Geometri Koordinat Contoh Kerja (KBAT)

Q: Bagaimana saya tahu sama ada lokus akan menjadi garis atau bulatan sebelum selesai?

Syarat sama jarak (nisbah 1:11:11:1) sentiasa memberi garis lurus, dan sebarang nisbah jarak tetap yang lain memberi bulatan. Dalam algebra, jika sebutan x2x^{2}x2 dan y2y^{2}y2 terbatal anda ada garis; jika ia kekal dengan pekali sama anda ada bulatan.

Q: Dalam nisbah AD:DB=1:2, adakah D lebih hampir kepada A atau B?

Lebih hampir kepada AAA, kerana ADADAD ialah bahagian yang lebih pendek, satu bahagian daripada tiga. Jadi DDD berada satu pertiga perjalanan sepanjang tembereng dari AAA menuju BBB.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Geometri Koordinat sukar ini menggabungkan dua idea sekali gus, seperti soalan panjang dalam kertas peperiksaan. Dua yang pertama membina persamaan lokus, laluan suatu titik bergerak yang mematuhi peraturan tetap, satu ternyata garis lurus, dan satu lagi ternyata bulatan.

Yang ketiga menganyam titik pembahagi ke dalam pengiraan luas, jadi jawapan bahagian (a) terus menyuap bahagian (b). Tiada satu pun memerlukan pengiraan besar; ia memerlukan rancangan yang jelas dan algebra yang mantap.

Cuba setiap satu sepenuhnya di atas kertas dahulu, kembangkan setiap kurungan dengan teliti, dan pantau tanda anda sepanjang jalan, disiplin itulah yang menjadikan soalan sukar terurus, bukan menggerunkan.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana rancangannya kekal sama walaupun jawapan menjadi lebih kaya: namakan syarat, terjemahkannya kepada algebra, kembangkan dan permudahkan tanpa tergesa-gesa, kemudian sahkan hasil melalui laluan bebas.

Q1[4 marks]

Suatu titik $P(x, y)$ bergerak supaya ia sentiasa sama jarak dari titik $A(1, 2)$ dan $B(5, 4)$ . Cari persamaan lokus bagi $P$ .

Show worked solution

'Sama jarak' bermaksud $PA=PB$ . Menguasa duakan kedua-dua belah membuang punca dan mengekalkan algebra kemas, jadi mulakan dari $PA^{2}=PB^{2}$ menggunakan rumus jarak:

(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y-4)^{2}

Kembangkan setiap kurungan dengan teliti, kekalkan setiap sebutan kuasa dua:

x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=x^{2}-10x+25+y^{2}-8y+16

Sebutan $x^{2}$ dan $y^{2}$ muncul di kedua-dua belah, jadi ia terbatal. Kumpulkan yang tinggal:

-2x-4y+5=-10x-8y+41

Pindahkan setiap sebutan ke satu belah, permudahkan, kemudian bahagikan dengan faktor sepunya $4$ :

8x+4y-36=0 \;\Rightarrow\; 2x+y-9=0

Jawapan

Lokusnya ialah garis lurus $2x+y-9=0$ . Ia ialah pembahagi dua sama serenjang bagi $AB$ , satu semakan yang kemas: kecerunannya $-2$ , salingan negatif bagi $m_{AB}=\tfrac{4-2}{5-1}=\tfrac{1}{2}$ , dan ia melalui titik tengah $(3, 3)$ kerana $2(3)+3-9=0$ .

Q2[5 marks]

Suatu titik $P(x, y)$ bergerak supaya jaraknya dari $A(1, 0)$ sentiasa dua kali jaraknya dari $B(4, 0)$ . Cari persamaan lokus bagi $P$ , dan nyatakan jenis lengkung yang diwakilinya.

Show worked solution

Syaratnya ialah $PA=2\,PB$ . Menguasa duakan kedua-dua belah memberi $PA^{2}=4\,PB^{2}$ , yang membuang punca.

Tulis setiap jarak kuasa dua dengan rumus jarak:

(x-1)^{2}+y^{2}=4\bigl[(x-4)^{2}+y^{2}\bigr]

Kembangkan kedua-dua belah, ingat untuk mendarab segala-galanya di dalam kurungan di sebelah kanan dengan $4$ :

x^{2}-2x+1+y^{2}=4x^{2}-32x+64+4y^{2}

Bawa setiap sebutan ke satu belah. Mengumpul sebutan serupa memberi:

0=3x^{2}+3y^{2}-30x+63

Bahagikan dengan $3$ supaya sebutan kuasa dua berpekali $1$ :

x^{2}+y^{2}-10x+21=0

Jawapan

Lokusnya ialah $x^{2}+y^{2}-10x+21=0$ . Oleh sebab pekali $x^{2}$ dan $y^{2}$ sama dan tiada sebutan $xy$ , ia ialah bulatan; melengkapkan kuasa dua memberi $(x-5)^{2}+y^{2}=4$ , bulatan berpusat $(5, 0)$ dan berjejari $2$ .

