坐标几何例题（KBAT）| SPM Add Math

Q: 轨迹题里为什么要两边平方？

距离公式里含有根号，把 PA=PBPA=PBPA=PB（或 PA=2 PBPA=2\,PBPA=2PB）两边平方就能去掉它，让你用普通代数展开。由于距离永远非负，这里平方不会引入多余的假解。

Q: 在做完之前，怎么判断轨迹会是直线还是圆？

距离相等（比例 1:11:11:1）总给出直线，而其他任何定距离比都给出圆。在代数里，如果 x2x^{2}x2 与 y2y^{2}y2 项相消，你得到直线；如果它们以相等系数保留下来，你得到圆。

Q: 在比例 AD:DB=1:2 里，D 更靠近 A 还是 B？

更靠近 AAA，因为 ADADAD 是较短的那一份，三份里的一份。所以 DDD 位于从 AAA 到 BBB 线段的三分之一处。

这些例题涵盖什么

这组困难的坐标几何例题像长卷里的大题那样，一次融合两个想法。前两题构造轨迹方程，一个动点遵循固定规则所走的路径，一条结果为直线，另一条结果为圆。

第三题把分点织入面积计算，于是 (a) 小题的答案直接喂给 (b) 小题。它们都不需要庞大的运算；需要的是清晰的计划和稳健的代数。

先在纸上完整做一遍，仔细展开每一个括号，一路盯住符号，正是这份纪律让困难题变得可控，而不是令人生畏。

例题解析

三题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意即使答案更丰富，计划依旧不变：说清条件，把它翻译成代数，不慌不忙地展开与化简，再用一条独立路径确认结果。

Q1[4 marks]

动点 $P(x, y)$ 移动，使它到点 $A(1, 2)$ 与 $B(5, 4)$ 的距离始终相等。求 $P$ 的轨迹方程。

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「距离相等」就是 $PA=PB$ 。两边平方可以去掉根号、让代数保持干净，所以从 $PA^{2}=PB^{2}$ 出发，用距离公式：

(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y-4)^{2}

仔细展开每一个括号，保留每一个平方项：

x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=x^{2}-10x+25+y^{2}-8y+16

$x^{2}$ 与 $y^{2}$ 在两边都出现，于是相消。整理剩下的项：

-2x-4y+5=-10x-8y+41

把每一项移到一边，化简，再除以公因数 $4$ ：

8x+4y-36=0 \;\Rightarrow\; 2x+y-9=0

答案

轨迹是直线 $2x+y-9=0$ 。它是 $AB$ 的垂直平分线，这是一个漂亮的检验：它的斜率是 $-2$ ，正是 $m_{AB}=\tfrac{4-2}{5-1}=\tfrac{1}{2}$ 的负倒数，而且它经过中点 $(3, 3)$ ，因为 $2(3)+3-9=0$ 。

Q2[5 marks]

动点 $P(x, y)$ 移动，使它到 $A(1, 0)$ 的距离始终是它到 $B(4, 0)$ 距离的两倍。求 $P$ 的轨迹方程，并说明它代表哪种曲线。

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条件是 $PA=2\,PB$ 。两边平方得 $PA^{2}=4\,PB^{2}$ ，从而去掉根号。

用距离公式写出每个平方距离：

(x-1)^{2}+y^{2}=4\bigl[(x-4)^{2}+y^{2}\bigr]

两边展开，记得把右边括号里的所有东西都乘以 $4$ ：

x^{2}-2x+1+y^{2}=4x^{2}-32x+64+4y^{2}

把每一项移到一边。合并同类项得：

0=3x^{2}+3y^{2}-30x+63

除以 $3$ ，让平方项的系数为 $1$ ：

x^{2}+y^{2}-10x+21=0

答案

轨迹是 $x^{2}+y^{2}-10x+21=0$ 。由于 $x^{2}$ 与 $y^{2}$ 的系数相等且没有 $xy$ 项，它是一个圆；配方得 $(x-5)^{2}+y^{2}=4$ ，即圆心 $(5, 0)$ 、半径 $2$ 的圆。

在 $x$ 轴上检验： $x=3$ 时 $PA=2$ 、 $PB=1$ ； $x=7$ 时 $PA=6$ 、 $PB=3$ ；两者都满足 $PA=2\,PB$ 。

Q3[5 marks]

某三角形的顶点为 $A(-1, 2)$ 、 $B(5, 8)$ 与 $C(4, 0)$ 。点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $AD:DB=1:2$ 。

求 (a) $D$ 的坐标，(b) 三角形 $ACD$ 的面积。

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(a) 用分点公式，点把 $A(x_{1}, y_{1})$ 与 $B(x_{2}, y_{2})$ 按比例 $m:n$ 分割，取 $m=1$ （ $AD$ 那份）与 $n=2$ （ $DB$ 那份）：

D=\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\; \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)

