Geometri Koordinat Contoh Kerja (Mudah)

Q: Adakah penting titik mana saya tolak dahulu dalam rumus jarak?

Tidak. Kedua-dua beza dikuasa duakan, jadi (x2−x1)2(x_{2}-x_{1})^{2}(x2−x1)2 sama dengan (x1−x2)2(x_{1}-x_{2})^{2}(x1−x2)2. Mana-mana susunan memberi jarak positif yang sama, cuma kekal konsisten dalam satu pengiraan.

Q: Apakah beza titik tengah dengan titik pembahagi?

Titik tengah ialah kes khas apabila nisbahnya 1:11:11:1, jadi ia berada tepat di tengah. Titik pembahagi umum boleh berada di mana-mana pada tembereng, lebih hampir kepada hujung yang membawa bahagian nisbah yang lebih besar.

Q: Dalam nisbah AP:PB=3:1, nombor mana mendarab titik mana?

Rumus menyilangkan pemberat: 3 (bahagian APAPAP) mendarab BBB, dan 1 (bahagian PBPBPB) mendarab AAA. Itu meletakkan PPP lebih hampir kepada BBB, sepadan dengan APAPAP sebagai bahagian yang lebih panjang.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Geometri Koordinat mudah ini membina gerak harian yang membuka hampir setiap soalan dalam bab: mengukur jarak antara dua titik, mencari titik tengah suatu tembereng, menukar kecerunan kepada persamaan garis lurus, dan mencari titik yang membahagi tembereng dalam nisbah tertentu. Setiap satu menggunakan nombor kecil dan kemas, supaya anda dapat mengikuti setiap baris tanpa terganggu oleh kalkulator.

Gunakan set ini dengan jujur, tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris dengan kerja kami. Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah; baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Lakaran ringkas titik-titik itu, tanpa mengikut skala tertentu, membantu mengawal tanda positif dan negatif.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana disiplin yang sama, gantikan dengan teliti, kekalkan setiap kurungan, permudahkan selangkah demi selangkah, mengalir dalam jarak, titik tengah, persamaan garis dan titik pembahagi.

Q1[2 marks]

Cari jarak antara titik $A(1, 2)$ dan $B(4, 6)$ .

Show worked solution

Jarak menggunakan sela mendatar dan sela menegak antara dua titik, digabungkan melalui teorem Pythagoras. Gantikan koordinat, kekalkan setiap penolakan dalam kurungan:

AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}

Kira setiap kurungan, kuasa duakan, kemudian tambah kedua-dua kuasa dua sebelum mengambil punca:

AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Jawapan

Jarak $AB=5$ unit. Oleh sebab setiap sela dikuasa duakan, tidak penting titik mana ditolak dahulu, $(1-4)^{2}$ memberi $9$ yang sama seperti $(4-1)^{2}$ .

Q2[2 marks]

Titik $P(-3, 5)$ dan $Q(7, 1)$ ialah hujung suatu tembereng garis. Cari koordinat titik tengah $M$ bagi $PQ$ .

Show worked solution

Titik tengah ialah purata dua koordinat $x$ dan purata dua koordinat $y$ . Gantikan dengan teliti, kekalkan tanda negatif pada $-3$ :

M=\left(\frac{-3+7}{2},\; \frac{5+1}{2}\right)

Permudahkan setiap koordinat secara berasingan:

M=\left(\frac{4}{2},\; \frac{6}{2}\right)=(2, 3)

Jawapan

Titik tengah ialah $M(2, 3)$ . Semakan cepat: $2$ berada di tengah-tengah antara $-3$ dan $7$ , dan $3$ berada di tengah-tengah antara $5$ dan $1$ , tepat seperti yang sepatutnya bagi titik tengah.

Q3[4 marks]

Suatu garis lurus melalui titik $A(-1, 1)$ dan $B(3, 9)$ . Cari (a) kecerunan garis itu, dan (b) persamaan garis itu dalam bentuk $y=mx+c$ .

Show worked solution

(a) Kecerunan ialah perubahan $y$ dibahagi perubahan $x$ . Tolak dua titik dalam susunan yang sama di atas dan di bawah:

m=\frac{9-1}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2

(b) Gunakan bentuk titik–kecerunan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ dengan $m=2$ dan titik $A(-1, 1)$ :

y-1=2\bigl(x-(-1)\bigr)=2(x+1)

Kembangkan kurungan dan jadikan $y$ sebagai perkara rumus:

y-1=2x+2 \;\Rightarrow\; y=2x+3

Jawapan

Kecerunannya ialah $2$ dan garisnya ialah $y=2x+3$ . Semak dengan $B(3, 9)$ : $2(3)+3=9$ , yang sepadan, jadi garis itu memang melalui kedua-dua titik.

