Fungsi Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Bagaimana saya mencari fungsi yang tersembunyi dalam gubahan?

Kenakan fungsi luar yang diketahui pada g(x)g(x)g(x) seolah-olah g(x)g(x)g(x) inputnya, samakan itu dengan gubahan yang diberi, dan selesaikan untuk g(x)g(x)g(x). Sentiasa bina semula gubahan pada akhirnya untuk menyemak.

Q: Adakah f^{2}(x) bermaksud saya kuasa duakan f(x)?

Tidak. Dalam bab ini f2(x)=ff(x)=f(f(x))f^{2}(x)=ff(x)=f(f(x))f2(x)=ff(x)=f(f(x)), iaitu fungsi dikenakan dua kali. Jadi bagi f(x)=3x+5f(x)=3x+5f(x)=3x+5, f2(x)=9x+20f^{2}(x)=9x+20f2(x)=9x+20, bukan (3x+5)2(3x+5)^{2}(3x+5)2.

Q: Bagaimana saya membandingkan dua ungkapan yang mesti sama?

Jika px+q=9x+20px+q=9x+20px+q=9x+20 benar untuk semua xxx, maka p=9p=9p=9 dan q=20q=20q=20. Padankan pekali xxx dan sebutan pemalar secara berasingan; setiap perbandingan memberi anda satu persamaan.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Fungsi sederhana ini melangkah melepasi penggantian terus kepada penaakulan yang paling diberi ganjaran dalam peperiksaan. Anda akan bekerja ke belakang daripada gubahan untuk mendapatkan semula fungsi tersembunyi, menyusun semula ungkapan nisbah untuk mencari songsang, dan menggunakan gubahan diri $f^{2}(x)=ff(x)$ untuk menetapkan pemalar yang tidak diketahui.

Tiada satu pun memerlukan algebra berat, setiap satu memerlukan rancangan yang jelas dan susunan semula yang kemas. Tutup setiap penyelesaian, binakan masalah sendiri, dan hanya bandingkan setelah anda mempunyai jawapan akhir.

Semasa menyemak, tumpu pada langkah yang memutarkan soalan, kerana putaran itulah tempat kebanyakan markah dimenangi atau hilang. Setiap jawapan di sini disahkan oleh penggantian bebas.

Contoh kerja

Cuba ketiga-tiganya sepenuhnya sebelum membaca penyelesaian. Perhatikan saat setiap soalan meminta anda menyongsangkan langkah yang anda sudah tahu buat ke hadapan.

Q1[4 marks]

Fungsi $f$ ditakrifkan oleh $f(x)=2x-1$ . Diberi fungsi gubahan $fg(x)=6x+5$ , cari $g(x)$ .

Show worked solution

$fg(x)$ bermaksud $f(g(x))$ , jadi $g$ ialah fungsi dalam. Kenakan rumus $f$ pada keseluruhan $g(x)$ : di mana sahaja $f$ mengambil inputnya, letakkan $g(x)$ .

fg(x)=2\,g(x)-1

Samakan ini dengan gubahan yang diberi dan selesaikan untuk $g(x)$ :

2\,g(x)-1=6x+5

2\,g(x)=6x+6

g(x)=3x+3

Jawapan

$g(x)=3x+3$ . Semak dengan membina semula gubahan: $fg(x)=2(3x+3)-1=6x+6-1=6x+5$ , yang sepadan tepat dengan ungkapan yang diberi.

Q2[4 marks]

Suatu fungsi ditakrifkan oleh $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ , $x\neq 3$ . Cari $f^{-1}(x)$ dan nyatakan nilai $x$ yang dikecualikannya.

Show worked solution

Biar $y=f(x)$ , kemudian jadikan $x$ perkara rumus. Mulakan dengan menghapuskan penyebut:

y=\frac{2x+1}{x-3} \;\Rightarrow\; y(x-3)=2x+1

Kembangkan, kumpulkan setiap sebutan $x$ di satu sisi, dan faktorkan $x$ :

yx-3y=2x+1

yx-2x=3y+1

x(y-2)=3y+1

Bahagi untuk mengasingkan $x$ , kemudian tulis semula dalam sebutan $x$ untuk menyatakan songsang:

x=\frac{3y+1}{y-2} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}

Jawapan

$f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ , yang mengecualikan $x=2$ (penyebutnya sifar di situ). Semak dengan satu nilai: $f(4)=\dfrac{9}{1}=9$ , dan $f^{-1}(9)=\dfrac{28}{7}=4$ , mengembalikan input asal.

Q3[4 marks]

Fungsi $f$ ditakrifkan oleh $f(x)=3x+k$ , dengan $k$ suatu pemalar. Diberi $f^{2}(x)=9x+20$ , cari nilai $k$ .

