Hukum Linear Contoh Kerja (Mudah)

Q: Bagaimana saya tahu kuantiti mana untuk diplot pada dua paksi?

Bandingkan hubungan dengan Y=mX+cY = mX + cY=mX+c. Kuantiti yang berubah dalam corak garis lurus menjadi XXX mengufuk, dan kuantiti yang dibaca terhadapnya menjadi YYY menegak. Bagi y=ax2+by = ax^{2}+by=ax2+b, ini bermaksud Y=yY = yY=y dan X=x2X = x^{2}X=x2.

Q: Apakah yang diberitahu oleh kecerunan dan pintasan?

Kecerunan sama dengan pekali yang melekat pada XXX, dan pintasan paksi menegak sama dengan sebutan pemalar. Membaca dua nombor ini daripada garis lurus biasanya sudah cukup untuk mencari pemalar yang tidak diketahui.

Q: Bagaimana saya mencari persamaan garis penyuaian terbaik daripada dua titik?

Cari kecerunan dengan m=Y2−Y1X2−X1m = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}m=X2−X1Y2−Y1, kemudian gantikan salah satu titik ke dalam Y=mX+cY = mX + cY=mX+c untuk menyelesaikan ccc. Sentiasa semak persamaan anda dengan titik yang satu lagi.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Hukum Linear mudah ini membina gerak yang menjadi tunjang seluruh bab: menjadikan sesuatu hubungan bentuk garis lurus $Y = mX + c$ , membaca kecerunan dan pintasan paksi menegak, mencari persamaan garis penyuaian terbaik daripada dua titik, dan menggunakan garis itu untuk menganggar nilai. Setiap satu menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda dapat mengikuti setiap baris tanpa terganggu oleh kalkulator.

Cara terbaik menggunakan set ini ialah menutup penyelesaian, mencuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris dengan kerja kami. Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah, baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Anggap perbandingan dengan $Y = mX + c$ sebagai gerak untuk perlahan, dan ini bertukar menjadi markah pantas yang boleh dipercayai.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana rutin yang sama, bandingkan dengan $Y = mX + c$ , tentukan apa yang hendak diplot, kemudian baca kecerunan dan pintasan, mengalir dalam setiap satu.

Q1[3 marks]

Suatu garis penyuaian terbaik melalui titik $(2, 7)$ dan $(6, 19)$ . Cari (a) kecerunan garis itu, dan (b) persamaan garis itu dalam bentuk $Y = mX + c$ .

Show worked solution

(a) Kecerunan mengukur berapa banyak $Y$ naik bagi setiap tambahan satu unit $X$ . Gunakan dua titik yang diberi dalam rumus kecerunan:

m=\frac{19-7}{6-2}=\frac{12}{4}=3

(b) Gantikan $m = 3$ ke dalam $Y = mX + c$ , kemudian guna satu titik yang diketahui, katakan $(2, 7)$ , untuk mencari pintasan $c$ :

7=3(2)+c \;\Rightarrow\; 7=6+c \;\Rightarrow\; c=1

Jawapan

Kecerunannya ialah $3$ dan garisnya ialah $Y = 3X + 1$ . Semak dengan titik kedua: pada $X = 6$ , $Y = 3(6) + 1 = 19$ , yang sepadan tepat dengan titik yang diberi.

Q2[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ax^{2} + b$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Apabila $y$ diplot melawan $x^{2}$ , suatu garis lurus berkecerunan $4$ dan berpintasan paksi menegak $-3$ diperoleh.

Cari (a) nilai $a$ dan $b$ , dan (b) nilai $y$ apabila $x = 2$ .

Show worked solution

(a) Padankan hubungan itu dengan bentuk garis lurus. Menulis $y = ax^{2} + b$ di sebelah $Y = mX + c$ menunjukkan bahawa paksi menegak membawa $Y = y$ dan paksi mengufuk membawa $X = x^{2}$ :

y = a\,x^{2} + b \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

Jadi kecerunan mewakili $a$ dan pintasan mewakili $b$ . Baca kedua-dua nombor terus daripada graf:

a = m = 4, \qquad b = c = -3

(b) Oleh itu hubungannya ialah $y = 4x^{2} - 3$ . Gantikan $x = 2$ , ambil kuasa dua sebelum darab:

y = 4(2)^{2} - 3 = 4(4) - 3 = 16 - 3 = 13

Jawapan

$a = 4$ , $b = -3$ , dan $y = 13$ apabila $x = 2$ . Gerak utama ialah menyedari bahawa memplot $y$ melawan $x^{2}$ , bukan melawan $x$ , yang menukar hubungan melengkung menjadi garis lurus.

Q3[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = \frac{p}{x} + q$ . Suatu graf garis lurus $y$ melawan $\frac{1}{x}$ mempunyai kecerunan $5$ dan pintasan paksi menegak $2$ .

