Geometri Koordinat Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Bagaimana saya tahu sama ada menyamakan kecerunan atau menjadikan hasil darabnya -1?

Baca hubungan dalam soalan. Selari bermaksud kecerunan sama; serenjang bermaksud hasil darab kecerunan ialah −1-1−1. Menamakan yang mana berlaku sebelum bermula ialah separuh daripada kerja.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Geometri Koordinat sederhana ini membawa asas satu langkah lebih jauh. Anda sudah tahu membaca kecerunan; kini anda menggunakannya untuk menentukan bila dua garis serenjang atau selari dan untuk membina persamaan garis daripada syarat itu, serta menukar sekumpulan bucu terus kepada luas.

Setiap soalan menggunakan nombor kecil dan tepat supaya kaedah kekal jelas, tetapi kerjanya mempunyai lebih banyak bahagian bergerak berbanding set mudah, kecerunan salingan di sini, satu rentetan tanda untuk dijejaki di sana. Cuba setiap satu sepenuhnya di atas kertas sebelum membaca penyelesaian, dan semasa menyemak, perhati rapat sambungan antara langkah: di situlah soalan sederhana biasanya dimenangi atau terlepas.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana satu tabiat yang boleh dipercayai, tulis syarat dahulu, kemudian gantikan satu nilai pada satu masa, membawa anda melalui garis serenjang, garis selari dan luas sekali gus.

Q1[3 marks]

Suatu garis lurus $L_{1}$ mempunyai persamaan $y=3x-4$ . Garis $L_{2}$ berserenjang dengan $L_{1}$ dan melalui titik $(6, 1)$ .

Cari persamaan $L_{2}$ dalam bentuk $y=mx+c$ .

Show worked solution

Baca kecerunan $L_{1}$ terus daripada persamaannya: dalam $y=3x-4$ , pekali $x$ ialah kecerunannya, jadi $m_{1}=3$ .

Kecerunan garis serenjang didarab menjadi $-1$ , jadi kecerunan $L_{2}$ ialah salingan negatif bagi $3$ :

m_{1}\,m_{2}=-1 \;\Rightarrow\; m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{3}

Kini gunakan bentuk titik–kecerunan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ dengan $m_{2}=-\tfrac{1}{3}$ dan titik $(6, 1)$ :

y-1=-\frac{1}{3}(x-6)

Kembangkan kurungan, perhatikan $-\tfrac{1}{3}\times(-6)=+2$ , dan jadikan $y$ perkara rumus:

y-1=-\frac{1}{3}x+2 \;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{3}x+3

Jawapan

Garisnya ialah $y=-\tfrac{1}{3}x+3$ . Dua semakan cepat: kecerunan memenuhi $3\times(-\tfrac{1}{3})=-1$ , jadi garis-garis itu berserenjang; dan pada $x=6$ , $y=-\tfrac{1}{3}(6)+3=-2+3=1$ , jadi $L_{2}$ melalui $(6, 1)$ .

Q2[3 marks]

Garis lurus yang menyambung $P(2, k)$ dan $Q(6, 11)$ adalah selari dengan garis lurus yang menyambung $R(1, 0)$ dan $S(3, 4)$ . Cari nilai $k$ .

Show worked solution

Garis selari mempunyai kecerunan yang sama, jadi rancangannya ialah menulis kedua-dua kecerunan dan menyamakannya. Mulakan dengan garis $RS$ , yang kedua-dua hujungnya diketahui sepenuhnya:

m_{RS}=\frac{4-0}{3-1}=\frac{4}{2}=2

Kini tulis kecerunan $PQ$ dalam sebutan $k$ , menolak dalam susunan yang sama di atas dan di bawah:

m_{PQ}=\frac{11-k}{6-2}=\frac{11-k}{4}

Samakan kedua-dua kecerunan kerana garis-garis itu selari, kemudian selesaikan persamaan untuk $k$ :

\frac{11-k}{4}=2 \;\Rightarrow\; 11-k=8 \;\Rightarrow\; k=3

Jawapan

$k=3$ . Semak dengan menggantikan semula: dengan $k=3$ , $m_{PQ}=\dfrac{11-3}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ , yang sama dengan $m_{RS}$ , jadi $PQ$ selari dengan $RS$ seperti yang dikehendaki.

Q3[3 marks]

Bucu suatu segi tiga ialah $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ dan $C(3, 6)$ . Cari luas segi tiga $ABC$ .