代入 $A(-1, 2)$ 、 $B(5, 8)$ 、 $m=1$ 、 $n=2$ ，再化简每个坐标：

D=\left(\frac{2(-1)+1(5)}{1+2},\; \frac{2(2)+1(8)}{1+2}\right)=\left(\frac{3}{3},\; \frac{12}{3}\right)=(1, 4)

(b) 现在求三角形 $ACD$ 的面积，顶点为 $A(-1, 2)$ 、 $C(4, 0)$ 与 $D(1, 4)$ 。套用由顶点求面积的公式：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|\,x_{A}(y_{C}-y_{D})+x_{C}(y_{D}-y_{A})+x_{D}(y_{A}-y_{C})\,\bigr|

代入三个点，在绝对值里化简：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|\,-1(0-4)+4(4-2)+1(2-0)\,\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|\,4+8+2\,\bigr|=7

答案

$D=(1, 4)$ ，三角形 $ACD$ 的面积是 $7$ 平方单位。用第二种方法检验，取从 $A$ 出发的边向量： $\vec{AC}=(5, -2)$ ， $\vec{AD}=(2, 2)$ ，于是面积为 $\tfrac{1}{2}\,|5\times2-(-2)\times2|=\tfrac{1}{2}\,|10+4|=7$ ，一致。

Q4[5 marks]

$PQRS$ 是一个菱形。两个相对的顶点为 $P(1, 1)$ 与 $R(7, 5)$ ，另一个顶点为 $Q(2, 6)$ 。

求 $S$ 的坐标，并证明对角线 $PR$ 与 $QS$ 互相垂直。

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菱形的对角线互相平分，所以 $PR$ 与 $QS$ 有共同的中点。先求 $PR$ 的中点：

M=\left(\frac{1+7}{2},\; \frac{1+5}{2}\right)=(4, 3)

设 $S=(x, y)$ 。由于同一点也必须是 $QS$ 的中点，而 $Q(2, 6)$ ，令 $QS$ 的中点等于 $(4, 3)$ ，再逐一求出坐标：

\frac{2+x}{2}=4 \;\text{且}\; \frac{6+y}{2}=3 \;\Rightarrow\; x=6,\ y=0

现在比较斜率，确认两条对角线互相垂直：

m_{PR}=\frac{5-1}{7-1}=\frac{2}{3}, \qquad m_{QS}=\frac{0-6}{6-2}=-\frac{3}{2}

答案

$S=(6, 0)$ ，而对角线互相垂直，因为 $m_{PR}\times m_{QS}=\tfrac{2}{3}\times\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-1$ 。进一步检验：四条边长都等于 $\sqrt{26}$ ，例如 $PQ=\sqrt{(2-1)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{26}$ ， $RS=\sqrt{(6-7)^{2}+(0-5)^{2}}=\sqrt{26}$ ，证实 $PQRS$ 确实是菱形。

Q5[4 marks]

点 $A(1, 2)$ 、 $B(3, k)$ 与 $C(5, 4)$ 是一个三角形的顶点，其面积为 $8$ 平方单位。求 $k$ 的两个可能值。

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把三个顶点代入面积公式，保留 $k$ 为未知数，先写出括号内的式子再化简：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|\,x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\,\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|\,1(k-4)+3(4-2)+5(2-k)\,\bigr|

展开并合并绝对值符号内的 $k$ 项：

\frac{1}{2}\bigl|\,k-4+6+10-5k\,\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|\,-4k+12\,\bigr|=\bigl|\,6-2k\,\bigr|

令这等于所给的面积 $8$ 。绝对值方程分成两种情况：

6-2k=8 \;\Rightarrow\; k=-1, \qquad\text{或}\qquad 6-2k=-8 \;\Rightarrow\; k=7

答案

$k=-1$ 或 $k=7$ 。两者都不等于 $3$ ，那是使 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 共线的值( $6-2k=0$ )，所以两个值都给出真正的三角形。

两个答案关于 $k=3$ 对称，各相差 $4$ ：固定 $A$ 与 $C$ 时， $B$ 在直线 $AC$ 两侧保持相同的垂直距离，面积自然相同。

Q6[5 marks]

连接 $A(0, 0)$ 与 $B(4, 2)$ 的线段的垂直平分线，与直线 $y=3x$ 相交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标，并验证 $Q$ 到 $A$ 与 $B$ 的距离相等。

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先求 $AB$ 的中点与斜率，这是垂直平分线所需要的：

M=\left(\frac{0+4}{2},\; \frac{0+2}{2}\right)=(2, 1), \qquad m_{AB}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}

垂直平分线经过 $M$ ，斜率为 $-2$ ，即 $m_{AB}$ 的负倒数：

y-1=-2(x-2) \;\Rightarrow\; y=-2x+5

把它与 $y=3x$ 联立求解，得出 $Q$ ：

3x=-2x+5 \;\Rightarrow\; 5x=5 \;\Rightarrow\; x=1,\ y=3

答案

$Q=(1, 3)$ 。检验距离可以确认： $QA=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$ ， $QB=\sqrt{(1-4)^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{10}$ ；由于 $QA=QB$ ， $Q$ 确实落在 $AB$ 的垂直平分线上。

