函数例题（中等）| SPM Add Math

Q: 怎么求藏在复合函数里的函数？

把已知的外函数作用在 g(x)g(x)g(x) 上，当作 g(x)g(x)g(x) 是它的输入，令其等于给定的复合函数，解出 g(x)g(x)g(x)。最后一定要重建复合函数来检验。

Q: 反函数排除的是哪个值？

反函数在它自己分母为零的地方没有定义。对 f−1(x)=3x+1x−2f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}f−1(x)=x−23x+1，就是 x=2x=2x=2。这个被排除的值对应原函数值域的一个边界。

Q: f^{2}(x) 是指把 f(x) 平方吗？

不是。在这一章 f2(x)=ff(x)=f(f(x))f^{2}(x)=ff(x)=f(f(x))f2(x)=ff(x)=f(f(x))，即函数作用两次。所以对 f(x)=3x+5f(x)=3x+5f(x)=3x+5，f2(x)=9x+20f^{2}(x)=9x+20f2(x)=9x+20，而不是 (3x+5)2(3x+5)^{2}(3x+5)2。

Q: 怎么比较两个必须相等的式子？

若 px+q=9x+20px+q=9x+20px+q=9x+20 对一切 xxx 成立，则 p=9p=9p=9 且 q=20q=20q=20。分别对应 xxx 的系数与常数项；每次对应给你一个方程。

这些例题涵盖什么

这组中等难度的函数例题，从直接代入迈向考试最看重的推理。你要从复合函数倒推出隐藏的函数，重新整理分式表达式来求反函数，并用自复合 $f^{2}(x)=ff(x)$ 来确定一个未知常数。

这些都不需要繁重的代数，它们需要的是清晰的计划和整洁的移项。把每份解答盖住，自己把题目列出来，等你有了最终答案再对照。

检验时，把注意力放在「把问题反过来」的那一步，因为大多数分数正是在这一转之间赢得或失去的。这里的每个答案都用独立的代入验证过。

例题解析

三题都先完整做一遍，再看解答。留意每一题在什么时候要你把一个已经会正向做的步骤反过来做。

Q1[4 marks]

函数 $f$ 定义为 $f(x)=2x-1$ 。已知复合函数 $fg(x)=6x+5$ ，求 $g(x)$ 。

Show worked solution

$fg(x)$ 表示 $f(g(x))$ ，所以 $g$ 是内函数。把 $f$ 的规则作用在整个 $g(x)$ 上： $f$ 输入的位置，就放 $g(x)$ 。

fg(x)=2\,g(x)-1

令它等于给定的复合函数，解出 $g(x)$ ：

2\,g(x)-1=6x+5

2\,g(x)=6x+6

g(x)=3x+3

答案

$g(x)=3x+3$ 。重建复合函数检验： $fg(x)=2(3x+3)-1=6x+6-1=6x+5$ ，与给定表达式完全一致。

Q2[4 marks]

函数定义为 $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ ， $x\neq 3$ 。求 $f^{-1}(x)$ ，并写出它排除的 $x$ 值。

Show worked solution

设 $y=f(x)$ ，再把 $x$ 化为主项。先去掉分母：

y=\frac{2x+1}{x-3} \;\Rightarrow\; y(x-3)=2x+1

展开，把含 $x$ 的项都移到一边，再提出 $x$ ：

yx-3y=2x+1

yx-2x=3y+1

x(y-2)=3y+1

两边相除把 $x$ 分离出来，再改写成关于 $x$ 的式子，即得反函数：

x=\frac{3y+1}{y-2} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}

答案

$f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ ，排除 $x=2$ （此处分母为零）。用一个值检验： $f(4)=\dfrac{9}{1}=9$ ，而 $f^{-1}(9)=\dfrac{28}{7}=4$ ，还原了原来的输入。

Q3[4 marks]

函数 $f$ 定义为 $f(x)=3x+k$ ，其中 $k$ 为常数。已知 $f^{2}(x)=9x+20$ ，求 $k$ 的值。

Show worked solution

这里 $f^{2}(x)$ 表示 $ff(x)=f(f(x))$ ，即函数与自身复合，而不是 $[f(x)]^{2}$ 。把 $f(x)=3x+k$ 再代入 $f$ 一次：

f^{2}(x)=f(3x+k)=3(3x+k)+k

展开括号，合并同类项：

f^{2}(x)=9x+3k+k=9x+4k

把它与给定的 $9x+20$ 对应。 $x$ 项已经一致，所以比较常数项：

4k=20 \;\Rightarrow\; k=5

答案

$k=5$ 。检验：当 $f(x)=3x+5$ ， $f^{2}(x)=3(3x+5)+5=9x+15+5=9x+20$ ，与要求一致。

Q4[4 marks]

函数 $f$ 与 $g$ 定义为 $f(x)=x+1$ 和 $g(x)=2x^{2}-3$ 。求最简形式的 $gf(x)$ ，再求满足 $gf(x)=15$ 的 $x$ 值。

Show worked solution

$gf(x)$ 表示 $g(f(x))$ ，所以把整个 $f(x)$ 代入 $g$ 中 $x$ 出现的位置，再展开化简：

gf(x)=2(x+1)^{2}-3=2x^{2}+4x-1

令它等于 15，整理成 $ax^{2}+bx+c=0$ 的形式，再因式分解：

2x^{2}+4x-1=15 \;\Rightarrow\; x^{2}+2x-8=0 \;\Rightarrow\; (x+4)(x-2)=0

x+4=0 \;\Rightarrow\; x=-4 \qquad \text{或} \qquad x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2

答案

$x=-4$ 或 $x=2$ 。检验： $f(-4)=-3$ ， $g(-3)=2(9)-3=15$ ； $f(2)=3$ ， $g(3)=2(9)-3=15$ ，两个根都满足方程。

