线性定律例题（简单）| SPM Add Math

Q: 我怎么知道两条轴上要画哪些量？

把关系与 Y=mX+cY = mX + cY=mX+c 比对。以直线形式变化的量成为横轴 XXX，对它读取的量成为纵轴 YYY。对 y=ax2+by = ax^{2}+by=ax2+b，就是 Y=yY = yY=y、X=x2X = x^{2}X=x2。

Q: 斜率和截距告诉我什么？

斜率等于附在 XXX 上的系数，纵轴截距等于常数项。从直线上读出这两个数，通常就足以求出未知常数。

Q: 怎样由两点求最佳拟合直线的方程？

用 m=Y2−Y1X2−X1m = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}m=X2−X1Y2−Y1 求斜率，再把其中一个点代入 Y=mX+cY = mX + cY=mX+c 解出 ccc。务必用另一个点检验你的方程。

这些例题涵盖什么

这组简单的线性定律例题帮你打好整章赖以立足的动作：把一个关系化为直线形式 $Y = mX + c$ 、读出斜率与纵轴截距、由两点求出最佳拟合直线的方程，以及用这条直线去估算数值。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

最好的用法是先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步，那一行往往正是真正学到东西的地方。

把与 $Y = mX + c$ 的比对当成要放慢脚步的动作，这些就会变成又快又可靠的分数。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套流程，与 $Y = mX + c$ 比对、决定要画什么、再读出斜率与截距，如何贯穿每一题。

Q1[3 marks]

一条最佳拟合直线通过点 $(2, 7)$ 与 $(6, 19)$ 。求 (a) 直线的斜率，(b) 直线的方程，写成 $Y = mX + c$ 的形式。

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(a) 斜率衡量 $X$ 每增加一个单位时 $Y$ 上升多少。把两个已知点代入斜率公式：

m=\frac{19-7}{6-2}=\frac{12}{4}=3

(b) 把 $m = 3$ 代入 $Y = mX + c$ ，再用一个已知点，比如 $(2, 7)$ ，求出截距 $c$ ：

7=3(2)+c \;\Rightarrow\; 7=6+c \;\Rightarrow\; c=1

答案

斜率是 $3$ ，直线是 $Y = 3X + 1$ 。用第二个点检验：在 $X = 6$ 时， $Y = 3(6) + 1 = 19$ ，与给定的点完全吻合。

Q2[4 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ax^{2} + b$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。当以 $y$ 对 $x^{2}$ 作图时，得到一条斜率为 $4$ 、纵轴截距为 $-3$ 的直线。

求 (a) $a$ 与 $b$ 的值，(b) 当 $x = 2$ 时 $y$ 的值。

Show worked solution

(a) 把关系与直线形式对照。把 $y = ax^{2} + b$ 写在 $Y = mX + c$ 旁边，可见纵轴承载 $Y = y$ ，横轴承载 $X = x^{2}$ ：

y = a\,x^{2} + b \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

所以斜率代表 $a$ ，截距代表 $b$ 。直接从图上读出这两个数：

a = m = 4, \qquad b = c = -3

(b) 因此关系是 $y = 4x^{2} - 3$ 。代入 $x = 2$ ，先平方再相乘：

y = 4(2)^{2} - 3 = 4(4) - 3 = 16 - 3 = 13

答案

$a = 4$ ， $b = -3$ ，且当 $x = 2$ 时 $y = 13$ 。关键动作是意识到：以 $y$ 对 $x^{2}$ 作图，而不是对 $x$ ，才能把一条曲线关系变成直线。

Q3[4 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = \frac{p}{x} + q$ 联系。以 $y$ 对 $\frac{1}{x}$ 作图得到的直线斜率为 $5$ 、纵轴截距为 $2$ 。

求 (a) $p$ 与 $q$ 的值，(b) 当 $x = 5$ 时 $y$ 的值。

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(a) 重写关系，让变化的量清楚显现： $y = p\left(\frac{1}{x}\right) + q$ 。与 $Y = mX + c$ 对照，纵轴是 $Y = y$ ，横轴是 $X = \frac{1}{x}$ ：

y = p\left(\frac{1}{x}\right) + q \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