Show worked solution

Gunakan rumus yang membaca luas terus daripada bucu. Senaraikan koordinat mengikut susunan mengelilingi segi tiga dan gunakan corak 'darab melintang, kemudian tolak':

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|\,x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\,\bigr|

Gantikan $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ dan $C(3, 6)$ , berhati-hati dengan setiap beza dalam kurungan:

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|\,1(2-6)+5(6-1)+3(1-2)\,\bigr|

Kira kurungan, kemudian hasil darab, kemudian tambah dalam modulus:

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|\,-4+25-3\,\bigr|=\frac{1}{2}\,(18)=9

Jawapan

Luasnya ialah $9$ unit persegi. Semak melalui laluan kedua menggunakan vektor tepi dari $A$ : $\vec{AB}=(4, 1)$ dan $\vec{AC}=(2, 5)$ , jadi luasnya ialah $\tfrac{1}{2}\,|4\times5-1\times2|=\tfrac{1}{2}\,|20-2|=9$ , yang sepadan.

Q4[3 marks]

Jarak antara titik $A(1, 2)$ dan $B(4, k)$ ialah $5$ unit. Cari nilai-nilai $k$ yang mungkin.

Show worked solution

Gunakan rumus jarak $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ , gantikan koordinat $A$ dan $B$ , kemudian kuasa duakan kedua-dua belah untuk menghilangkan punca kuasa dua.

(4-1)^{2}+(k-2)^{2}=5^{2}

Permudahkan bahagian kiri, kemudian asingkan sebutan kuasa dua.

9+(k-2)^{2}=25 \;\Rightarrow\; (k-2)^{2}=16

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah, dengan mengekalkan punca positif dan negatif.

k-2=\pm4 \;\Rightarrow\; k=6 \text{ atau } k=-2

Jawapan

$k=6$ atau $k=-2$ . Semak: dengan $k=6$ , $B(4,6)$ memberikan $AB^{2}=(4-1)^{2}+(6-2)^{2}=9+16=25$ , jadi $AB=5$ ; semakan yang sama berlaku untuk $k=-2$ kerana $(-2-2)^{2}=16$ juga.

Q5[4 marks]

Titik $P$ membahagi tembereng garis lurus yang menyambung $A(2, 3)$ dan $B(8, 15)$ dengan keadaan $AP:PB=1:2$ . Cari koordinat $P$ .

Show worked solution

Gunakan rumus titik yang membahagi tembereng garis dalam nisbah tertentu. Jika $P$ membahagi $AB$ supaya $AP:PB=m:n$ , maka $P=\left(\dfrac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\ \dfrac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)$ .

Di sini $m=1$ , $n=2$ , $A(2,3)$ dan $B(8,15)$ .

P=\left(\frac{1(8)+2(2)}{1+2},\ \frac{1(15)+2(3)}{1+2}\right)

Kira setiap pengangka, kemudian bahagikan dengan $3$ .

P=\left(\frac{8+4}{3},\ \frac{15+6}{3}\right)=\left(\frac{12}{3},\ \frac{21}{3}\right)=(4, 7)

Jawapan

$P=(4, 7)$ . Semak: $AP=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{20}$ dan $PB=\sqrt{(8-4)^{2}+(15-7)^{2}}=\sqrt{80}=2\sqrt{20}$ , jadi $AP:PB=1:2$ seperti yang dikehendaki.

Q6[3 marks]

Cari koordinat titik persilangan bagi garis lurus $y=2x-1$ dan $x+y=8$ .

Show worked solution

Titik persilangan terletak pada kedua-dua garis, jadi gantikan $y=2x-1$ ke dalam $x+y=8$ dan selesaikan untuk $x$ .

x+(2x-1)=8 \;\Rightarrow\; 3x-1=8 \;\Rightarrow\; x=3

Gantikan $x=3$ ke dalam $y=2x-1$ untuk mencari nilai $y$ yang sepadan.

y=2(3)-1=5

Jawapan

Garis-garis itu bersilang pada $(3, 5)$ . Semak: menggantikan ke dalam persamaan kedua memberikan $x+y=3+5=8$ , yang betul.

Q7[4 marks]

Suatu titik $P(x, y)$ bergerak dengan keadaan jaraknya daripada titik tetap $A(3, -2)$ sentiasa $5$ unit. Cari persamaan lokus $P$ , dengan jawapan dalam bentuk $x^{2}+y^{2}+px+qy+r=0$ .

Show worked solution

Tulis jarak $PA$ menggunakan rumus jarak dan samakan dengan $5$ , kemudian kuasa duakan kedua-dua belah untuk menghilangkan punca kuasa dua.

(x-3)^{2}+(y-(-2))^{2}=5^{2} \;\Rightarrow\; (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25

Kembangkan kedua-dua kurungan kuasa dua.

x^{2}-6x+9+y^{2}+4y+4=25

Kumpulkan sebutan sejenis dan pindahkan pemalar supaya persamaan menyamai sifar.

x^{2}+y^{2}-6x+4y+13-25=0 \;\Rightarrow\; x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0

Jawapan

Lokusnya ialah $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ . Semak: melengkapkan kuasa dua semula memberikan $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$ , iaitu bulatan berjejari $5$ berpusat di $A(3, -2)$ , sepadan dengan $PA=5$ .