Q5[3 marks]

函数 $f$ 定义为 $f(x)=\dfrac{3x-1}{2}$ 。求使 $f^{-1}(x)=5$ 成立的 $x$ 值。

Show worked solution

这里不需要先求出 $f^{-1}$ 的一般公式。由于 $f^{-1}(x)=5$ 表示 $x$ 是 5 在 $f$ 之下的像，直接把 5 代入 $f$ ：

x=f(5)=\dfrac{3(5)-1}{2}

x=\dfrac{14}{2}=7

答案

$x=7$ 。用一般反函数检验：把 $y=\dfrac{3x-1}{2}$ 移项得 $f^{-1}(x)=\dfrac{2x+1}{3}$ ，而 $f^{-1}(7)=\dfrac{15}{3}=5$ ，证实了这个捷径。

Q6[4 marks]

函数 $f$ 定义为 $f(x)=x^{2}-4x+6$ ，定义域为 $-1\le x\le 4$ 。求 $f$ 的值域。

Show worked solution

先配方找出顶点，因为顶点给出函数能取的最小值：

f(x)=(x-2)^{2}+2

最小值为 2，出现在 $x=2$ ，它落在所给定义域内。由于图像开口向上，最大值来自离 $x=2$ 较远的那个端点；分别检验两端：

f(-1)=1+4+6=11 \qquad f(4)=16-16+6=6

答案

由于 $x=-1$ 与顶点相距 3 个单位，而 $x=4$ 只相距 2 个单位，所以最大值为 $f(-1)=11$ 。值域为 $2\le f(x)\le 11$ 。

Q7[4 marks]

函数 $f$ 定义为 $f(x)=ax+b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $f(1)=4$ 且 $f(4)=13$ ，求 $a$ 的值和 $b$ 的值。

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把每个给定的输入代入 $f(x)=ax+b$ ，列出一对联立方程：

a+b=4 \qquad 4a+b=13

用第二式减去第一式消去 $b$ ，再代回求出另一个未知数：

3a=9 \;\Rightarrow\; a=3 \;\Rightarrow\; b=4-3=1

答案

$a=3$ ， $b=1$ 。检验： $f(4)=3(4)+1=13$ ，与给定值一致。

Q8[3 marks]

函数 $f$ 与 $g$ 定义为 $f(x)=2x-5$ 和 $g(x)=\dfrac{x+p}{2}$ ，其中 $p$ 为常数。已知对所有 $x$ 都有 $fg(x)=x$ ，求 $p$ 的值。

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对一切 $x$ 都有 $fg(x)=x$ ，这正是 $g$ 能『还原』 $f$ 的条件，也就是说 $g$ 必须是 $f^{-1}$ 。把 $g(x)$ 代入 $f$ ，构造 $fg(x)$ ：

fg(x)=2\left(\dfrac{x+p}{2}\right)-5=x+p-5

要使它对每一个 $x$ 都等于 $x$ ，常数项必须为零：

p-5=0 \;\Rightarrow\; p=5

答案

$p=5$ ，所以 $g(x)=\dfrac{x+5}{2}$ 恰好就是 $f^{-1}(x)$ 。用一个值检验： $f(3)=1$ ， $g(1)=\dfrac{1+5}{2}=3$ ，还原了原来的输入。

贯穿这三题的主线是「反向」。第一题你把复合拆开，露出内函数；第二题你把函数倒过来，建出反函数；第三题你把自复合往回读，回到一个未知常数。

一旦你认出题目其实是要你把一个熟悉的步骤反着做，计划几乎就自己写出来了。

关键方法要点

这三道例题共有一个习惯：把问题反过来，并整洁地移项。练习时记住以下几点。

要从 $fg(x)$ 倒推隐藏函数，就把外函数的规则作用在 $g(x)$ 上，令结果等于给定复合函数，再解出。
求反函数：写 $y=f(x)$ ，把 $x$ 化为主项，再换成 $x$ ；反函数排除的值就是它分母为零之处。
把 $f^{2}(x)$ 读成 $ff(x)$ ，即函数作用两次，绝不是 $[f(x)]^{2}$ 。
当两个关于 $x$ 的式子对一切 $x$ 都相等时，分别比较 $x$ 的系数与常数项。
每个答案都用一次干净的代入确认，这是防止符号出错或漏括号的最快办法。

老师如何帮忙

中等的函数题，看重清晰的计划胜过花哨的代数，而这正是课堂能培养的。我们的老师会观察你如何列题，哪个是内函数、你怎么把 $x$ 化为主项，并在计划走偏的那一刻介入，让你不至于在移项里打转。

我们的老师经验丰富，所以当第一条路走不通时，你遇到的是能给出第二条路的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此无论你考哪一版，记号都保持熟悉。

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常见问题

怎么求藏在复合函数里的函数？

把已知的外函数作用在 $g(x)$ 上，当作 $g(x)$ 是它的输入，令其等于给定的复合函数，解出 $g(x)$ 。最后一定要重建复合函数来检验。

反函数排除的是哪个值？

反函数在它自己分母为零的地方没有定义。对 $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ ，就是 $x=2$ 。

这个被排除的值对应原函数值域的一个边界。

f^{2}(x)

是指把

f(x)

平方吗？

不是。在这一章 $f^{2}(x)=ff(x)=f(f(x))$ ，即函数作用两次。

所以对 $f(x)=3x+5$ ， $f^{2}(x)=9x+20$ ，而不是 $(3x+5)^{2}$ 。

怎么比较两个必须相等的式子？

若 $px+q=9x+20$ 对一切 $x$ 成立，则 $p=9$ 且 $q=20$ 。分别对应 $x$ 的系数与常数项；每次对应给你一个方程。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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关键方法要点

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