坐标几何，SPM 高级数学（中四）

坐标几何是用点在笛卡儿平面上的坐标来描述点、直线与图形的数学分支。在 SPM 高级数学里，这是中四的第七章，属于几何学习领域。

整章都建立在一个强大的观念上：一旦每个点都有了 $(x, y)$ 这个地址，几何问题，相距多远、多陡、多大、走的是什么路径，就变成你可以精确计算的代数。

你在早些年已经接触过坐标的基础。高级数学把它推进到四个方向：按任意比例分割线段，而不只是中点；用斜率来检验直线是否平行或垂直，并写出它们的方程；直接由顶点坐标求任何三角形或多边形的面积；以及对多数学生而言全新的内容，推导轨迹方程，也就是满足某个既定条件的所有点组成的集合。

高级数学是一门选修科，而坐标几何是那种仔细、直观的作答很快就能见效的章节之一。把各点随手画一张不必按比例的草图，几乎每道题都会变成你看得见的东西。

因为答案是精确的数字与方程，而不是冗长的证明，本章对于能清楚标出各点、一次代入一个数值的学生来说，是一处可靠的得分来源。

学完本章，你应该能够求出按给定比例分割线段的分点；说出并运用平行线与垂直线的斜率条件；由一点与斜率，或由两点，写出直线方程；由坐标算出三角形与四边形的面积；并建立并化简轨迹方程，辨认何时轨迹是直线、何时是圆。这些工具会在后面关于圆、向量与微积分的学习中再度出现，所以在这里花的时间会得到许多倍的回报。

坐标几何分为四项内容标准。以下的编码与标题直接来自 KSSM DSKP，认清它们，你就知道一道题目到底在考什么。

这四项标准彼此层层递进。7.1 与 7.2 的分点与斜率工作给了你直线方程；7.3 的面积用同一批坐标以另一种方式运算；而 7.4 的轨迹则把距离、斜率与建立方程融合成一项技能。

先读懂题目，看它在考哪一项标准，正确的公式通常就随之而来。

两点间的距离。点 $A(x_{1}, y_{1})$ 与 $B(x_{2}, y_{2})$ 之间的直线距离，直接由勾股定理作用于水平与垂直的间距而来。

它是长度、轨迹以及特殊三角形检验的基础，因此值得练到完全熟练。

$$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

线段的中点。中点就是两个 $x$ 坐标的平均与两个 $y$ 坐标的平均。

它是分点公式在比例为 $1:1$ 时的特例。

$$M=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\ \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$$

按比例分割线段（标准 7.1）。若点 $P$ 分割 $AB$ 使得 $AP:PB=m:n$，它的坐标就是 $A$ 与 $B$ 的加权平均。

权重 $m$ 配远端点 $B$，$n$ 配近端点 $A$，把它们弄反是这里最常见的失误。

$$P=\left(\dfrac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\ \dfrac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)$$

斜率。斜率以 $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量来衡量陡峭程度。

正斜率向右上升，负斜率向下，水平线斜率为 $0$，而垂直线的斜率无定义，因为 $x_{2}-x_{1}=0$。

$$m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

平行线与垂直线（标准 7.2）。两条非垂直的直线，恰当它们的斜率相等 $m_{1}=m_{2}$ 时平行；恰当它们斜率之积为 $-1$，即 $m_{1}m_{2}=-1$ 时垂直，彼此的斜率互为负倒数。

这两个条件几乎能解决所有『平行于』或『垂直于』的题目。

$$\text{平行： } m_{1}=m_{2}\qquad\text{垂直： } m_{1}m_{2}=-1$$

直线方程。给定一点 $(x_{1}, y_{1})$ 与斜率 $m$，用点斜式 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$；整理成 $y=mx+c$ 便可读出斜率与 $y$ 截距。

若直线在 $(a,0)$ 与 $(0,b)$ 处切轴，截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 往往是最快的途径。

由坐标求多边形面积（标准 7.3）。对于顶点为 $(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$、$(x_{3},y_{3})$ 的三角形，面积是一个简单的交错和的一半的绝对值。

把坐标沿着图形按次序写下，套用『向下乘积减向上乘积』的模式，再取一半的绝对值。同样的鞋带法可推广到四边形与更大的多边形。

$$\text{面积}=\tfrac{1}{2}\,\big|\,x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\,\big|$$

轨迹方程（标准 7.4）。轨迹是满足某规则的所有点 $P(x,y)$ 的集合。

用距离公式把规则译成方程，再化简。当到一个定点的距离恒定时，轨迹是圆；当到两个定点的距离之比为固定常数时，一般也是圆（只有当这个比恰为 $1:1$ 时才是直线）。