Q4[3 marks]

Titik $P$ membahagi tembereng garis yang menyambung $A(1, 2)$ dan $B(9, 10)$ dalam nisbah $AP:PB=3:1$ . Cari koordinat $P$ .

Show worked solution

Bagi titik yang membahagi $A(x_{1}, y_{1})$ dan $B(x_{2}, y_{2})$ dalam nisbah $m:n$ , gunakan rumus titik pembahagi. Pemberat bersilang, jadi $m$ mendarab titik jauh $B$ .

Di sini $m=3$ dan $n=1$ :

P=\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\; \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)

Gantikan $A(1, 2)$ , $B(9, 10)$ , $m=3$ dan $n=1$ , kemudian permudahkan setiap koordinat:

P=\left(\frac{1(1)+3(9)}{3+1},\; \frac{1(2)+3(10)}{3+1}\right)=\left(\frac{28}{4},\; \frac{32}{4}\right)=(7, 8)

Jawapan

Titiknya ialah $P(7, 8)$ . Semak dengan melangkah sepanjang tembereng: dari $A$ ke $B$ langkahnya ialah $(8, 8)$ , dan $AP:PB=3:1$ meletakkan $P$ tiga suku perjalanan, pada $A+\tfrac{3}{4}(8, 8)=(1+6,\; 2+6)=(7, 8)$ .

Q5[2 marks]

Suatu garis lurus mempunyai persamaan $3x+4y-12=0$ . Cari (a) kecerunan garis itu, dan (b) pintasan- $y$ garis itu.

Show worked solution

Susun semula persamaan itu ke bentuk kecerunan $y=mx+c$ dengan menjadikan $y$ sebagai perkara rumus. Pindahkan sebutan $x$ dan pemalar ke sebelah lagi dahulu:

4y=-3x+12

Bahagikan setiap sebutan dengan $4$ , pekali $y$ , supaya $y$ berdiri sendiri:

y=-\frac{3}{4}x+3

Jawapan

Kecerunannya ialah $-\frac{3}{4}$ dan pintasan- $y$ ialah $3$ . Semak dengan menetapkan $x=0$ dalam persamaan asal: $4y-12=0$ memberi $y=3$ , yang sepadan.

Q6[3 marks]

Garis $L_{1}$ mempunyai persamaan $y=2x-1$ . Garis $L_{2}$ selari dengan $L_{1}$ dan melalui titik $(3, 4)$ .

Cari persamaan $L_{2}$ .

Show worked solution

Garis selari sentiasa mempunyai kecerunan yang sama, jadi $L_{2}$ juga mempunyai kecerunan $2$ . Gunakan bentuk titik–kecerunan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ dengan $m=2$ dan titik $(3, 4)$ :

y-4=2(x-3)

Kembangkan kurungan dan jadikan $y$ sebagai perkara rumus:

y-4=2x-6 \;\Rightarrow\; y=2x-2

Jawapan

Garis $L_{2}$ ialah $y=2x-2$ . Semak: pada $x=3$ , $y=2(3)-2=4$ , sepadan dengan titik yang diberi, dan kecerunan $2$ sama seperti $L_{1}$ , jadi kedua-dua garis memang selari.

Q7[3 marks]

Garis $L_{1}$ mempunyai persamaan $y=\frac{1}{2}x+3$ . Garis $L_{2}$ berserenjang dengan $L_{1}$ dan melalui titik $(4, 1)$ .

Cari persamaan $L_{2}$ .

Show worked solution

Bagi garis berserenjang, hasil darab kecerunan ialah $-1$ . Kecerunan $L_{1}$ ialah $\frac{1}{2}$ , jadi selesaikan bagi kecerunan $L_{2}$ :

\frac{1}{2}\times m_{2}=-1 \;\Rightarrow\; m_{2}=-2

Gunakan bentuk titik–kecerunan dengan $m_{2}=-2$ dan titik $(4, 1)$ , kemudian jadikan $y$ sebagai perkara rumus:

y-1=-2(x-4) \;\Rightarrow\; y=-2x+9

Jawapan

Garis $L_{2}$ ialah $y=-2x+9$ . Semak: pada $x=4$ , $y=-2(4)+9=1$ , sepadan dengan titik yang diberi, dan $\frac{1}{2}\times(-2)=-1$ mengesahkan kedua-dua garis berserenjang.

