Hukum Linear Soalan Latihan

Q: Bagaimana saya menentukan apa yang perlu diplot pada setiap paksi?

Susun semula persamaan kepada Y=mX+cY=mX+cY=mX+c. Apa sahaja yang mendarab kecerunan ialah XXX, dan pemboleh ubah yang terasing ialah YYY. Bagi y=ax2+by=ax^{2}+by=ax2+b anda plot yyy melawan x2x^{2}x2; bagi y=abxy=ab^{x}y=abx anda plot lg⁡y\lg ylgy melawan xxx.

Q: Bila saya perlu mengambil logaritma dahulu?

Ambil lg⁡\lglg setiap kali pemalar anu muncul sebagai kuasa atau seluruh sebelah kanan ialah hasil darab kuasa, seperti y=axny=ax^{n}y=axn atau y=abxy=ab^{x}y=abx. Logaritma menurunkan kuasa menjadi pekali, dan itulah yang menjadikan graf satu garis lurus.

Q: Pintasan terhasil sebagai \lg a. Bagaimana saya mencari a sendiri?

Songsangkan logaritma dengan kuasa 101010. Jika lg⁡a=2\lg a=2lga=2 maka a=102=100a=10^{2}=100a=102=100. Helah yang sama memperoleh semula bbb daripada kecerunan yang sama dengan lg⁡b\lg blgb.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada menurunkan hubungan mudah kepada bentuk linear hingga mencari dua pemalar daripada graf garis lurus logaritma. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, kenal pasti $Y$ , $X$ , kecerunan dan pintasan, kemudian gantikan dengan jelas.

Tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, memadankan hubungan anda dengan $Y=mX+c$ dengan betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir, jadi nyatakan $Y$ dan $X$ sebelum anda mengira.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y=ax^{2}+b$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Ungkapkan persamaan ini dalam bentuk linear $Y=mX+c$ , dan nyatakan $Y$ , $X$ , kecerunan dan pintasan- $Y$ .

Show worked solution

Hubungan ini sudah linear jika $x^{2}$ dianggap sebagai satu pemboleh ubah. Bandingkan $y=ax^{2}+b$ terus dengan $Y=mX+c$ : keseluruhan $x^{2}$ memainkan peranan $X$ , dan $y$ memainkan peranan $Y$ .

\underbrace{y}_{Y}=a\,\underbrace{x^{2}}_{X}+b

Jadi anda plot $y$ melawan $x^{2}$ . Padankan sebutan demi sebutan dengan $Y=mX+c$ untuk memberi kecerunan dan pintasan:

Jawapan

$Y=y$ , $X=x^{2}$ , kecerunan $m=a$ , dan pintasan- $Y$ $c=b$ . Garis lurus $y$ melawan $x^{2}$ oleh itu mempunyai kecerunan $a$ dan memotong paksi menegak pada $b$ .

Q2[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y=ax^{n}$ , dengan $a$ dan $n$ ialah pemalar. Dengan menggunakan logaritma asas $10$ , ungkapkan persamaan ini dalam bentuk linear $Y=mX+c$ , dan nyatakan apa yang perlu diplot pada setiap paksi.

Show worked solution

Oleh sebab anu $n$ berada sebagai kuasa, ambil $\lg$ kedua-dua belah supaya kuasa turun. Guna $\lg(pq)=\lg p+\lg q$ dan $\lg p^{k}=k\lg p$ :

\lg y=\lg\big(ax^{n}\big)=\lg a+\lg x^{n}=\lg a+n\lg x

Susun semula supaya sepadan dengan $Y=mX+c$ , dengan bahagian pemboleh ubah ditulis dahulu:

\underbrace{\lg y}_{Y}=n\,\underbrace{\lg x}_{X}+\lg a

Jawapan

Plot $\lg y$ (paksi menegak, $Y$ ) melawan $\lg x$ (paksi mengufuk, $X$ ). Kecerunan ialah $m=n$ dan pintasan- $Y$ ialah $c=\lg a$ .

Q3[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y=ab^{x}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Ungkapkan persamaan dalam bentuk linear, dan terangkan bagaimana $a$ dan $b$ diperoleh daripada graf garis lurus $\lg y$ melawan $x$ .

Show worked solution

Di sini pemboleh ubah $x$ ialah kuasa, jadi ambil $\lg$ kedua-dua belah. Sebutan $\lg b^{x}$ menjadi $x\lg b$ , yang linear dalam $x$ :

\lg y=\lg a+\lg b^{x}=\lg a+x\lg b

Tulis sebutan pemboleh ubah dahulu supaya sepadan dengan $Y=mX+c$ . Perhatikan plotnya ialah $\lg y$ melawan $x$ sendiri, hanya $y$ dilogaritmakan, bukan $x$ :

\underbrace{\lg y}_{Y}=(\lg b)\,\underbrace{x}_{X}+\lg a

Kecerunan sama dengan $\lg b$ dan pintasan- $Y$ sama dengan $\lg a$ . Songsangkan setiap satu dengan kuasa $10$ untuk memperoleh semula pemalar:

b=10^{\,\text{kecerunan}} \qquad a=10^{\,\text{pintasan}}

Jawapan

Kecerunan $=\lg b$ , jadi $b=10^{\text{kecerunan}}$ ; pintasan- $Y$ $=\lg a$ , jadi $a=10^{\text{pintasan}}$ . Baca kecerunan dan pintasan daripada garis, kemudian songsangkan logaritma dengan kuasa $10$ .

