坐标几何例题（简单）| SPM Add Math

Q: 在距离公式里，先减哪个点重要吗？

不重要。两个差都被平方，所以 (x2−x1)2(x_{2}-x_{1})^{2}(x2−x1)2 等于 (x1−x2)2(x_{1}-x_{2})^{2}(x1−x2)2。哪种顺序都给出同一个正的距离，只要在一次计算里保持一致即可。

Q: 中点和分点有什么区别？

中点是比例为 1:11:11:1 的特例，正好落在正中间。一般的分点可以落在线段上任何位置，更靠近比例中较大那一份所在的一端。

Q: 在 y-y_{1}=m(x-x_{1}) 里该用哪个点？

线上任一点都行。不论选哪个，最终方程 y=mx+cy=mx+cy=mx+c 都一样，因为两点都满足它，选坐标更整齐的那个只是让算术更轻松。

Q: 在比例 AP:PB=3:1 里，哪个数乘哪个点？

公式把权重交叉：3（APAPAP 那一份）乘 BBB，1（PBPBPB 那一份）乘 AAA。这把 PPP 放得更靠近 BBB，正合 APAPAP 是较长那一段之意。

这些例题涵盖什么

这组简单的坐标几何例题帮你打好整章几乎每道题都要用到的日常动作：量出两点之间的距离、找出线段的中点、把斜率化为直线方程，以及求出按给定比例分割线段的分点。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

最好的用法是先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步；那一行往往正是真正学到东西的地方。

把这几个点随手画一张不必按比例的草图，就能把正负号牢牢管住。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，仔细代入、保留每一个括号、一步一步化简，如何贯穿距离、中点、直线方程与分点这四类题。

Q1[2 marks]

求两点 $A(1, 2)$ 与 $B(4, 6)$ 之间的距离。

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距离用两点之间的水平差与竖直差，再借助勾股定理合成。代入坐标，把每一次相减都放进括号里：

AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}

先算出每个括号，平方，再把两个平方相加，最后开方：

AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

答案

距离 $AB=5$ 单位。由于每个差都被平方，先减哪个点都无所谓， $(1-4)^{2}$ 与 $(4-1)^{2}$ 同样得 $9$ 。

Q2[2 marks]

点 $P(-3, 5)$ 与 $Q(7, 1)$ 是一条线段的两端。求线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的坐标。

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中点是两个 $x$ 坐标的平均与两个 $y$ 坐标的平均。仔细代入，保留 $-3$ 上的负号：

M=\left(\frac{-3+7}{2},\; \frac{5+1}{2}\right)

分别化简每一个坐标：

M=\left(\frac{4}{2},\; \frac{6}{2}\right)=(2, 3)

答案

中点是 $M(2, 3)$ 。快速检验： $2$ 位于 $-3$ 与 $7$ 的正中间， $3$ 位于 $5$ 与 $1$ 的正中间，正合中点之意。

Q3[4 marks]

一条直线经过点 $A(-1, 1)$ 与 $B(3, 9)$ 。求 (a) 直线的斜率，(b) 直线方程，写成 $y=mx+c$ 的形式。

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(a) 斜率是 $y$ 的变化除以 $x$ 的变化。上下两处按同一顺序相减：

m=\frac{9-1}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2

(b) 用点斜式 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，取 $m=2$ 与点 $A(-1, 1)$ ：

y-1=2\bigl(x-(-1)\bigr)=2(x+1)

展开括号，把 $y$ 解出来：

y-1=2x+2 \;\Rightarrow\; y=2x+3

答案

斜率是 $2$ ，直线是 $y=2x+3$ 。用 $B(3, 9)$ 检验： $2(3)+3=9$ ，一致，所以这条线确实经过两点。

Q4[3 marks]

点 $P$ 把连接 $A(1, 2)$ 与 $B(9, 10)$ 的线段按比例 $AP:PB=3:1$ 分割。求 $P$ 的坐标。

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对于把 $A(x_{1}, y_{1})$ 与 $B(x_{2}, y_{2})$ 按比例 $m:n$ 分割的点，用分点公式。权重是交叉的，所以 $m$ 乘远端点 $B$ 。

这里 $m=3$ ， $n=1$ ：

P=\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\; \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)

代入 $A(1, 2)$ 、 $B(9, 10)$ 、 $m=3$ 、 $n=1$ ，再化简每个坐标：

P=\left(\frac{1(1)+3(9)}{3+1},\; \frac{1(2)+3(10)}{3+1}\right)=\left(\frac{28}{4},\; \frac{32}{4}\right)=(7, 8)

答案

该点是 $P(7, 8)$ 。沿线段走一遍检验：从 $A$ 到 $B$ 的位移是 $(8, 8)$ ，而 $AP:PB=3:1$ 把 $P$ 放在四分之三处，即 $A+\tfrac{3}{4}(8, 8)=(1+6,\; 2+6)=(7, 8)$ 。

Q5[2 marks]

一条直线的方程是 $3x+4y-12=0$ 。求 (a) 这条直线的斜率，(b) 它的 $y$ 轴截距。

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把方程整理成斜率式 $y=mx+c$ ，即把 $y$ 解出来。先把含 $x$ 的项和常数项移到等号另一边：

