函数，SPM 高级数学（中四）

函数是一条规则，把每一个输入（原象）对应到恰好一个输出（象）。在 SPM 高级数学里，这是中四的第一章，它奠定了你在这两年课程中会一直使用的语言。

我们把它视为基础章节，因为几乎后面每一个课题，二次函数、指数与对数、微分与积分，都用函数记号来书写，并依赖你在这里学到的观念。

本章篇幅精简，却要求精确。它包含三项直接取自 KSSM DSKP 的内容标准：函数、复合函数与反函数。

单独来看没有一项是困难的，但每一项都藏着一个小习惯，足以把整洁的答案与凌乱的答案区分开来，正确书写 $f(x)$、把定义域与值域分清楚、按正确次序作用两个函数，以及把一条规则倒过来求它的反函数。

我们的老师把函数这一章当作及早养成良好书写习惯的地方。由于 SPM 采用分析式评分，你是因为写出每一个正确的步骤而得分，而不仅仅是最后一行答案。

本章中整洁的记号、清晰的代入以及有条理的排版，会在你应考的每一份试卷中带来回报。

函数这一章分为三项内容标准。以下的编码与标题直接来自 DSKP，把它们记熟，你就能准确辨认一道题目在考什么。

留意这三项标准如何层层递进：标准 1.1 给你记号与定义域／值域的观念，1.2 把两个函数合成为一个，而 1.3 则把一个函数倒转过来。如果 1.1 还不稳固，1.2 与 1.3 就变成瞎猜，所以先掌握好 1.1，再往下走。

函数、原象与象。函数 $f$ 把每一个原象 $x$ 送到恰好一个象 $f(x)$。

记号 $f: x \mapsto 2x+3$ 与 $f(x)=2x+3$ 描述的是同一条规则；试卷两种都会用，所以要看清题目的写法，用同样的形式作答。

定义域、上域与值域。定义域是允许输入的集合，上域是输出被选取的集合，值域则是函数实际产生的输出集合。

许多学生因为把定义域（输入）与值域（输出）弄混而丢掉容易的分数，所以先停一下，看清题目问的是哪一个。

什么样的关系才是函数。一个关系是函数，当且仅当每个原象都恰好对应一个象，一个输入，一个输出。

在图形上你可以用铅垂线检验法：若任何一条铅垂线与图形相交超过一次，这个关系就不是函数。

求象与求原象。要求象，把原象代入规则：对于 $f(x)=2x+3$，$4$ 的象是 $f(4)=11$。

要求原象，令 $f(x)$ 等于给定的象，再解出 $x$。这种双向技巧几乎是每一道函数题的骨干。

复合函数。复合就是把一个函数的输出送进另一个函数。

复合 $fg$ 的意思是：先做 $g$，再做 $f$。

$$fg(x) = f\big(g(x)\big)$$

次序很重要。一般来说 $fg(x)$ 并不等于 $gf(x)$。

永远先代入里面的函数，并保留你的括号，因为调换次序是本章最常见的丢分方式之一。

反函数。反函数 $f^{-1}$ 会撤销 $f$ 所做的事：若 $f$ 把 $x$ 映到 $y$，则 $f^{-1}$ 把 $y$ 映回 $x$。

这个「$-1$」是记号，不是幂，所以 $f^{-1}(x)$ 绝不是 $\frac{1}{f(x)}$。

$$f\,f^{-1}(x) = f^{-1}\,f(x) = x$$

反函数何时存在。一个函数只有在它是一对一时才有反函数，每个象都恰好来自一个原象。

要求 $f^{-1}$，令 $y=f(x)$，把 $x$ 变成主项，再用 $x$ 重新表示。在图形上，$f^{-1}$ 的图形是 $f$ 的图形关于直线 $y=x$ 的反射。

以上这些结果都不在 SPM 考试所提供的公式表内，因此必须理解并记住，但它们是简短易懂的规则，而不是需要死背的长公式。

函数可以在任何一份笔试中被考到。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：甲组有 12题，占 64分，全部作答；乙组有 3题，占 16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于甲组（7题，50分，全部作答）、乙组（4题，30分，作答 3题）与丙组（4题，20分，作答 2题）。

两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，作答时可使用不可编程的科学计算器。我们不会预测任何单独一章会占多少分，因为这逐年不同，但函数的观念支撑着本章以外的许多题目，因为后面的课题都用同样的记号书写。

值得一提的是，我们的课程以英语授课，而 SPM 试卷以国文（马来文）与英文双语命题，因此你会用两种语言的术语来练习，在考试当天不会被任何一个词卡住。

函数章节里丢掉的分数，大多来自少数几个可以避免的习惯。在每一套练习之前先读一读，直到它们成为本能。

• 把复合的次序颠倒。$fg(x)$ 表示先做 $g$，再做 $f$，它通常不等于 $gf(x)$。先代入里面的函数，并保留括号。
• 把反函数与倒数混淆。$f^{-1}(x)$ 是撤销 $f$ 的函数，它不是 $\frac{1}{f(x)}$。这个 「$-1$」 是记号，不是指数。
• 把定义域与值域搞混。定义域是输入的集合；值域是实际产生的输出集合。题目问哪一个就答哪一个，别答成另一个。
• 忘记会使函数失去意义的值。对于像 $f(x)=\frac{1}{x-2}$ 这样的规则，输入 $x=2$ 是不被允许的；在写出定义域时要说明这个限制。
• 对并非一对一的规则求反。只有一对一的函数才在整个定义域上有反函数。若不是一对一，必须先限制定义域。
• 求反函数时的代数失误。令 $y=f(x)$，小心地把 $x$ 变成主项，再调换写成 $f^{-1}(x)$，并用 $f\,f^{-1}(x)=x$ 检验。

函数会回报有条理、稳扎稳打的学习方式。按顺序做完以下步骤，再用下面的资源来温习和自我测验。

1. 1

   先掌握记号

   在做其他一切之前，先熟练地读写 $f(x)$、$f: x \mapsto \ldots$，以及定义域、上域与值域这些术语。

2. 2

   反复练习象与原象

   代入求象；解方程求原象。这里的熟练会为后面每一道题省下时间。

3. 3

   双向练习复合

   对同一对函数求出 $fg$ 与 $gf$，让次序不再绊倒你，然后尝试‘求相关函数’的题目。

4. 4

   学会求反函数的固定流程

   令 $y=f(x)$，把 $x$ 变成主项，重新写成 $f^{-1}(x)$，再用 $f\,f^{-1}(x)=x$ 验证。

5. 5

   先温习，再限时测验

   读复习笔记，回顾常见错误，然后在计时的情况下做综合练习与例题精解。

• 函数，复习笔记
• 函数，常见错误
• 函数，练习题
• 函数，例题精解
• 函数，试卷二答题指南
• 函数，重要术语