Q7[4 marks]

求直线 $x+y=7$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=25$ 的交点坐标。

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把直线方程中的 $y$ 写成 $x$ 的表达式，再代入圆的方程：

y=7-x \;\Rightarrow\; x^{2}+(7-x)^{2}=25

展开并化简成关于 $x$ 的二次方程：

x^{2}+49-14x+x^{2}=25 \;\Rightarrow\; 2x^{2}-14x+24=0 \;\Rightarrow\; x^{2}-7x+12=0

分解因式并求出 $x$ ，再由 $y=7-x$ 求对应的 $y$ ：

(x-3)(x-4)=0 \;\Rightarrow\; x=3 \text{ 或 } x=4

答案

直线与圆的交点是 $(3, 4)$ 与 $(4, 3)$ 。两者都成立： $3^{2}+4^{2}=25$ ， $3+4=7$ 。

有两个交点是合理的，因为圆心 $(0,0)$ 到该直线的距离是 $\tfrac{7}{\sqrt{2}}\approx4.9$ ，小于半径 $5$ ，所以这条直线确实穿过圆。

Q8[6 marks]

求 (a) 从点 $A(6, 1)$ 到直线 $2x-y=1$ 的垂足 $N$ 的坐标，以及 (b) $A$ 到该直线的最短距离。

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(a) 直线 $2x-y=1$ ，即 $y=2x-1$ ，斜率为 $2$ ，所以从 $A$ 出发的垂线斜率为 $-\tfrac{1}{2}$ 。写出它经过 $A(6, 1)$ 的方程：

y-1=-\frac{1}{2}(x-6) \;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{2}x+4

把它与 $y=2x-1$ 联立求解，得出 $N$ ：

2x-1=-\frac{1}{2}x+4 \;\Rightarrow\; \frac{5}{2}x=5 \;\Rightarrow\; x=2,\ y=3

(b) $A$ 到该直线的最短距离就是 $AN$ 的长度：

AN=\sqrt{(6-2)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

答案

$N=(2, 3)$ ，最短距离为 $2\sqrt{5}$ 单位(约 $4.47$ )。用点到直线距离公式再检验一次：对于 $2x-y-1=0$ ， $A(6,1)$ 到它的距离为 $\dfrac{|2(6)-1-1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$ ，结果一致。

回头看这三题，共同的计划一目了然：先把条件写成符号，用平方去掉根号，不慌不忙地展开，最后用第二条路径检验。本章的困难题奖励的正是这份耐心，每一题其实都是一串简单步骤，被细心的代数串在一起。

关键方法要点

这三道例题把轨迹、分点与面积三样工具汇集成长卷偏爱的综合题。多做练习时，记住以下几点。

做轨迹题时，先说清距离条件（ $PA=PB$ 或 $PA=2\,PB$ ），再两边平方去掉根号，然后才展开。
距离相等的轨迹永远是直线，两定点的垂直平分线；除 $1:1$ 以外的任何定距离比，给出的是圆。
展开后，直线的 $x^{2}$ 与 $y^{2}$ 项相消，而圆的会保留； $x^{2}$ 与 $y^{2}$ 系数相等且无 $xy$ 项，就是圆的信号。
配方以读出圆的圆心与半径，并确认方程确实是一个圆。
在两小题的题目里，(a) 小题求得的点通常就是 (b) 小题的输入，原样带下去，不要四舍五入。
用从一个顶点出发的边向量独立检验面积： $\tfrac{1}{2}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$ 。

老师如何帮忙

困难题很少败在难的那一步；它们败在匆忙的展开，或三行之后丢掉的一个符号。在一对一的课堂上，我们的老师会在那些高风险的行上特意放慢，展开 $(x-5)^{2}$ ，或把整个括号乘以 $4$ ，并教你在往下走之前用一个快速检验发现错误答案。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是懂得试卷偏爱哪类综合题、又会替它们规划步骤的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

轨迹题里为什么要两边平方？

距离公式里含有根号，把 $PA=PB$ （或 $PA=2\,PB$ ）两边平方就能去掉它，让你用普通代数展开。由于距离永远非负，这里平方不会引入多余的假解。

在做完之前，怎么判断轨迹会是直线还是圆？

距离相等（比例 $1:1$ ）总给出直线，而其他任何定距离比都给出圆。在代数里，如果 $x^{2}$ 与 $y^{2}$ 项相消，你得到直线；如果它们以相等系数保留下来，你得到圆。

在比例

AD:DB=1:2

里，

D

更靠近

A

还是

B

？

更靠近 $A$ ，因为 $AD$ 是较短的那一份，三份里的一份。所以 $D$ 位于从 $A$ 到 $B$ 线段的三分之一处。

高分值的答案真的要检验两遍吗？

并非强制，但一个快速的独立检验，一个必然落在轨迹上的点，或用向量重算一次面积，是对付几分之题上符号错误最便宜的保险。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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