尽早把两边平方即可去掉根号，留下整洁的方程。

坐标几何可以在任何一份笔试中被考到。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：甲组有 12题，占 64分，全部作答；乙组有 3题，占 16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于甲组（7题，50分，全部作答）、乙组（4题，30分，作答 3题）与丙组（4题，20分，作答 2题）。

两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，作答时可使用不可编程的科学计算器。题目跨越不同难度，格式采用低到高 5 : 3 : 2 的难度比例，所以你既会遇到简短的代入题，也会遇到把多项技能串联起来、较长的多部分题目。

我们不会预测任何单独一章会占多少分，因为这逐年不同。

本章特别适合这种要你写出过程的格式。较长的题目常常一步步走过一幅图：先求斜率，进而某条直线的方程，进而一条垂直线的方程，进而交点，进而面积。

因为评分是分析式的，每一个正确的斜率、每一个方程、每一个代入的数值都能各自得分，所以只要你的方法写得清楚、后面的步骤能正确地由你自己前面的答案推出，较早出现的一个小小运算失误未必会连累后面的分数。

值得一提的是，我们的课程以英语授课，而 SPM 试卷以国文（马来文）与英文双语命题，因此你会用两种语言的术语来练习，在考试当天不会被任何一个词卡住。

本章丢掉的分数，大多来自少数几个可以避免的习惯。在每一套练习之前先读一读，直到它们成为本能。

• 把比例权重配错了点。在 $AP:PB=m:n$ 中，权重 $m$ 乘远端点 $B$ 的坐标，$n$ 乘近端点 $A$。把它们对调，会把 $P$ 放到线段错误的一侧。
• 垂直斜率求错。垂直意味着负倒数：若 $m_{1}=\tfrac{2}{3}$，则 $m_{2}=-\tfrac{3}{2}$，因为 $m_{1}m_{2}=-1$。只改符号而不把分数取倒（或反之），是常见的错误。
• 面积公式忘了取绝对值。交错和可能因你列出顶点的次序而为负；面积总是正的，所以在减半之前要对整个表达式取绝对值。
• 多边形顶点没有按次序列出。鞋带法只有在顶点沿图形一致地（全部顺时针或全部逆时针）取用时才成立。跨越图形跳着取，会得到错误、往往偏小的面积。
• 斜率里坐标次序弄乱。让 $y$ 之差在上、$x$ 之差在下，并以相同次序相减。只把一个取反而不取另一个，会让斜率变号。
• 轨迹方程没有化简。两边平方之后，要完全展开、合并同类项，并化简成标准形式。把答案留成两个根号彼此相等，很少能拿到最后那一分。

这些错误没有一个关乎能力，每一个都只是习惯，而习惯是可以纠正的。动手前先画点，代入前先写公式，一边算一边检查符号，你在本章的准确度就会迅速提升。

坐标几何会回报直观、有条理的学习方式。按顺序做完以下步骤，再用下面的资源来温习和自我测验。

因为考试一条公式都不提供，第一件事就是把它们牢牢记在脑中，但要连同一张草图一起记，而不是当成孤立的符号。斜率是你看得见的坡度；轨迹是你描得出的路径。

总是先画一张简图、短而频繁的练习，比一次漫长的死记硬背更能同时稳住公式与推理。

1. 1

   记熟六条核心公式

   距离、中点、分点、斜率、平行与垂直条件，以及坐标面积公式，没有一条会在考试中提供，所以全部要学会。

2. 2

   反复练习分点

   练习按 2 : 3、3 : 1 之类的比例分割线段，并通过确认它恰好落在从 A 到 B 的正确比例处来核对每个答案。

3. 3

   双向建立直线方程

   由一点与斜率，以及由两点，列出方程并整理成 y = mx + c；再求与它平行和垂直的直线。

4. 4

   掌握面积与轨迹

   用鞋带模式（记得取绝对值）算三角形与四边形的面积，再建立轨迹方程并化简到标准形式。

5. 5

   计时并复盘

   在计时下做综合的多部分题目，然后在下一次练习前重读你的常见错误清单。

• 坐标几何，复习笔记
• 坐标几何，常见错误
• 坐标几何，练习题
• 坐标几何，试卷二答题指南
• 坐标几何，重要术语
• 坐标几何，例题精解（简易）
• 坐标几何，例题精解（中等）
• 坐标几何，例题精解（KBAT）