Q8[3 marks]

Cari luas segi tiga dengan bucu $A(1, 1)$ , $B(5, 1)$ dan $C(1, 4)$ .

Show worked solution

Luas segi tiga dengan bucu $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ dan $(x_{3}, y_{3})$ diberi oleh:

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\bigr|

Gantikan $A(1, 1)$ , $B(5, 1)$ dan $C(1, 4)$ , kekalkan setiap kurungan berasingan:

\text{Luas}=\frac{1}{2}\bigl|1(1-4)+5(4-1)+1(1-1)\bigr|=\frac{1}{2}\bigl|-3+15+0\bigr|=\frac{1}{2}(12)=6

Jawapan

Luasnya ialah $6$ unit persegi. Semakan makna: $AB$ ialah sisi mendatar dengan panjang $4$ dan $AC$ ialah sisi menegak dengan panjang $3$ , bertemu pada sudut tegak di $A$ , jadi luasnya juga $\frac{1}{2}\times4\times3=6$ .

Perhatikan betapa berbezanya keempat-empat soalan ini pada permukaan, namun betapa serupanya disiplin di sebaliknya: baca tepat apa yang diminta, gantikan satu nilai pada satu masa dengan setiap kurungan di tempatnya, dan permudahkan sebelum anda membundarkan atau menilai jawapan. Kestabilan itulah yang menukar Geometri Koordinat menjadi blok markah yang boleh dipercayai, bukan tempat kesilapan kecil.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih alat yang membuka hampir setiap soalan Geometri Koordinat dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Jarak antara dua titik datang daripada Pythagoras: $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ ; kuasa dua menjadikan susunan penolakan tidak penting.
Titik tengah ialah purata koordinat: $M=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\; \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ .
Kecerunan ialah perubahan $y$ atas perubahan $x$ ; tolak dua titik dalam susunan yang sama di atas dan di bawah.
Tukar kecerunan dan satu titik kepada garis dengan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ , kemudian jadikan $y$ perkara rumus.
Titik pembahagi dalam nisbah $m:n$ menggunakan $\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\; \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)$ , pemberat bersilang, jadi $m$ mendarab titik kedua.
Lakaran ringkas, tanpa mengikut skala tertentu, menangkap kebanyakan kesilapan tanda sebelum ia meragut markah; dan kerana pemarkahan bersifat analitik, satu baris penggantian yang jelas masih memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah pada soalan seperti ini, ia hampir selalu satu tabiat kecil yang boleh dibetulkan, kurungan yang tertinggal pada koordinat negatif, atau dua titik ditolak dalam susunan berbeza di atas dan di bawah. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan mengapa setiap rumus dibina begitu, bukan hanya cara menggunakannya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Adakah penting titik mana saya tolak dahulu dalam rumus jarak?

Tidak. Kedua-dua beza dikuasa duakan, jadi $(x_{2}-x_{1})^{2}$ sama dengan $(x_{1}-x_{2})^{2}$ .

Mana-mana susunan memberi jarak positif yang sama, cuma kekal konsisten dalam satu pengiraan.

Apakah beza titik tengah dengan titik pembahagi?

Titik tengah ialah kes khas apabila nisbahnya $1:1$ , jadi ia berada tepat di tengah. Titik pembahagi umum boleh berada di mana-mana pada tembereng, lebih hampir kepada hujung yang membawa bahagian nisbah yang lebih besar.

Titik mana patut saya guna dalam

y-y_{1}=m(x-x_{1})

Mana-mana titik pada garis boleh digunakan. Persamaan akhir $y=mx+c$ adalah sama walau mana yang dipilih, kerana kedua-dua titik memenuhinya, memilih koordinat yang lebih kemas hanya meringankan aritmetik.

Dalam nisbah

AP:PB=3:1

, nombor mana mendarab titik mana?

Rumus menyilangkan pemberat: 3 (bahagian $AP$ ) mendarab $B$ , dan 1 (bahagian $PB$ ) mendarab $A$ . Itu meletakkan $P$ lebih hampir kepada $B$ , sepadan dengan $AP$ sebagai bahagian yang lebih panjang.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Geometri Koordinat, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?