线性定律，练习题

若把 $x^{2}$ 看作一个整体变量，这个关系本来就是线性的。把 $y=ax^{2}+b$ 直接与 $Y=mX+c$ 对照：整个 $x^{2}$ 扮演 $X$，$y$ 扮演 $Y$。

$$\underbrace{y}_{Y}=a\,\underbrace{x^{2}}_{X}+b$$

所以要作 $y$ 对 $x^{2}$ 的图。逐项与 $Y=mX+c$ 对照，即得斜率与截距：

由于未知数 $n$ 位于指数上，对两边取 $\lg$，让指数降下来。用 $\lg(pq)=\lg p+\lg q$ 与 $\lg p^{k}=k\lg p$：

$$\lg y=\lg\big(ax^{n}\big)=\lg a+\lg x^{n}=\lg a+n\lg x$$

重新排列，使之与 $Y=mX+c$ 对应，把带变量的一项写在前面：

$$\underbrace{\lg y}_{Y}=n\,\underbrace{\lg x}_{X}+\lg a$$

这里变量 $x$ 是指数，所以对两边取 $\lg$。$\lg b^{x}$ 变成 $x\lg b$，它关于 $x$ 是线性的：

$$\lg y=\lg a+\lg b^{x}=\lg a+x\lg b$$

把带变量的一项写在前面，以对应 $Y=mX+c$。注意作的是 $\lg y$ 对 $x$ 本身的图，只有 $y$ 取对数，$x$ 不取：

$$\underbrace{\lg y}_{Y}=(\lg b)\,\underbrace{x}_{X}+\lg a$$

斜率等于 $\lg b$，$Y$ 轴截距等于 $\lg a$。各自用 $10$ 的幂反解，即可还原常数：

$$b=10^{\,\text{斜率}} \qquad a=10^{\,\text{截距}}$$

由第 1 题，作 $y$ 对 $x^{2}$ 的图给出 $Y=y$、$X=x^{2}$、斜率 $a$、截距 $b$。用 $m=\dfrac{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}$ 由两点求斜率：

$$a=\frac{15-7}{3-1}=\frac{8}{2}=4$$

再把一个点，比如 $(1, 7)$，代入 $y=aX+b$（$a=4$）求 $b$：

$$7=4(1)+b \;\Rightarrow\; b=3$$

由第 2 题，$\lg y=n\lg x+\lg a$，所以 $\lg y$ 对 $\lg x$ 的图有 $Y=\lg y$、$X=\lg x$、斜率 $n$、$Y$ 轴截距 $\lg a$。由两点求斜率：

$$n=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=2$$

点 $(0, 1)$ 在 $Y$ 轴上，所以 $Y$ 轴截距为 $1$。由于截距等于 $\lg a$，用 $10$ 的幂消去对数：

$$\lg a=1 \;\Rightarrow\; a=10^{1}=10$$

由第 3 题，$\lg y=(\lg b)x+\lg a$，所以 $\lg y$ 对 $x$ 的图斜率为 $\lg b$、$Y$ 轴截距为 $\lg a$。由两点求斜率：

$$\lg b=\frac{5-2}{3-0}=\frac{3}{3}=1 \;\Rightarrow\; b=10^{1}=10$$

点 $(0, 2)$ 在 $Y$ 轴上，所以 $Y$ 轴截距为 $2$。由于截距等于 $\lg a$，消去对数：

$$\lg a=2 \;\Rightarrow\; a=10^{2}=100$$