坐标几何例题（中等）| SPM Add Math

Q: 怎样快速求出垂直方向的斜率？

取负倒数：把分数翻过来，再变号。于是 333 变成 −13-\tfrac{1}{3}−31，−25-\tfrac{2}{5}−52 变成 +52+\tfrac{5}{2}+25。一个快速检验是：两条斜率相乘必须等于 −1-1−1。

Q: 我怎么知道该令斜率相等，还是令它们的乘积为 -1？

读题里给的关系。平行就是斜率相等；垂直就是斜率之积为 −1-1−1。开始前先认定是哪一种，事情就完成了一半。

Q: 如果取绝对值之前面积是负的怎么办？

这很正常。那个符号只记录你列点的方向（顺时针或逆时针），并不是面积的一部分。取绝对值，面积就是那个正的结果。

这些例题涵盖什么

这组中等的坐标几何例题把基础往前推一步。你已经会读斜率了；现在要用它来判断两条直线何时垂直或平行，并由这个条件构造直线方程，还要把一组顶点直接化成面积。

每一题都用小而精确的数字，让方法保持清晰，但相比简单一组，运算的环节更多，这里一个倒数斜率，那里一串要盯住的符号。看解答之前先在纸上完整做一遍，检查时特别留意步骤之间的衔接：中等题往往就在那里得分或失分。

例题解析

三题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一个可靠的习惯，先写条件，再一次代入一个值，如何带你走过垂直线、平行线与面积三类题。

Q1[3 marks]

直线 $L_{1}$ 的方程为 $y=3x-4$ 。直线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 垂直，并经过点 $(6, 1)$ 。

求 $L_{2}$ 的方程，写成 $y=mx+c$ 的形式。

Show worked solution

直接从方程读出 $L_{1}$ 的斜率：在 $y=3x-4$ 中， $x$ 的系数就是斜率，所以 $m_{1}=3$ 。

垂直线的斜率相乘等于 $-1$ ，所以 $L_{2}$ 的斜率是 $3$ 的负倒数：

m_{1}\,m_{2}=-1 \;\Rightarrow\; m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{3}

再用点斜式 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，取 $m_{2}=-\tfrac{1}{3}$ 与点 $(6, 1)$ ：

y-1=-\frac{1}{3}(x-6)

展开括号，注意 $-\tfrac{1}{3}\times(-6)=+2$ ，再把 $y$ 解出来：

y-1=-\frac{1}{3}x+2 \;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{3}x+3

答案

直线是 $y=-\tfrac{1}{3}x+3$ 。两处快速检验：斜率满足 $3\times(-\tfrac{1}{3})=-1$ ，所以两线垂直；又在 $x=6$ 时， $y=-\tfrac{1}{3}(6)+3=-2+3=1$ ，所以 $L_{2}$ 经过 $(6, 1)$ 。

Q2[3 marks]

连接 $P(2, k)$ 与 $Q(6, 11)$ 的直线，平行于连接 $R(1, 0)$ 与 $S(3, 4)$ 的直线。求 $k$ 的值。

Show worked solution

平行线斜率相等，所以做法是写出两条斜率再令它们相等。先从两端都已知的 $RS$ 开始：

m_{RS}=\frac{4-0}{3-1}=\frac{4}{2}=2

再把 $PQ$ 的斜率用 $k$ 表示，上下按同一顺序相减：

m_{PQ}=\frac{11-k}{6-2}=\frac{11-k}{4}

因为两线平行，令两条斜率相等，再解出 $k$ ：

\frac{11-k}{4}=2 \;\Rightarrow\; 11-k=8 \;\Rightarrow\; k=3

答案

$k=3$ 。代回检验：当 $k=3$ 时， $m_{PQ}=\dfrac{11-3}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ ，等于 $m_{RS}$ ，所以 $PQ$ 平行于 $RS$ ，与要求一致。

Q3[3 marks]

