函数，例题（KBAT）

(a) $fg(x)=f(g(x))$，所以把 $g(x)=\dfrac{x+1}{2}$ 代入 $f$：

$$fg(x)=3\!\left(\frac{x+1}{2}\right)-2=\frac{3x+3}{2}-2=\frac{3x+3-4}{2}=\frac{3x-1}{2}$$

求反函数：设 $y=\dfrac{3x-1}{2}$，把 $x$ 化为主项：

$$2y=3x-1 \;\Rightarrow\; 3x=2y+1 \;\Rightarrow\; x=\frac{2y+1}{3}$$

$$(fg)^{-1}(x)=\frac{2x+1}{3}$$

(b) 分别给每个函数求反。对 $f$，设 $y=3x-2$：

$$3x=y+2 \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}$$

对 $g$，设 $y=\dfrac{x+1}{2}$：

$$2y=x+1 \;\Rightarrow\; g^{-1}(x)=2x-1$$

现在把 $f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}$ 代入 $g^{-1}$，构造 $g^{-1}f^{-1}(x)=g^{-1}\!\left(f^{-1}(x)\right)$：

$$g^{-1}f^{-1}(x)=2\!\left(\frac{x+2}{3}\right)-1=\frac{2x+4}{3}-1=\frac{2x+4-3}{3}=\frac{2x+1}{3}$$

(a) 配方。$-6$ 的一半是 $-3$，且 $(-3)^{2}=9$：

$$f(x)=x^{2}-6x+5=(x-3)^{2}-9+5=(x-3)^{2}-4$$

(b) 在定义域 $x\geq 3$ 上，括号 $x-3\geq 0$，所以 $(x-3)^{2}\geq 0$，且取遍从 $0$ 起的每一个值。因此 $f(x)\geq -4$，最小值 $-4$ 在 $x=3$ 达到。

$$\text{值域： } f(x)\geq -4$$

(c) 求反函数：设 $y=(x-3)^{2}-4$，把 $x$ 化为主项：

$$(x-3)^{2}=y+4 \;\Rightarrow\; x-3=\pm\sqrt{y+4}$$

由于定义域为 $x\geq 3$，有 $x-3\geq 0$，所以只取正的平方根：

$$x=3+\sqrt{y+4} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=3+\sqrt{x+4}$$

$f^{2}(x)=ff(x)=f(ax+b)$。把整个 $ax+b$ 代入 $f$：

$$f^{2}(x)=a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b$$

与 $4x+9$ 对比。$x$ 的系数给出 $a^{2}=4$，由于 $a>0$，取正根：

$$a^{2}=4 \;\Rightarrow\; a=2 \quad (a>0)$$

对比常数项 $ab+b=9$，提取公因式，再代入 $a=2$：

$$b(a+1)=9 \;\Rightarrow\; 3b=9 \;\Rightarrow\; b=3$$

所以 $f(x)=2x+3$。求反函数：设 $y=2x+3$，把 $x$ 化为主项：

$$2x=y-3 \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$

由于 $fg(x)=f(g(x))$，整个表达式必须完全改写成只含 $g(x)$ 的形式。先对右边配方：

$$4x^{2}+4x+3=(2x+1)^{2}+2$$

括号 $(2x+1)^{2}$ 正好就是 $[g(x)]^{2}$，因为 $g(x)=2x+1$。代入：

$$fg(x)=[g(x)]^{2}+2$$

比较两边：施加在 $g(x)$ 上的运算就是 $f$ 的法则，把输入平方，再加 $2$。

$$f(x)=x^{2}+2$$

把 $g(x)=x^{2}-3$ 代入 $f$，构造 $fg(x)=f(g(x))$：

$$fg(x)=\sqrt{(x^{2}-3)-2}=\sqrt{x^{2}-5}$$

这只在 $f$ 的输入，也就是 $g(x)$，满足 $f$ 本身的条件 $g(x)\geq 2$ 时才有意义：

$$x^{2}-3\geq 2 \;\Rightarrow\; x^{2}\geq 5$$

两边取平方根解这个不等式，两个分支都要保留，因为 $x^{2}\geq 5$ 允许 $x$ 是较大的正数或较大的负数：

$$x\leq -\sqrt{5} \;\text{ 或 }\; x\geq \sqrt{5}$$

设 $y=f(x)$，两边乘以 $(x-3)$ 去分母：

$$y=\frac{2x+1}{x-3} \;\Rightarrow\; y(x-3)=2x+1$$

展开，然后把含 $x$ 的项全部移到一边：

$$xy-3y=2x+1 \;\Rightarrow\; xy-2x=3y+1$$

提出公因式 $x$，再相除，把 $x$ 化为主项：

$$x(y-2)=3y+1 \;\Rightarrow\; x=\frac{3y+1}{y-2}$$

$$f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$

配方求出顶点。$-4$ 的一半是 $-2$，且 $(-2)^{2}=4$：

$$f(x)=x^{2}-4x+1=(x-2)^{2}-4+1=(x-2)^{2}-3$$

顶点在 $x=2$，落在所给定义域 $0\leq x\leq 5$ 之内，所以最小值 $-3$ 确实能取到，在 $x=2$ 处。

由于定义域是闭区间而不是无限延伸的，最大值不是自动的，必须检验两个端点：

$$f(0)=(0-2)^{2}-3=1, \qquad f(5)=(5-2)^{2}-3=6$$

$x=5$ 比 $x=0$ 离顶点 $x=2$ 更远，所以它给出较大的值。这个定义域上的最大值是 $6$，在 $x=5$ 处取到。

$$\text{值域： } -3\leq f(x)\leq 6$$

先算出 $g(3)$，因为 $fg(3)=f(g(3))$：

$$g(3)=3^{2}+1=10$$

代入 $f$，并令结果等于 $17$：

$$fg(3)=f(10)=2(10)-k=20-k=17 \;\Rightarrow\; k=3$$

所以 $f(x)=2x-3$。现在把 $f(x)=2x-3$ 代入 $g$，构造 $gf(x)=g(f(x))$：

$$gf(x)=(2x-3)^{2}+1=4x^{2}-12x+9+1=4x^{2}-12x+10$$