Semak pada paksi- $x$ : $x=3$ memberi $PA=2$ , $PB=1$ ; $x=7$ memberi $PA=6$ , $PB=3$ ; kedua-duanya memenuhi $PA=2\,PB$ .

Q3[5 marks]

Suatu segi tiga mempunyai bucu $A(-1, 2)$ , $B(5, 8)$ dan $C(4, 0)$ . Titik $D$ terletak pada $AB$ dengan $AD:DB=1:2$ .

Cari (a) koordinat $D$ , dan (b) luas segi tiga $ACD$ .

Show worked solution

(a) Gunakan rumus titik pembahagi bagi titik yang membahagi $A(x_{1}, y_{1})$ dan $B(x_{2}, y_{2})$ dalam nisbah $m:n$ , dengan $m=1$ (bahagian $AD$ ) dan $n=2$ (bahagian $DB$ ):

D=\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\; \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)

Gantikan $A(-1, 2)$ , $B(5, 8)$ , $m=1$ dan $n=2$ , kemudian permudahkan setiap koordinat:

D=\left(\frac{2(-1)+1(5)}{1+2},\; \frac{2(2)+1(8)}{1+2}\right)=\left(\frac{3}{3},\; \frac{12}{3}\right)=(1, 4)

(b) Kini cari luas segi tiga $ACD$ dengan bucu $A(-1, 2)$ , $C(4, 0)$ dan $D(1, 4)$ . Gunakan rumus luas daripada bucu:

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|\,x_{A}(y_{C}-y_{D})+x_{C}(y_{D}-y_{A})+x_{D}(y_{A}-y_{C})\,\bigr|

Gantikan ketiga-tiga titik dan permudahkan dalam modulus:

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|\,-1(0-4)+4(4-2)+1(2-0)\,\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|\,4+8+2\,\bigr|=7

Jawapan

$D=(1, 4)$ dan luas segi tiga $ACD$ ialah $7$ unit persegi. Semak luas melalui cara kedua dengan vektor tepi dari $A$ : $\vec{AC}=(5, -2)$ dan $\vec{AD}=(2, 2)$ , jadi luasnya ialah $\tfrac{1}{2}\,|5\times2-(-2)\times2|=\tfrac{1}{2}\,|10+4|=7$ , yang sepadan.

Q4[5 marks]

$PQRS$ ialah rombus. Dua bucu bertentangan ialah $P(1, 1)$ dan $R(7, 5)$ , dan satu lagi bucu ialah $Q(2, 6)$ .

Cari koordinat $S$ , dan tunjukkan bahawa pepenjuru $PR$ dan $QS$ berserenjang.

Show worked solution

Dalam rombus, pepenjuru saling membahagi dua sama, jadi $PR$ dan $QS$ berkongsi titik tengah yang sama. Cari titik tengah $PR$ dahulu:

M=\left(\frac{1+7}{2},\; \frac{1+5}{2}\right)=(4, 3)

Biar $S=(x, y)$ . Oleh sebab titik yang sama itu juga mesti menjadi titik tengah $QS$ , dengan $Q(2, 6)$ , samakan titik tengah $QS$ dengan $(4, 3)$ dan selesaikan setiap koordinat:

\frac{2+x}{2}=4 \;\text{dan}\; \frac{6+y}{2}=3 \;\Rightarrow\; x=6,\ y=0

Kini sahkan pepenjuru bertemu pada sudut tepat dengan membandingkan kecerunannya:

m_{PR}=\frac{5-1}{7-1}=\frac{2}{3}, \qquad m_{QS}=\frac{0-6}{6-2}=-\frac{3}{2}

Jawapan

$S=(6, 0)$ , dan pepenjuru berserenjang kerana $m_{PR}\times m_{QS}=\tfrac{2}{3}\times\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-1$ . Sebagai semakan lanjut, keempat-empat sisi sama panjang $\sqrt{26}$ : $PQ=\sqrt{(2-1)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{26}$ dan $RS=\sqrt{(6-7)^{2}+(0-5)^{2}}=\sqrt{26}$ , mengesahkan $PQRS$ benar-benar rombus.