Show worked solution

Di sini $f^{2}(x)$ bermaksud $ff(x)=f(f(x))$ , iaitu fungsi digubah dengan dirinya sendiri, bukan $[f(x)]^{2}$ . Gantikan $f(x)=3x+k$ ke dalam $f$ sekali lagi:

f^{2}(x)=f(3x+k)=3(3x+k)+k

Kembangkan kurungan dan kumpulkan sebutan serupa:

f^{2}(x)=9x+3k+k=9x+4k

Padankan ini dengan $9x+20$ yang diberi. Sebutan $x$ sudah sepadan, jadi bandingkan sebutan pemalar:

4k=20 \;\Rightarrow\; k=5

Jawapan

$k=5$ . Semak: dengan $f(x)=3x+5$ , $f^{2}(x)=3(3x+5)+5=9x+15+5=9x+20$ , seperti yang dikehendaki.

Q4[4 marks]

Fungsi $f$ dan $g$ ditakrifkan oleh $f(x)=x+1$ dan $g(x)=2x^{2}-3$ . Cari $gf(x)$ dalam bentuk paling ringkas, kemudian cari nilai $x$ yang memenuhi $gf(x)=15$ .

Show worked solution

$gf(x)$ bermaksud $g(f(x))$ , jadi gantikan keseluruhan $f(x)$ ke dalam $g$ di mana sahaja $x$ muncul, kemudian kembangkan:

gf(x)=2(x+1)^{2}-3=2x^{2}+4x-1

Samakan ini dengan 15 dan susun semula kepada $ax^{2}+bx+c=0$ , kemudian faktorkan:

2x^{2}+4x-1=15 \;\Rightarrow\; x^{2}+2x-8=0 \;\Rightarrow\; (x+4)(x-2)=0

x+4=0 \;\Rightarrow\; x=-4 \qquad \text{atau} \qquad x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2

Jawapan

$x=-4$ atau $x=2$ . Semak: $f(-4)=-3$ dan $g(-3)=2(9)-3=15$ ; $f(2)=3$ dan $g(3)=2(9)-3=15$ , jadi kedua-dua punca memenuhi persamaan.

Q5[3 marks]

Fungsi $f$ ditakrifkan oleh $f(x)=\dfrac{3x-1}{2}$ . Cari nilai $x$ apabila $f^{-1}(x)=5$ .

Show worked solution

Anda tidak perlu rumus umum bagi $f^{-1}$ di sini. Oleh sebab $f^{-1}(x)=5$ bermaksud $x$ ialah imej bagi 5 di bawah $f$ , kenakan $f$ terus pada 5:

x=f(5)=\dfrac{3(5)-1}{2}

x=\dfrac{14}{2}=7

Jawapan

$x=7$ . Semak dengan songsang umum: menyusun semula $y=\dfrac{3x-1}{2}$ memberi $f^{-1}(x)=\dfrac{2x+1}{3}$ , dan $f^{-1}(7)=\dfrac{15}{3}=5$ , mengesahkan jalan pintas ini.

Q6[4 marks]

Fungsi $f$ ditakrifkan oleh $f(x)=x^{2}-4x+6$ untuk domain $-1\le x\le 4$ . Cari julat bagi $f$ .

Show worked solution

Lengkapkan kuasa dua untuk mencari titik pusingan, kerana itu memberi nilai terkecil yang boleh diambil oleh fungsi:

f(x)=(x-2)^{2}+2

Nilai minimum ialah 2, berlaku pada $x=2$ , yang terletak dalam domain yang diberi. Oleh sebab graf terbuka ke atas, nilai terbesar datang daripada sempadan yang lebih jauh daripada $x=2$ ; semak kedua-duanya:

f(-1)=1+4+6=11 \qquad f(4)=16-16+6=6

Jawapan

Oleh sebab $x=-1$ berjarak 3 unit daripada titik pusingan manakala $x=4$ hanya 2 unit, nilai maksimum ialah $f(-1)=11$ . Julatnya ialah $2\le f(x)\le 11$ .

Q7[4 marks]

Fungsi $f$ ditakrifkan oleh $f(x)=ax+b$ , dengan $a$ dan $b$ pemalar. Diberi $f(1)=4$ dan $f(4)=13$ , cari nilai $a$ dan nilai $b$ .

Show worked solution

Gantikan setiap input yang diberi ke dalam $f(x)=ax+b$ untuk membentuk sepasang persamaan serentak:

a+b=4 \qquad 4a+b=13

Tolak persamaan pertama daripada yang kedua untuk menghapuskan $b$ , kemudian gantikan semula:

3a=9 \;\Rightarrow\; a=3 \;\Rightarrow\; b=4-3=1

Jawapan

$a=3$ dan $b=1$ . Semak: $f(4)=3(4)+1=13$ , sepadan dengan nilai yang diberi.