Q4[4 marks]

Apabila $y=ax^{2}+b$ diturunkan kepada bentuk linear dan $y$ diplot melawan $x^{2}$ , garis lurus yang terhasil melalui titik $(1, 7)$ dan $(3, 15)$ , dengan setiap titik ialah $(x^{2}, y)$ . Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Daripada soalan 1, memplot $y$ melawan $x^{2}$ memberi $Y=y$ , $X=x^{2}$ , kecerunan $a$ dan pintasan $b$ . Cari kecerunan daripada dua titik menggunakan $m=\dfrac{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}$ :

a=\frac{15-7}{3-1}=\frac{8}{2}=4

Kini gantikan satu titik, katakan $(1, 7)$ , ke dalam $y=aX+b$ dengan $a=4$ untuk mencari $b$ :

7=4(1)+b \;\Rightarrow\; b=3

Jawapan

$a=4$ dan $b=3$ . Semak dengan titik yang satu lagi: pada $X=3$ , $y=4(3)+3=15$ , yang sepadan dengan titik $(3,15)$ yang diberi.

Q5[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y=ax^{n}$ . Apabila $\lg y$ diplot melawan $\lg x$ , garis lurus melalui titik $(0, 1)$ dan $(2, 5)$ .

Cari nilai $a$ dan $n$ .

Show worked solution

Daripada soalan 2, $\lg y=n\lg x+\lg a$ , jadi plot $\lg y$ melawan $\lg x$ mempunyai $Y=\lg y$ , $X=\lg x$ , kecerunan $n$ dan pintasan- $Y$ $\lg a$ . Cari kecerunan daripada dua titik:

n=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=2

Titik $(0, 1)$ berada pada paksi- $Y$ , jadi pintasan- $Y$ ialah $1$ . Oleh sebab pintasan sama dengan $\lg a$ , songsangkan logaritma dengan kuasa $10$ :

\lg a=1 \;\Rightarrow\; a=10^{1}=10

Jawapan

$n=2$ dan $a=10$ , jadi $y=10x^{2}$ . Semak titik jauh: pada $\lg x=2$ kita ada $x=100$ , dan $y=10(100)^{2}=100000$ , memberi $\lg y=5$ , yang sepadan dengan $(2,5)$ .

Q6[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y=ab^{x}$ . Apabila $\lg y$ diplot melawan $x$ , garis lurus melalui titik $(0, 2)$ dan $(3, 5)$ .

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Daripada soalan 3, $\lg y=(\lg b)x+\lg a$ , jadi plot $\lg y$ melawan $x$ mempunyai kecerunan $\lg b$ dan pintasan- $Y$ $\lg a$ . Cari kecerunan daripada dua titik:

\lg b=\frac{5-2}{3-0}=\frac{3}{3}=1 \;\Rightarrow\; b=10^{1}=10

Titik $(0, 2)$ terletak pada paksi- $Y$ , jadi pintasan- $Y$ ialah $2$ . Oleh sebab pintasan sama dengan $\lg a$ , songsangkan logaritma:

\lg a=2 \;\Rightarrow\; a=10^{2}=100

Jawapan

$b=10$ dan $a=100$ , jadi $y=100(10)^{x}$ . Semak titik jauh: pada $x=3$ , $y=100(10)^{3}=100000$ , memberi $\lg y=5$ , yang sepadan dengan $(3,5)$ .

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari bentuk linear yang betul, pengenalan $Y$ dan $X$ yang tepat, dan nilai yang kemas bagi setiap pemalar.

Markah kaedah: adakah anda menurunkan kepada $Y=mX+c$ dengan betul, mengambil $\lg$ hanya apabila anu berada sebagai kuasa?
Markah pengenalan: adakah $Y$ , $X$ , kecerunan dan pintasan dinamakan dengan betul, bagi $y=ab^{x}$ plotnya ialah $\lg y$ melawan $x$ , bukan melawan $\lg x$ ?
Markah penggantian: adakah kecerunan dicari sebagai $\dfrac{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}$ , dan satu titik digantikan semula untuk mencari pintasan?
Markah jawapan: apabila pintasan atau kecerunan sama dengan $\lg a$ atau $\lg b$ , adakah anda songsangkannya dengan kuasa $10$ untuk memperoleh semula pemalar?
Jika nombor akhir anda salah tetapi bentuk linear dan penggantian betul, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, melogaritmakan $x$ sedangkan hanya $y$ patut dilogaritmakan, terlupa menyongsangkan $\lg a$ dengan kuasa $10$ , atau tersilap membaca kecerunan daripada graf, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menentukan apa yang perlu diplot pada setiap paksi?

Susun semula persamaan kepada $Y=mX+c$ . Apa sahaja yang mendarab kecerunan ialah $X$ , dan pemboleh ubah yang terasing ialah $Y$ .

Bagi $y=ax^{2}+b$ anda plot $y$ melawan $x^{2}$ ; bagi $y=ab^{x}$ anda plot $\lg y$ melawan $x$ .

Bila saya perlu mengambil logaritma dahulu?

Ambil $\lg$ setiap kali pemalar anu muncul sebagai kuasa atau seluruh sebelah kanan ialah hasil darab kuasa, seperti $y=ax^{n}$ atau $y=ab^{x}$ . Logaritma menurunkan kuasa menjadi pekali, dan itulah yang menjadikan graf satu garis lurus.

Pintasan terhasil sebagai

\lg a

. Bagaimana saya mencari

a

sendiri?

Songsangkan logaritma dengan kuasa $10$ . Jika $\lg a=2$ maka $a=10^{2}=100$ .

Helah yang sama memperoleh semula $b$ daripada kecerunan yang sama dengan $\lg b$ .

Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, bentuk linear yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sebab itulah anda patut sentiasa menyatakan $Y$ dan $X$ dahulu.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Hukum Linear, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?