itu sah, sentiasa sahkan nisbah ialah pecahan wajar.
Jika nombor akhir anda salah tetapi rumus dan penggantian betul, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, rumus AP digunakan untuk GP, $n-1$ ditulis sebagai $n$ , atau hasil tambah hingga ketakterhinggaan dicuba sedangkan nisbah lebih besar daripada satu, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap rumus. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya membezakan janjang aritmetik daripada geometri?

Dalam AP anda menambah jumlah yang sama setiap kali, beza sepunya $d$ . Dalam GP anda mendarab dengan jumlah yang sama setiap kali, nisbah sepunya $r$ .

Semak dua atau tiga jurang: beza sama bermaksud AP, nisbah sama bermaksud GP.

Bila saya boleh menggunakan rumus hasil tambah hingga ketakterhinggaan?

Hanya apabila janjang geometri menumpu, yang memerlukan $-1<r<1$ . Maka $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ .

Jika $|r|\ge 1$ , sebutan tidak mengecil, jadi hasil tambah membesar tanpa had dan rumus tidak terpakai.

Bagaimana saya mencari

a

dan

d

apabila hanya dua sebutan diberi?

Tulis setiap sebutan sebagai persamaan menggunakan $T_{n}=a+(n-1)d$ , kemudian selesaikan pasangan itu serentak. Menolak satu persamaan daripada yang lain menghapuskan $a$ dan terus memberi anda $d$ .

Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, rumus yang dipetik dengan betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sebab itulah anda patut sentiasa menulis rumus dahulu.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Janjang, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?