Fungsi, Contoh Kerja (KBAT)

(a) $fg(x)=f(g(x))$, jadi gantikan $g(x)=\dfrac{x+1}{2}$ ke dalam $f$:

$$fg(x)=3\!\left(\frac{x+1}{2}\right)-2=\frac{3x+3}{2}-2=\frac{3x+3-4}{2}=\frac{3x-1}{2}$$

Untuk menyongsangkan, biar $y=\dfrac{3x-1}{2}$ dan jadikan $x$ perkara rumus:

$$2y=3x-1 \;\Rightarrow\; 3x=2y+1 \;\Rightarrow\; x=\frac{2y+1}{3}$$

$$(fg)^{-1}(x)=\frac{2x+1}{3}$$

(b) Songsangkan setiap fungsi berasingan. Bagi $f$, biar $y=3x-2$:

$$3x=y+2 \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}$$

Bagi $g$, biar $y=\dfrac{x+1}{2}$:

$$2y=x+1 \;\Rightarrow\; g^{-1}(x)=2x-1$$

Kini bina $g^{-1}f^{-1}(x)=g^{-1}\!\left(f^{-1}(x)\right)$ dengan memasukkan $f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}$ ke dalam $g^{-1}$:

$$g^{-1}f^{-1}(x)=2\!\left(\frac{x+2}{3}\right)-1=\frac{2x+4}{3}-1=\frac{2x+4-3}{3}=\frac{2x+1}{3}$$

(a) Sempurnakan kuasa dua. Separuh daripada $-6$ ialah $-3$, dan $(-3)^{2}=9$:

$$f(x)=x^{2}-6x+5=(x-3)^{2}-9+5=(x-3)^{2}-4$$

(b) Pada domain $x\geq 3$, kurungan $x-3\geq 0$, jadi $(x-3)^{2}\geq 0$ dan mengambil setiap nilai dari $0$ ke atas. Oleh itu $f(x)\geq -4$, dengan minimum $-4$ dicapai pada $x=3$.

$$\text{Julat: } f(x)\geq -4$$

(c) Untuk menyongsangkan, tetapkan $y=(x-3)^{2}-4$ dan jadikan $x$ perkara rumus:

$$(x-3)^{2}=y+4 \;\Rightarrow\; x-3=\pm\sqrt{y+4}$$

Oleh sebab domain ialah $x\geq 3$, kita ada $x-3\geq 0$, jadi ambil punca kuasa dua positif sahaja:

$$x=3+\sqrt{y+4} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=3+\sqrt{x+4}$$

$f^{2}(x)=ff(x)=f(ax+b)$. Gantikan keseluruhan $ax+b$ ke dalam $f$:

$$f^{2}(x)=a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b$$

Bandingkan dengan $4x+9$. Pekali $x$ memberi $a^{2}=4$, dan kerana $a>0$ kita ambil punca positif:

$$a^{2}=4 \;\Rightarrow\; a=2 \quad (a>0)$$

Bandingkan sebutan pemalar, $ab+b=9$, faktorkan, dan gantikan $a=2$:

$$b(a+1)=9 \;\Rightarrow\; 3b=9 \;\Rightarrow\; b=3$$

Jadi $f(x)=2x+3$. Untuk mencari songsang, biar $y=2x+3$ dan jadikan $x$ perkara rumus:

$$2x=y-3 \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$

Oleh sebab $fg(x)=f(g(x))$, keseluruhan ungkapan mesti ditulis semula sepenuhnya dalam sebutan $g(x)$. Mulakan dengan menyempurnakan kuasa dua pada sebelah kanan:

$$4x^{2}+4x+3=(2x+1)^{2}+2$$

Kurungan $(2x+1)^{2}$ adalah tepat $[g(x)]^{2}$, kerana $g(x)=2x+1$. Gantikan:

$$fg(x)=[g(x)]^{2}+2$$

Bandingkan kedua-dua belah: apa sahaja yang dikenakan pada $g(x)$ itulah peraturan bagi $f$, kuasa duakan input, kemudian tambah $2$.

$$f(x)=x^{2}+2$$

Bina $fg(x)=f(g(x))$ dengan menggantikan $g(x)=x^{2}-3$ ke dalam $f$:

$$fg(x)=\sqrt{(x^{2}-3)-2}=\sqrt{x^{2}-5}$$

Ini hanya ditakrifkan apabila input kepada $f$, iaitu $g(x)$, memenuhi syarat $f$ sendiri $g(x)\geq 2$:

$$x^{2}-3\geq 2 \;\Rightarrow\; x^{2}\geq 5$$

Selesaikan ketaksamaan ini dengan mengambil punca kuasa dua pada kedua-dua belah, kekalkan kedua-dua cabang kerana $x^{2}\geq 5$ membenarkan $x$ besar positif atau besar negatif:

$$x\leq -\sqrt{5} \;\text{ atau }\; x\geq \sqrt{5}$$

Biar $y=f(x)$ dan hapuskan pecahan dengan mendarab kedua-dua belah dengan $(x-3)$:

$$y=\frac{2x+1}{x-3} \;\Rightarrow\; y(x-3)=2x+1$$

Kembangkan, kemudian kumpulkan semua sebutan yang mengandungi $x$ pada satu belah:

$$xy-3y=2x+1 \;\Rightarrow\; xy-2x=3y+1$$

Faktorkan $x$, kemudian bahagikan untuk menjadikan $x$ perkara rumus:

$$x(y-2)=3y+1 \;\Rightarrow\; x=\frac{3y+1}{y-2}$$

$$f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$

Sempurnakan kuasa dua untuk mencari verteks. Separuh daripada $-4$ ialah $-2$, dan $(-2)^{2}=4$:

$$f(x)=x^{2}-4x+1=(x-2)^{2}-4+1=(x-2)^{2}-3$$

Verteks berada pada $x=2$, yang terletak dalam domain yang diberi $0\leq x\leq 5$, jadi nilai minimum $-3$ memang dicapai, pada $x=2$.

Oleh sebab domain ialah selang tertutup dan bukan tak terhad, maksimum tidak automatik, ia mesti disemak pada kedua-dua titik hujung:

$$f(0)=(0-2)^{2}-3=1, \qquad f(5)=(5-2)^{2}-3=6$$

$x=5$ lebih jauh daripada verteks $x=2$ berbanding $x=0$, jadi ia memberi nilai lebih besar. Maksimum pada domain ini ialah $6$, pada $x=5$.

$$\text{Julat: } -3\leq f(x)\leq 6$$

Nilaikan $g(3)$ dahulu, kerana $fg(3)=f(g(3))$:

$$g(3)=3^{2}+1=10$$

Gantikan ke dalam $f$ dan samakan hasilnya dengan $17$:

$$fg(3)=f(10)=2(10)-k=20-k=17 \;\Rightarrow\; k=3$$

Jadi $f(x)=2x-3$. Kini bina $gf(x)=g(f(x))$ dengan menggantikan $f(x)=2x-3$ ke dalam $g$:

$$gf(x)=(2x-3)^{2}+1=4x^{2}-12x+9+1=4x^{2}-12x+10$$