斜率是 $p$ ，截距是 $q$ ，直接读出：

p = 5, \qquad q = 2

(b) 关系是 $y = \frac{5}{x} + 2$ 。代入 $x = 5$ ：

y = \frac{5}{5} + 2 = 1 + 2 = 3

答案

$p = 5$ ， $q = 2$ ，且当 $x = 5$ 时 $y = 3$ 。这里以 $\frac{1}{x}$ 而不是 $x$ 作图，正是让图变直的原因。

Q4[4 marks]

$y$ 对 $x$ 的最佳拟合直线通过点 $(1, 4)$ 与 $(5, 12)$ 。用这条直线估算 (a) 当 $x = 3$ 时 $y$ 的值，(b) 当 $y = 20$ 时 $x$ 的值。

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先求直线的方程。斜率由两点得出：

m = \frac{12 - 4}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2

把 $m = 2$ 与点 $(1, 4)$ 代入 $y = mx + c$ ，求出截距：

4 = 2(1) + c \;\Rightarrow\; c = 2 \;\Rightarrow\; y = 2x + 2

(a) 要估算 $x = 3$ 时的 $y$ ，把 $x = 3$ 代入方程：

y = 2(3) + 2 = 8

(b) 要估算 $y = 20$ 时的 $x$ ，令 $y = 20$ 解出 $x$ ：

20 = 2x + 2 \;\Rightarrow\; 2x = 18 \;\Rightarrow\; x = 9

答案

当 $x = 3$ 时 $y = 8$ ；当 $y = 20$ 时 $x = 9$ 。从最佳拟合直线的方程读数，往往比在方格纸上量取更快、更稳。

Q5[3 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ax^{n}$ 联系，其中 $a$ 与 $n$ 为常数。当以 $\lg y$ 对 $\lg x$ 作图时，得到一条斜率为 $2$ 、纵轴截距为 $1$ 的直线。

求 $a$ 与 $n$ 的值。

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对 $y = ax^{n}$ 两边取 $\lg$ ，再与 $Y = mX + c$ 对照：

\lg y = n\lg x + \lg a \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

横轴是 $X = \lg x$ ，纵轴是 $Y = \lg y$ ；斜率代表 $n$ ，截距代表 $\lg a$ 。直接从图上读出这两个值：

n = 2, \qquad \lg a = 1 \;\Rightarrow\; a = 10^{1} = 10

答案

$n = 2$ ， $a = 10$ ，所以 $y = 10x^{2}$ 。检验：当 $x = 10$ 时， $\lg x = 1$ ，所以 $\lg y$ 应为 $2(1) + 1 = 3$ ，而事实上 $y = 10(10)^{2} = 1000$ ， $\lg 1000 = 3$ ，相符。

Q6[3 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ab^{x}$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。当以 $\lg y$ 对 $x$ 作图时，得到一条斜率为 $-1$ 、纵轴截距为 $2$ 的直线。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

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对 $y = ab^{x}$ 两边取 $\lg$ ，再与 $Y = mX + c$ 对照：

\lg y = (\lg b)x + \lg a \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

这里横轴就是 $X = x$ ；斜率代表 $\lg b$ ，截距代表 $\lg a$ 。用 $10$ 的幂把两者换回来：

\lg b = -1 \;\Rightarrow\; b = 10^{-1} = \frac{1}{10}, \qquad \lg a = 2 \;\Rightarrow\; a = 10^{2} = 100

答案

$a = 100$ ， $b = \frac{1}{10}$ ，所以 $y = 100\left(\frac{1}{10}\right)^{x}$ 。检验：当 $x = 0$ 时， $y = 100$ ， $\lg 100 = 2$ ，与给定的截距完全相符。

