函数，练习题

(a) $2$ 的象就是输出 $f(2)$。把原象 $x=2$ 代入规则并化简：

$$f(2)=3(2)-4=6-4=2$$

(b) 象为 $11$ 的原象，是使 $f(x)=11$ 的 $x$ 值。令规则等于 $11$，解这个一次方程：

$$3x-4=11 \;\Rightarrow\; 3x=15 \;\Rightarrow\; x=5$$

(a) $fg(x)$ 表示 $f(g(x))$，所以 $g$ 先起作用。把 $f$ 的输入换成整个 $g(x)=x^{2}-3$，再仔细展开：

$$fg(x)=f(x^{2}-3)=2(x^{2}-3)+1=2x^{2}-6+1=2x^{2}-5$$

(b) $gf(x)$ 表示 $g(f(x))$，所以现在 $f$ 先起作用。由里到外算：先求 $f(2)$，再把 $g$ 作用在结果上。

$$f(2)=2(2)+1=5$$

$$gf(2)=g(5)=(5)^{2}-3=25-3=22$$

(a) 求反函数时，令 $y=f(x)$，再把 $x$ 解出来作为主项，最后互换字母。从规则出发：

$$y=4x+1 \;\Rightarrow\; y-1=4x \;\Rightarrow\; x=\frac{y-1}{4}$$

把 $y$ 换回 $x$，得到反函数：

$$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{4}$$

(b) 把 $x=9$ 代入刚求出的反函数：

$$f^{-1}(9)=\frac{9-1}{4}=\frac{8}{4}=2$$

这里 $fg(x)=f(g(x))$，所以凡是 $f$ 的输入位置，现在都换成整个 $g(x)$。把 $f$ 的规则作用在 $g(x)$ 上，并令它等于给定的复合：

$$f(g(x))=3\,g(x)+1=6x-2$$

现在把 $g(x)$ 当作未知量来解。两边减 $1$，再除以 $3$：

$$3\,g(x)=6x-3 \;\Rightarrow\; g(x)=2x-1$$

(a) 把每个给定值代入规则，化成一个方程。由 $f(1)=5$ 与 $f(3)=11$：

$$a+b=5 \quad\text{,}\quad 3a+b=11$$

用第二式减第一式消去 $b$，再代回：

$$(3a+b)-(a+b)=11-5 \;\Rightarrow\; 2a=6 \;\Rightarrow\; a=3$$

$$a+b=5 \;\Rightarrow\; 3+b=5 \;\Rightarrow\; b=2$$

所以函数是 $f(x)=3x+2$。(b) 令 $y=3x+2$，把 $x$ 解出作为主项，即得反函数：

$$y=3x+2 \;\Rightarrow\; x=\frac{y-2}{3} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}$$

(a) 一个数的绝对值是它到零的距离，所以永不为负。代入 $x=1$，取结果的大小：

$$f(1)=|\,2(1)-6\,|=|-4|=4$$

(b) 方程 $|\,2x-6\,|=4$ 表示里面的式子到零的距离是 $4$，所以它可以等于 $+4$ 或 $-4$。分成两种情形，各自求解：

$$2x-6=4 \;\Rightarrow\; 2x=10 \;\Rightarrow\; x=5$$

$$2x-6=-4 \;\Rightarrow\; 2x=2 \;\Rightarrow\; x=1$$