某三角形的顶点为 $A(1, 1)$ 、 $B(5, 2)$ 与 $C(3, 6)$ 。求三角形 $ABC$ 的面积。

Show worked solution

用直接从顶点读出面积的公式。按绕三角形的顺序列出坐标，套用「交叉相乘、再相减」的模式：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|\,x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\,\bigr|

代入 $A(1, 1)$ 、 $B(5, 2)$ 与 $C(3, 6)$ ，小心括号里的每一个差：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|\,1(2-6)+5(6-1)+3(1-2)\,\bigr|

先算括号，再算乘积，然后在绝对值里相加：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|\,-4+25-3\,\bigr|=\frac{1}{2}\,(18)=9

答案

面积是 $9$ 平方单位。用第二条路径检验，取从 $A$ 出发的边向量： $\vec{AB}=(4, 1)$ ， $\vec{AC}=(2, 5)$ ，于是面积为 $\tfrac{1}{2}\,|4\times5-1\times2|=\tfrac{1}{2}\,|20-2|=9$ ，一致。

Q4[3 marks]

点 $A(1, 2)$ 与点 $B(4, k)$ 之间的距离为 $5$ 个单位。求 $k$ 的所有可能值。

Show worked solution

利用距离公式 $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ ，代入 $A$ 与 $B$ 的坐标，再将两边平方以消去根号。

(4-1)^{2}+(k-2)^{2}=5^{2}

化简左边，再把平方项单独留在一边。

9+(k-2)^{2}=25 \;\Rightarrow\; (k-2)^{2}=16

对两边开方，同时保留正负两个根。

k-2=\pm4 \;\Rightarrow\; k=6 \text{ 或 } k=-2

答案

$k=6$ 或 $k=-2$ 。检验：当 $k=6$ 时， $B(4,6)$ ， $AB^{2}=(4-1)^{2}+(6-2)^{2}=9+16=25$ ，所以 $AB=5$ ；同样地， $k=-2$ 时 $(-2-2)^{2}=16$ 也成立。

Q5[4 marks]

点 $P$ 把连接 $A(2, 3)$ 与 $B(8, 15)$ 的线段分成 $AP:PB=1:2$ 。求 $P$ 的坐标。

Show worked solution

利用分点公式：若 $P$ 把 $AB$ 分成 $AP:PB=m:n$ ，则 $P=\left(\dfrac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\ \dfrac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)$ 。这里 $m=1$ ， $n=2$ ， $A(2,3)$ ， $B(8,15)$ 。

P=\left(\frac{1(8)+2(2)}{1+2},\ \frac{1(15)+2(3)}{1+2}\right)

先算出每个分子，再除以 $3$ 。

P=\left(\frac{8+4}{3},\ \frac{15+6}{3}\right)=\left(\frac{12}{3},\ \frac{21}{3}\right)=(4, 7)

答案

$P=(4, 7)$ 。检验： $AP=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{20}$ ， $PB=\sqrt{(8-4)^{2}+(15-7)^{2}}=\sqrt{80}=2\sqrt{20}$ ，所以 $AP:PB=1:2$ ，符合条件。

Q6[3 marks]

求直线 $y=2x-1$ 与 $x+y=8$ 的交点坐标。

Show worked solution

交点同时落在两条直线上，所以把 $y=2x-1$ 代入 $x+y=8$ ，解出 $x$ 。

x+(2x-1)=8 \;\Rightarrow\; 3x-1=8 \;\Rightarrow\; x=3

把 $x=3$ 代入 $y=2x-1$ ，求出对应的 $y$ 值。

y=2(3)-1=5

答案

两直线相交于 $(3, 5)$ 。检验：代入第二式， $x+y=3+5=8$ ，成立。

Q7[4 marks]

点 $P(x, y)$ 移动时，与定点 $A(3, -2)$ 的距离恒为 $5$ 个单位。求 $P$ 的轨迹方程，答案写成 $x^{2}+y^{2}+px+qy+r=0$ 的形式。

Show worked solution

用距离公式写出 $PA$ ，令它等于 $5$ ，再将两边平方以消去根号。

(x-3)^{2}+(y-(-2))^{2}=5^{2} \;\Rightarrow\; (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25