Q7[3 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $xy = px + q$ 联系，其中 $p$ 与 $q$ 为常数。把方程整理后，以 $y$ 对 $\frac{1}{x}$ 作图，得到一条斜率为 $6$ 、纵轴截距为 $2$ 的直线。

求 $p$ 与 $q$ 的值。

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把 $xy = px + q$ 两边除以 $x$ ，让 $y$ 单独留在左边：

xy = px + q \;\Longrightarrow\; y = p + q\left(\frac{1}{x}\right)

与 $Y = mX + c$ 对照：纵轴是 $Y = y$ ，横轴是 $X = \frac{1}{x}$ ，所以斜率代表 $q$ ，截距代表 $p$ ：

q = 6, \qquad p = 2

答案

$p = 2$ ， $q = 6$ ，所以 $xy = 2x + 6$ 。检验：把方程除回 $x$ 得 $y = 2 + \frac{6}{x}$ ，斜率为 $6$ ，截距为 $2$ ，与题目给定的完全一致。

Q8[3 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ax^{2} + bx$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。当以 $\frac{y}{x}$ 对 $x$ 作图时，得到一条斜率为 $3$ 、纵轴截距为 $-2$ 的直线。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

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把 $y = ax^{2} + bx$ 两边除以 $x$ ，让右边只剩一个 $x$ 的幂：

y = ax^{2} + bx \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x} = ax + b

与 $Y = mX + c$ 对照：纵轴是 $Y = \frac{y}{x}$ ，横轴是 $X = x$ ，所以斜率代表 $a$ ，截距代表 $b$ ：

a = 3, \qquad b = -2

答案

$a = 3$ ， $b = -2$ ，所以 $y = 3x^{2} - 2x$ 。检验：当 $x = 1$ 时， $\frac{y}{x} = 3(1) - 2 = 1$ ；直接计算 $y = 3(1)^{2} - 2(1) = 1$ ，所以 $\frac{y}{x} = 1$ 也成立。

留意这四题底下同一个习惯：把给定的关系与 $Y = mX + c$ 比对，先确定每条轴上放的是什么，然后才读出或使用斜率与截距。一旦这个比对成了本能，线性定律就会成为 Add Math 中最可靠的得分来源之一。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每一道线性定律题都要用到的日常技能。多做练习时，记住以下几点。

先把给定的关系与 $Y = mX + c$ 比对，并清楚写下 $Y$ 与 $X$ 各代表什么。
直线的斜率等于附在 $X$ 上的系数；纵轴截距等于常数项。
由两点求斜率用 $m = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}$ ，再代入一个点求截距。
对 $y = ax^{2} + b$ 以 $y$ 对 $x^{2}$ 作图；对 $y = \frac{p}{x} + q$ 以 $y$ 对 $\frac{1}{x}$ 作图。
求得直线方程后，用代入法估算数值，而不是在方格上量取。
由于采用分析式评分，即使最后的算术出错，正确的比对与代入仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这里丢分，几乎总是一个可以纠正的习惯，把图画成对 $x$ 而不是对 $x^{2}$ ，或者弄错哪条轴承载斜率。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人，而不只是「怎么做」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

我怎么知道两条轴上要画哪些量？

把关系与 $Y = mX + c$ 比对。以直线形式变化的量成为横轴 $X$ ，对它读取的量成为纵轴 $Y$ 。

对 $y = ax^{2}+b$ ，就是 $Y = y$ 、 $X = x^{2}$ 。

斜率和截距告诉我什么？

斜率等于附在 $X$ 上的系数，纵轴截距等于常数项。从直线上读出这两个数，通常就足以求出未知常数。

怎样由两点求最佳拟合直线的方程？

用 $m = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}$ 求斜率，再把其中一个点代入 $Y = mX + c$ 解出 $c$ 。务必用另一个点检验你的方程。

我该从图上读数还是从方程读数？

一旦有了方程，就代入方程，这比在方格上量取更快、更少出错。图主要用来画直线和检验答案是否合理。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

线性定律，例题（简单）

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