Q8[3 marks]

Titik $A(1, 2)$ , $B(3, 6)$ dan $C(k, 14)$ adalah segaris. Cari nilai $k$ .

Show worked solution

Titik-titik segaris terletak pada garis lurus yang sama, jadi kecerunan $AB$ mestilah sama dengan kecerunan $BC$ . Cari $m_{AB}$ dahulu.

m_{AB}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2

Tulis $m_{BC}$ dalam sebutan $k$ dan samakan dengan $m_{AB}$ .

m_{BC}=\frac{14-6}{k-3}=\frac{8}{k-3}=2

Selesaikan persamaan yang terhasil untuk $k$ .

8=2(k-3) \;\Rightarrow\; 8=2k-6 \;\Rightarrow\; 2k=14 \;\Rightarrow\; k=7

Jawapan

$k=7$ . Semak: dengan $C(7, 14)$ , $m_{AC}=\frac{14-2}{7-1}=\frac{12}{6}=2$ , sama dengan $m_{AB}$ , mengesahkan ketiga-tiga titik itu segaris.

Merentasi ketiga-tiga ini, coraknya sama: namakan hubungan dahulu, serenjang, selari, atau luas daripada bucu, tulis rumus yang sepadan, dan barulah gantikan nombor. Menentukan kaedah sebelum menyentuh aritmetik itulah yang menghalang soalan sederhana daripada menjadi tekaan.

Latih corak ini berulang kali sehingga menamakan syarat menjadi hampir automatik, dan markah kaedah yang mengiringi setiap langkah pembuka akan datang dengan sendirinya, walaupun aritmetik akhir sekali-sekala tergelincir.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih alat kecerunan dan luas yang berada di tengah-tengah Geometri Koordinat. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Baca kecerunan terus daripada $y=mx+c$ : ia ialah pekali $x$ .
Garis selari mempunyai kecerunan yang sama ( $m_{1}=m_{2}$ ); garis serenjang mempunyai kecerunan yang hasil darabnya $-1$ , jadi $m_{2}=-\tfrac{1}{m_{1}}$ , iaitu salingan negatif.
Untuk mencari koordinat anu, tulis kecerunan dalam sebutan anu itu, samakan dengan kecerunan yang diketahui, dan selesaikan.
Luas segi tiga daripada bucunya ialah $\tfrac{1}{2}\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|$ ; modulus mengekalkan luas positif walau apa pun susunan senarai titik.
Sentiasa akhiri jawapan persamaan garis dengan menyemak bahawa titik yang diberi memenuhinya.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, syarat atau rumus luas yang betul dengan penggantian yang tepat memperoleh markah kaedah walaupun langkah kemudian tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Pada peringkat sederhana, markah biasanya bergantung pada satu keputusan, sama ada hubungan itu selari atau serenjang, dan kecerunan mana pergi ke mana. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami menjadikan keputusan itu jelas, supaya anda menamakan syarat sebelum mencapai rumus, dan kesilapan seperti terlupa salingan negatif berhenti berlaku.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang boleh menunjukkan dua laluan kepada luas yang sama dan membiarkan anda memilih yang anda percayai. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mencari kecerunan serenjang dengan cepat?

Ambil salingan negatif: songsangkan pecahan dan tukar tanda. Jadi $3$ menjadi $-\tfrac{1}{3}$ , dan $-\tfrac{2}{5}$ menjadi $+\tfrac{5}{2}$ .

Semakan pantas ialah kedua-dua kecerunan mesti didarab menjadi $-1$ .

Adakah susunan bucu penting dalam rumus luas?

Modulus menjadikan luas akhir positif ke mana pun anda mengelilinginya, jadi jawapannya sama. Yang penting ialah konsisten, gunakan susunan mengelilingi yang sama untuk ketiga-tiga sebutan, atau satu beza boleh berakhir dengan tanda yang salah.

Bagaimana saya tahu sama ada menyamakan kecerunan atau menjadikan hasil darabnya

-1

Baca hubungan dalam soalan. Selari bermaksud kecerunan sama; serenjang bermaksud hasil darab kecerunan ialah $-1$ .

Menamakan yang mana berlaku sebelum bermula ialah separuh daripada kerja.

Bagaimana jika luas negatif sebelum saya ambil modulus?

Itu biasa. Tanda hanya merekod arah anda menyenaraikan titik (ikut atau lawan jam); ia bukan sebahagian daripada luas.

Ambil nilai mutlak dan luasnya ialah hasil positif.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Geometri Koordinat, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?