Cari (a) nilai $p$ dan $q$ , dan (b) nilai $y$ apabila $x = 5$ .

Show worked solution

(a) Tulis semula hubungan supaya kuantiti yang berubah jelas: $y = p\left(\frac{1}{x}\right) + q$ . Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = y$ dan paksi mengufuk ialah $X = \frac{1}{x}$ :

y = p\left(\frac{1}{x}\right) + q \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

Kecerunan ialah $p$ dan pintasan ialah $q$ , jadi baca kedua-duanya terus:

p = 5, \qquad q = 2

(b) Hubungannya ialah $y = \frac{5}{x} + 2$ . Gantikan $x = 5$ :

y = \frac{5}{5} + 2 = 1 + 2 = 3

Jawapan

$p = 5$ , $q = 2$ , dan $y = 3$ apabila $x = 5$ . Memplot melawan $\frac{1}{x}$ dan bukan $x$ yang menjadikan graf ini lurus.

Q4[4 marks]

Suatu garis penyuaian terbaik bagi graf $y$ melawan $x$ melalui titik $(1, 4)$ dan $(5, 12)$ . Guna garis itu untuk menganggar (a) nilai $y$ apabila $x = 3$ , dan (b) nilai $x$ apabila $y = 20$ .

Show worked solution

Cari dahulu persamaan garis itu. Kecerunan datang daripada dua titik:

m = \frac{12 - 4}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2

Gantikan $m = 2$ dan titik $(1, 4)$ ke dalam $y = mx + c$ untuk mencari pintasan:

4 = 2(1) + c \;\Rightarrow\; c = 2 \;\Rightarrow\; y = 2x + 2

(a) Untuk menganggar $y$ apabila $x = 3$ , gantikan $x = 3$ ke dalam persamaan:

y = 2(3) + 2 = 8

(b) Untuk menganggar $x$ apabila $y = 20$ , tetapkan $y = 20$ dan selesaikan untuk $x$ :

20 = 2x + 2 \;\Rightarrow\; 2x = 18 \;\Rightarrow\; x = 9

Jawapan

Apabila $x = 3$ , $y = 8$ ; apabila $y = 20$ , $x = 9$ . Membaca nilai daripada persamaan garis penyuaian terbaik selalunya lebih pantas dan lebih mantap daripada mengukur pada kertas graf itu sendiri.

Q5[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ax^{n}$ , dengan $a$ dan $n$ ialah pemalar. Apabila $\lg y$ diplot melawan $\lg x$ , suatu garis lurus berkecerunan $2$ dan berpintasan paksi menegak $1$ diperoleh.

Cari nilai $a$ dan $n$ .

Show worked solution

Ambil $\lg$ bagi kedua-dua belah $y = ax^{n}$ dan bandingkan hasilnya dengan $Y = mX + c$ :

\lg y = n\lg x + \lg a \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

Jadi paksi mengufuk membawa $X = \lg x$ dan paksi menegak membawa $Y = \lg y$ ; kecerunan mewakili $n$ dan pintasan mewakili $\lg a$ . Baca kedua-dua nilai terus daripada graf:

n = 2, \qquad \lg a = 1 \;\Rightarrow\; a = 10^{1} = 10

Jawapan

$n = 2$ dan $a = 10$ , jadi $y = 10x^{2}$ . Semak: pada $x = 10$ , $\lg x = 1$ , maka $\lg y$ sepatutnya $2(1) + 1 = 3$ , dan benar, $y = 10(10)^{2} = 1000$ , dengan $\lg 1000 = 3$ .

Q6[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ab^{x}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Apabila $\lg y$ diplot melawan $x$ , suatu garis lurus berkecerunan $-1$ dan berpintasan paksi menegak $2$ diperoleh.

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Ambil $\lg$ bagi kedua-dua belah $y = ab^{x}$ dan bandingkan dengan $Y = mX + c$ :

\lg y = (\lg b)x + \lg a \quad\Longleftrightarrow\quad Y = mX + c

Di sini paksi mengufuk hanyalah $X = x$ ; kecerunan mewakili $\lg b$ dan pintasan mewakili $\lg a$ . Tukar semula setiap satu menggunakan kuasa $10$ :

\lg b = -1 \;\Rightarrow\; b = 10^{-1} = \frac{1}{10}, \qquad \lg a = 2 \;\Rightarrow\; a = 10^{2} = 100

Jawapan

$a = 100$ dan $b = \frac{1}{10}$ , jadi $y = 100\left(\frac{1}{10}\right)^{x}$ . Semak pada $x = 0$ : $y = 100$ , dan $\lg 100 = 2$ , sepadan tepat dengan pintasan yang diberi.

Q7[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $xy = px + q$ , dengan $p$ dan $q$ ialah pemalar. Apabila persamaan itu disusun semula dan graf $y$ melawan $\frac{1}{x}$ diplot, suatu garis lurus berkecerunan $6$ dan berpintasan paksi menegak $2$ diperoleh.