展开两个平方括号。

x^{2}-6x+9+y^{2}+4y+4=25

合并同类项，并把常数移到等式一边使其等于零。

x^{2}+y^{2}-6x+4y+13-25=0 \;\Rightarrow\; x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0

答案

轨迹方程为 $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ 。检验：配方后得到 $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$ ，即以 $A(3, -2)$ 为圆心、半径为 $5$ 的圆，与 $PA=5$ 的条件一致。

Q8[3 marks]

点 $A(1, 2)$ 、 $B(3, 6)$ 与 $C(k, 14)$ 共线。求 $k$ 的值。

Show worked solution

共线的点落在同一条直线上，所以 $AB$ 的斜率必须等于 $BC$ 的斜率。先求 $m_{AB}$ 。

m_{AB}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2

把 $m_{BC}$ 用 $k$ 表示，并令它等于 $m_{AB}$ 。

m_{BC}=\frac{14-6}{k-3}=\frac{8}{k-3}=2

解出所得的方程，求 $k$ 。

8=2(k-3) \;\Rightarrow\; 8=2k-6 \;\Rightarrow\; 2k=14 \;\Rightarrow\; k=7

答案

$k=7$ 。检验：当 $C(7, 14)$ 时， $m_{AC}=\frac{14-2}{7-1}=\frac{12}{6}=2$ ，与 $m_{AB}$ 相等，证实三点共线。

贯穿这三题的模式相同：先说清关系，垂直、平行，还是由顶点求面积，写下对应的公式，然后才代入数字。在动手算之前先定下方法，正是让中等题不至于变成瞎猜的关键。

关键方法要点

这三道例题演练的是坐标几何核心的斜率与面积工具。多做练习时，记住以下几点。

直接从 $y=mx+c$ 读斜率：它就是 $x$ 的系数。
平行线斜率相等（ $m_{1}=m_{2}$ ）；垂直线斜率之积为 $-1$ ，即 $m_{2}=-\tfrac{1}{m_{1}}$ ，也就是负倒数。
求未知坐标时，把斜率用该未知数表示，令它等于已知斜率，再解方程。
由顶点求三角形面积用 $\tfrac{1}{2}\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|$ ；绝对值使面积恒为正，无论以何顺序列点。
直线方程做完后，务必检验给定的点确实满足它。
由于采用分析式评分，写对条件或面积公式并正确代入，即使后一步出错也能拿到方法分。

老师如何帮忙

到了中等难度，分数往往取决于一个判断，关系是平行还是垂直，哪条斜率放在哪里。在一对一的课堂上，我们的老师会把这个判断讲明白，让你在动用公式之前先说出条件，于是「忘了取负倒数」这类失误自然就不再发生。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是能给你展示两条通往同一面积的路径、再让你选自己信得过那条的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

怎样快速求出垂直方向的斜率？

取负倒数：把分数翻过来，再变号。于是 $3$ 变成 $-\tfrac{1}{3}$ ， $-\tfrac{2}{5}$ 变成 $+\tfrac{5}{2}$ 。

一个快速检验是：两条斜率相乘必须等于 $-1$ 。

面积公式里顶点的顺序重要吗？

绝对值使最终面积无论顺时针还是逆时针都为正，所以答案相同。真正要紧的是保持一致，三项都用同一个绕行顺序，否则某个差可能出现错误的符号。

我怎么知道该令斜率相等，还是令它们的乘积为

-1

？

读题里给的关系。平行就是斜率相等；垂直就是斜率之积为 $-1$ 。

开始前先认定是哪一种，事情就完成了一半。

如果取绝对值之前面积是负的怎么办？

这很正常。那个符号只记录你列点的方向（顺时针或逆时针），并不是面积的一部分。

取绝对值，面积就是那个正的结果。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

坐标几何，例题（中等）

这些例题涵盖什么

例题解析

关键方法要点

老师如何帮忙

常见问题

准备好开始了吗？