Q8[3 marks]

Fungsi $f$ dan $g$ ditakrifkan oleh $f(x)=2x-5$ dan $g(x)=\dfrac{x+p}{2}$ , dengan $p$ suatu pemalar. Diberi $fg(x)=x$ untuk semua nilai $x$ , cari nilai $p$ .

Show worked solution

$fg(x)=x$ untuk setiap $x$ ialah syarat tepat bahawa $g$ membatalkan $f$ , jadi $g$ mestilah $f^{-1}$ . Bina $fg(x)$ dengan menggantikan $g(x)$ ke dalam $f$ :

fg(x)=2\left(\dfrac{x+p}{2}\right)-5=x+p-5

Untuk ini menyamai $x$ bagi setiap nilai $x$ , sebutan pemalar mesti sifar:

p-5=0 \;\Rightarrow\; p=5

Jawapan

$p=5$ , jadi $g(x)=\dfrac{x+5}{2}$ adalah tepat $f^{-1}(x)$ . Semak dengan satu nilai: $f(3)=1$ dan $g(1)=\dfrac{1+5}{2}=3$ , mengembalikan input asal.

Benang yang menghubungkan ketiga-tiganya ialah penyongsangan. Dalam yang pertama anda membuka gubahan untuk mendedahkan fungsi dalam; dalam yang kedua anda membatalkan fungsi untuk membina songsangnya; dalam yang ketiga anda membaca gubahan diri ke belakang kepada satu pemalar tak diketahui.

Sebaik anda mengenali bahawa soalan sebenarnya meminta anda menjalankan langkah biasa secara songsang, rancangan itu hampir menulis dirinya sendiri.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini berkongsi satu tabiat: putarkan soalan dan susun semula dengan kemas. Simpan poin berikut semasa anda berlatih.

Untuk mendapatkan semula fungsi tersembunyi daripada $fg(x)$ , kenakan rumus luar pada $g(x)$ , samakan hasil dengan gubahan yang diberi, kemudian selesaikan.
Untuk songsang, tulis $y=f(x)$ , jadikan $x$ perkara rumus, kemudian tukar kepada $x$ ; nilai yang dikecualikan songsang ialah tempat penyebutnya sifar.
Baca $f^{2}(x)$ sebagai $ff(x)$ , iaitu fungsi dikenakan dua kali, bukan sekali-kali $[f(x)]^{2}$ .
Apabila dua ungkapan dalam $x$ mesti sama untuk semua $x$ , bandingkan pekali $x$ dan pemalar secara berasingan.
Sahkan setiap jawapan dengan satu penggantian kemas, ia pengawal terpantas terhadap tanda tergelincir atau kurungan tertinggal.

Bagaimana guru membantu

Soalan Fungsi sederhana memberi ganjaran kepada rancangan yang jelas lebih daripada algebra yang bijak, dan itulah yang dibina oleh sesuatu kelas. Guru kami memerhati bagaimana anda membina masalah, fungsi mana yang dalam, bagaimana anda menjadikan $x$ perkara rumus, dan masuk campur pada saat rancangan tersasar, supaya anda tidak tinggal menyusun semula berpusing-pusing.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mendapat seseorang yang boleh menunjukkan laluan kedua apabila yang pertama terasa buntu. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kekal biasa dalam versi mana pun anda duduki.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mencari fungsi yang tersembunyi dalam gubahan?

Kenakan fungsi luar yang diketahui pada $g(x)$ seolah-olah $g(x)$ inputnya, samakan itu dengan gubahan yang diberi, dan selesaikan untuk $g(x)$ . Sentiasa bina semula gubahan pada akhirnya untuk menyemak.

Nilai apa yang dikecualikan oleh fungsi songsang?

Songsang tak tertakrif di tempat penyebutnya sendiri sifar. Bagi $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ , itu ialah $x=2$ .

Nilai yang dikecualikan ini sepadan dengan sempadan julat fungsi asal.

Adakah

f^{2}(x)

bermaksud saya kuasa duakan

f(x)

Tidak. Dalam bab ini $f^{2}(x)=ff(x)=f(f(x))$ , iaitu fungsi dikenakan dua kali.

Jadi bagi $f(x)=3x+5$ , $f^{2}(x)=9x+20$ , bukan $(3x+5)^{2}$ .

Bagaimana saya membandingkan dua ungkapan yang mesti sama?

Jika $px+q=9x+20$ benar untuk semua $x$ , maka $p=9$ dan $q=20$ . Padankan pekali $x$ dan sebutan pemalar secara berasingan; setiap perbandingan memberi anda satu persamaan.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?