Q5[4 marks]

Titik $A(1, 2)$ , $B(3, k)$ dan $C(5, 4)$ ialah bucu segi tiga yang mempunyai luas $8$ unit persegi. Cari dua nilai $k$ yang mungkin.

Show worked solution

Gantikan ketiga-tiga bucu ke dalam rumus luas, kekalkan $k$ sebagai anu, dan tuliskan kurungan sebelum memudahkan:

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|\,x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\,\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|\,1(k-4)+3(4-2)+5(2-k)\,\bigr|

Kembangkan dan kumpulkan sebutan $k$ di dalam modulus:

\frac{1}{2}\bigl|\,k-4+6+10-5k\,\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|\,-4k+12\,\bigr|=\bigl|\,6-2k\,\bigr|

Samakan ini dengan luas yang diberi, iaitu $8$ . Persamaan modulus terbahagi kepada dua kes:

6-2k=8 \;\Rightarrow\; k=-1, \qquad\text{atau}\qquad 6-2k=-8 \;\Rightarrow\; k=7

Jawapan

$k=-1$ atau $k=7$ . Tiada satu pun bersamaan $3$ , nilai yang menjadikan $A$ , $B$ , $C$ segaris ( $6-2k=0$ ), jadi kedua-duanya memberi segi tiga sebenar.

Kedua-dua jawapan terletak simetri $4$ unit pada setiap belah $k=3$ : dengan $A$ dan $C$ tetap, $B$ boleh berada pada jarak serenjang yang sama dari garis $AC$ di kedua-dua belah dan masih mengelilingi luas yang sama.

Q6[5 marks]

Pembahagi dua sama serenjang bagi tembereng garis yang menyambung $A(0, 0)$ dan $B(4, 2)$ bertemu garis $y=3x$ pada titik $Q$ . Cari koordinat $Q$ , dan sahkan bahawa $Q$ sama jarak dari $A$ dan $B$ .

Show worked solution

Cari dahulu titik tengah $AB$ dan kecerunan $AB$ , yang diperlukan oleh pembahagi dua sama serenjang:

M=\left(\frac{0+4}{2},\; \frac{0+2}{2}\right)=(2, 1), \qquad m_{AB}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}

Pembahagi dua sama serenjang melalui $M$ dengan kecerunan $-2$ , salingan negatif bagi $m_{AB}$ :

y-1=-2(x-2) \;\Rightarrow\; y=-2x+5

Selesaikan ini serentak dengan $y=3x$ untuk mencari $Q$ :

3x=-2x+5 \;\Rightarrow\; 5x=5 \;\Rightarrow\; x=1,\ y=3

Jawapan

$Q=(1, 3)$ . Menyemak jarak mengesahkannya: $QA=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$ dan $QB=\sqrt{(1-4)^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{10}$ ; oleh sebab $QA=QB$ , $Q$ benar-benar terletak pada pembahagi dua sama serenjang bagi $AB$ .

Q7[4 marks]

Cari koordinat titik-titik persilangan garis lurus $x+y=7$ dengan bulatan $x^{2}+y^{2}=25$ .

Show worked solution

Jadikan $y$ subjek bagi garis itu dan gantikan ke dalam persamaan bulatan:

y=7-x \;\Rightarrow\; x^{2}+(7-x)^{2}=25

Kembangkan dan permudahkan kepada persamaan kuadratik dalam $x$ :

x^{2}+49-14x+x^{2}=25 \;\Rightarrow\; 2x^{2}-14x+24=0 \;\Rightarrow\; x^{2}-7x+12=0

Faktorkan dan selesaikan bagi $x$ , kemudian cari $y$ sepadan daripada $y=7-x$ :

(x-3)(x-4)=0 \;\Rightarrow\; x=3 \text{ atau } x=4

Jawapan

Garis itu bertemu bulatan pada $(3, 4)$ dan $(4, 3)$ . Kedua-duanya sah: $3^{2}+4^{2}=25$ dan $3+4=7$ .

Masuk akal ada dua titik, kerana pusat $(0,0)$ berjarak $\tfrac{7}{\sqrt{2}}\approx4.9$ dari garis, iaitu kurang daripada jejari $5$ , jadi garis itu memotong terus bulatan.

Q8[6 marks]

Cari (a) koordinat kaki serenjang, $N$ , dari titik $A(6, 1)$ ke garis $2x-y=1$ , dan (b) jarak terpendek dari $A$ ke garis itu.