Cari nilai $p$ dan $q$ .

Show worked solution

Bahagikan kedua-dua belah $xy = px + q$ dengan $x$ supaya $y$ berdiri sendiri di sebelah kiri:

xy = px + q \;\Longrightarrow\; y = p + q\left(\frac{1}{x}\right)

Bandingkan ini dengan $Y = mX + c$ : paksi menegak ialah $Y = y$ dan paksi mengufuk ialah $X = \frac{1}{x}$ , jadi kecerunan mewakili $q$ dan pintasan mewakili $p$ :

q = 6, \qquad p = 2

Jawapan

$p = 2$ dan $q = 6$ , jadi $xy = 2x + 6$ . Semak: membahagikan semula dengan $x$ memberi $y = 2 + \frac{6}{x}$ , kecerunan $6$ dan pintasan $2$ , tepat seperti yang diberi.

Q8[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ax^{2} + bx$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Apabila $\frac{y}{x}$ diplot melawan $x$ , suatu garis lurus berkecerunan $3$ dan berpintasan paksi menegak $-2$ diperoleh.

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Bahagikan kedua-dua belah $y = ax^{2} + bx$ dengan $x$ untuk mengasingkan satu kuasa $x$ sahaja di sebelah kanan:

y = ax^{2} + bx \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x} = ax + b

Bandingkan dengan $Y = mX + c$ : paksi menegak ialah $Y = \frac{y}{x}$ dan paksi mengufuk ialah $X = x$ , jadi kecerunan mewakili $a$ dan pintasan mewakili $b$ :

a = 3, \qquad b = -2

Jawapan

$a = 3$ dan $b = -2$ , jadi $y = 3x^{2} - 2x$ . Semak pada $x = 1$ : $\frac{y}{x} = 3(1) - 2 = 1$ , dan secara terus, $y = 3(1)^{2} - 2(1) = 1$ , jadi $\frac{y}{x} = 1$ juga.

Perhatikan satu tabiat di sebalik keempat-empatnya: bandingkan hubungan yang diberi dengan $Y = mX + c$ , tentukan tepat apa yang tergolong pada setiap paksi, dan barulah baca atau guna kecerunan dan pintasan. Sebaik perbandingan itu menjadi lumrah, Hukum Linear bertukar menjadi salah satu sumber markah paling boleh dipercayai dalam Add Math.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih kemahiran harian yang membuka hampir setiap soalan Hukum Linear dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Sentiasa bandingkan hubungan yang diberi dengan $Y = mX + c$ dahulu, dan tulis dengan jelas apa yang diwakili oleh $Y$ dan $X$ .
Kecerunan garis lurus sama dengan pekali yang melekat pada $X$ ; pintasan paksi menegak sama dengan sebutan pemalar.
Untuk mencari kecerunan daripada dua titik, guna $m = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}$ , kemudian gantikan satu titik untuk mencari pintasan.
Bagi $y = ax^{2} + b$ plot $y$ melawan $x^{2}$ ; bagi $y = \frac{p}{x} + q$ plot $y$ melawan $\frac{1}{x}$ .
Setelah anda tahu persamaan garis, anggar nilai dengan menggantikan ke dalamnya, bukan dengan mengukur pada grid.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, perbandingan dan penggantian yang betul masih boleh memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah di sini, ia hampir selalu satu tabiat yang boleh dibetulkan, memplot melawan $x$ dan bukan $x^{2}$ , atau tersalah paksi mana yang membawa kecerunan. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu kuantiti mana untuk diplot pada dua paksi?

Bandingkan hubungan dengan $Y = mX + c$ . Kuantiti yang berubah dalam corak garis lurus menjadi $X$ mengufuk, dan kuantiti yang dibaca terhadapnya menjadi $Y$ menegak.

Bagi $y = ax^{2}+b$ , ini bermaksud $Y = y$ dan $X = x^{2}$ .

Apakah yang diberitahu oleh kecerunan dan pintasan?

Kecerunan sama dengan pekali yang melekat pada $X$ , dan pintasan paksi menegak sama dengan sebutan pemalar. Membaca dua nombor ini daripada garis lurus biasanya sudah cukup untuk mencari pemalar yang tidak diketahui.

Bagaimana saya mencari persamaan garis penyuaian terbaik daripada dua titik?

Cari kecerunan dengan $m = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}$ , kemudian gantikan salah satu titik ke dalam $Y = mX + c$ untuk menyelesaikan $c$ . Sentiasa semak persamaan anda dengan titik yang satu lagi.

Patutkah saya baca nilai daripada graf atau daripada persamaan?

Setelah anda ada persamaan, gantikan ke dalamnya, itu lebih pantas dan kurang ralat daripada mengukur pada grid. Guna graf terutamanya untuk melukis garis dan menyemak kewarasan jawapan anda.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Hukum Linear, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?