4y=-3x+12

把每一项除以 $y$ 的系数 $4$ ，让 $y$ 单独留在左边：

y=-\frac{3}{4}x+3

答案

斜率是 $-\frac{3}{4}$ ， $y$ 轴截距是 $3$ 。检验：在原方程中令 $x=0$ ，得 $4y-12=0$ ，即 $y=3$ ，一致。

Q6[3 marks]

直线 $L_{1}$ 的方程是 $y=2x-1$ 。直线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 平行，并且经过点 $(3, 4)$ 。

求 $L_{2}$ 的方程。

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平行的直线斜率必定相同，所以 $L_{2}$ 的斜率也是 $2$ 。用点斜式 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，取 $m=2$ 与点 $(3, 4)$ ：

y-4=2(x-3)

展开括号，把 $y$ 解出来：

y-4=2x-6 \;\Rightarrow\; y=2x-2

答案

直线 $L_{2}$ 是 $y=2x-2$ 。检验：当 $x=3$ 时， $y=2(3)-2=4$ ，与所给的点一致；斜率 $2$ 与 $L_{1}$ 相同，所以两线确实平行。

Q7[3 marks]

直线 $L_{1}$ 的方程是 $y=\frac{1}{2}x+3$ 。直线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 垂直，并且经过点 $(4, 1)$ 。

求 $L_{2}$ 的方程。

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对于两条垂直的直线，斜率的乘积等于 $-1$ 。 $L_{1}$ 的斜率是 $\frac{1}{2}$ ，由此求出 $L_{2}$ 的斜率：

\frac{1}{2}\times m_{2}=-1 \;\Rightarrow\; m_{2}=-2

用点斜式，取 $m_{2}=-2$ 与点 $(4, 1)$ ，再把 $y$ 解出来：

y-1=-2(x-4) \;\Rightarrow\; y=-2x+9

答案

直线 $L_{2}$ 是 $y=-2x+9$ 。检验：当 $x=4$ 时， $y=-2(4)+9=1$ ，与所给的点一致； $\frac{1}{2}\times(-2)=-1$ 确认两线垂直。

Q8[3 marks]

求以 $A(1, 1)$ 、 $B(5, 1)$ 与 $C(1, 4)$ 为顶点的三角形的面积。

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以 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 与 $(x_{3}, y_{3})$ 为顶点的三角形，其面积为：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\bigr|

代入 $A(1, 1)$ 、 $B(5, 1)$ 与 $C(1, 4)$ ，让每个括号分开计算：

\text{面积}=\frac{1}{2}\bigl|1(1-4)+5(4-1)+1(1-1)\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|-3+15+0\bigr|=\frac{1}{2}(12)=6

答案

面积是 $6$ 平方单位。意义检验： $AB$ 是长度为 $4$ 的水平边， $AC$ 是长度为 $3$ 的竖直边，两边在 $A$ 点垂直相交，所以面积也等于 $\frac{1}{2}\times4\times3=6$ 。

留意这四道题表面上多么不同，底下的纪律却多么一致：读清楚到底问什么，一次代入一个值并让每个括号各就各位，先化简再去四舍五入或判断答案。正是这份稳定，把坐标几何变成一整块可靠的分数，而不是小失误的温床。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每道 Add Math 坐标几何题都要用到的工具。多做练习时，记住以下几点。

两点距离来自毕氏定理： $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ ；平方使相减的顺序无关紧要。
中点是坐标的平均： $M=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\; \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ 。
斜率是 $y$ 的变化比 $x$ 的变化；上下两处按同一顺序相减。
用 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ 把斜率与一个点化为直线，再把 $y$ 解出来。
按比例 $m:n$ 的分点用 $\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\; \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)$ ，权重交叉，所以 $m$ 乘第二个点。
一张不按比例的草图能在丢分之前抓住大多数符号错误；又因为采用分析式评分，即使最后算术出错，一行清楚的代入仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，几乎总是一个可以纠正的小习惯，负坐标漏了括号，或者上下两处相减的顺序不一致。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每条公式「为什么这样构造」的人，而不只是「怎么用」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

在距离公式里，先减哪个点重要吗？

不重要。两个差都被平方，所以 $(x_{2}-x_{1})^{2}$ 等于 $(x_{1}-x_{2})^{2}$ 。

哪种顺序都给出同一个正的距离，只要在一次计算里保持一致即可。

中点和分点有什么区别？

中点是比例为 $1:1$ 的特例，正好落在正中间。一般的分点可以落在线段上任何位置，更靠近比例中较大那一份所在的一端。

在

y-y_{1}=m(x-x_{1})

里该用哪个点？

线上任一点都行。不论选哪个，最终方程 $y=mx+c$ 都一样，因为两点都满足它，选坐标更整齐的那个只是让算术更轻松。

在比例

AP:PB=3:1

里，哪个数乘哪个点？

公式把权重交叉：3（ $AP$ 那一份）乘 $B$ ，1（ $PB$ 那一份）乘 $A$ 。这把 $P$ 放得更靠近 $B$ ，正合 $AP$ 是较长那一段之意。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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