Show worked solution

(a) Garis $2x-y=1$ , atau $y=2x-1$ , berkecerunan $2$ , jadi serenjang dari $A$ berkecerunan $-\tfrac{1}{2}$ . Tuliskan persamaannya melalui $A(6, 1)$ :

y-1=-\frac{1}{2}(x-6) \;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{2}x+4

Selesaikan ini serentak dengan $y=2x-1$ untuk mencari $N$ :

2x-1=-\frac{1}{2}x+4 \;\Rightarrow\; \frac{5}{2}x=5 \;\Rightarrow\; x=2,\ y=3

(b) Jarak terpendek dari $A$ ke garis itu ialah panjang $AN$ :

AN=\sqrt{(6-2)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

Jawapan

$N=(2, 3)$ dan jarak terpendek ialah $2\sqrt{5}$ unit (lebih kurang $4.47$ ). Semak dengan laluan jarak-serenjang: bagi $2x-y-1=0$ , jarak dari $A(6,1)$ ialah $\dfrac{|2(6)-1-1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$ , yang sepadan.

Lihat semula ketiga-tiganya dan rancangan sepunya menonjol: masukkan syarat ke dalam simbol dahulu, buang punca dengan kuasa dua, kembangkan tanpa tergesa-gesa, dan akhiri dengan semakan melalui laluan kedua. Soalan sukar dalam bab ini memberi ganjaran kepada kesabaran itu, setiap satu sebenarnya urutan pendek langkah-langkah mudah yang diikat oleh algebra yang teliti.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menghimpunkan alat lokus, pembahagi dan luas kepada jenis soalan gabungan yang digemari kertas panjang. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Untuk lokus, namakan syarat jarak dahulu ( $PA=PB$ , atau $PA=2\,PB$ ), kemudian kuasa duakan kedua-dua belah untuk membuang punca sebelum mengembang.
Lokus sama jarak sentiasa garis lurus, pembahagi dua sama serenjang bagi dua titik tetap; nisbah jarak tetap selain $1:1$ memberi bulatan.
Selepas mengembang, sebutan $x^{2}$ dan $y^{2}$ terbatal bagi garis tetapi kekal bagi bulatan; pekali $x^{2}$ dan $y^{2}$ yang sama tanpa sebutan $xy$ menandakan bulatan.
Lengkapkan kuasa dua untuk membaca pusat dan jejari bulatan, dan untuk mengesahkan persamaan itu bulatan sebenar.
Dalam soalan dua bahagian, titik yang anda cari dalam bahagian (a) biasanya input kepada bahagian (b), bawa ke hadapan dengan tepat, tanpa membundarkan.
Sahkan luas secara bebas dengan vektor tepi dari satu bucu: $\tfrac{1}{2}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$ .

Bagaimana guru membantu

Soalan sukar jarang gagal pada langkah yang sukar; ia gagal pada pengembangan yang tergesa-gesa atau tanda yang hilang tiga baris kemudian. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memperlahankan tepat baris-baris berisiko itu, mengembang $(x-5)^{2}$ , atau mendarab keseluruhan kurungan dengan $4$ , dan menunjukkan cara mengesan jawapan salah dengan semakan cepat sebelum anda meneruskan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang tahu soalan gabungan mana digemari kertas dan cara merancangnya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa saya kuasa duakan kedua-dua belah dalam soalan lokus?

Rumus jarak mengandungi punca kuasa dua, dan menguasa duakan $PA=PB$ (atau $PA=2\,PB$ ) membuangnya supaya anda boleh mengembang dengan algebra biasa. Oleh sebab jarak tidak pernah negatif, menguasa duakan di sini tidak memperkenalkan penyelesaian palsu.

Bagaimana saya tahu sama ada lokus akan menjadi garis atau bulatan sebelum selesai?

Syarat sama jarak (nisbah $1:1$ ) sentiasa memberi garis lurus, dan sebarang nisbah jarak tetap yang lain memberi bulatan. Dalam algebra, jika sebutan $x^{2}$ dan $y^{2}$ terbatal anda ada garis; jika ia kekal dengan pekali sama anda ada bulatan.

Dalam nisbah

AD:DB=1:2

, adakah

D

lebih hampir kepada

A

atau

B

Lebih hampir kepada $A$ , kerana $AD$ ialah bahagian yang lebih pendek, satu bahagian daripada tiga. Jadi $D$ berada satu pertiga perjalanan sepanjang tembereng dari $A$ menuju $B$ .

Adakah saya benar-benar perlu menyemak jawapan markah tinggi dua kali?

Ia tidak diwajibkan, tetapi semakan bebas yang cepat, satu titik yang mesti terletak pada lokus, atau luas dikira semula dengan vektor, ialah insurans termurah terhadap kesilapan tanda pada soalan yang bernilai beberapa markah.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Geometri Koordinat, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?