坐标几何练习题 | SPM Add Math

Q: 分点公式里，哪个数放哪里？

对 AP:PB=m:nAP:PB=m:nAP:PB=m:n，分点为 (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n)\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\ \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)(m+nnx1+mx2, m+nny1+my2)。注意交叉：mmm 乘第二点，nnn 乘第一点。放颠倒是最常见的失误。

Q: 怎么判断两条直线垂直？

它们的斜率相乘等于 −1-1−1，即 m1m2=−1m_{1}m_{2}=-1m1m2=−1。若一条斜率是 222，垂直的斜率就是 −12-\tfrac{1}{2}−21，倒过来再变号。

Q: 最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确的公式行和正确的代入即使最后算术出错也能拿分。这就是为什么你应当始终写出完整过程。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章坐标几何，从简单的距离与中点，一直到轨迹方程，逐题加深。每题给自己大约五到八分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，一行方法（写出所用的公式）、一步清楚的代入，然后写出最终答案。

忍住偷看的冲动。只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。

当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。由于 Add Math 采用分析式评分，即使最后的算术出错，正确的公式与正确的代入仍能拿分，所以务必先把代入完整写出，再化简。

把这一页当作排练，而不是考试，目的是趁还有时间，现在就找出薄弱的步骤并修好它。

六道练习题

Q1[3 marks]

已知两点 $A(1,\,2)$ 与 $B(7,\,10)$ 。求 (a) 距离 $AB$ ，(b) $AB$ 的中点。

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(a) 使用距离公式 $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ 。代入两点坐标，在根号内化简：

AB=\sqrt{(7-1)^{2}+(10-2)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

(b) 中点是两坐标的平均， $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\ \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ ：

\left(\frac{1+7}{2},\ \frac{2+10}{2}\right)=(4,\ 6)

答案

$AB=10$ 单位，中点为 $(4,\,6)$ 。中点应恰好在正中间：从 $A$ 向右 $3$ 、向上 $4$ ，再同样一步到 $B$ ，正好如此。

Q2[3 marks]

一条直线经过 $P(2,\,3)$ 与 $Q(5,\,9)$ 。求这条直线的方程。

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先用 $m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ 求斜率：

m=\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}=2

再用点斜式 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，取点 $P(2,\,3)$ ，化简为 $y=mx+c$ ：

y-3=2(x-2)\;\Rightarrow\; y=2x-4+3\;\Rightarrow\; y=2x-1

答案

方程为 $y=2x-1$ 。用另一点 $Q(5,\,9)$ 检验： $2(5)-1=9$ ，一致，所以这条直线确实经过两点。

Q3[4 marks]

点 $P$ 把连接 $A(1,\,2)$ 与 $B(11,\,17)$ 的线段按比例 $AP:PB=2:3$ 分开。求 $P$ 的坐标。

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使用分点公式。若 $P$ 分 $AB$ 使得 $AP:PB=m:n$ ，则

P=\left(\frac{n\,x_{1}+m\,x_{2}}{m+n},\ \frac{n\,y_{1}+m\,y_{2}}{m+n}\right)

这里 $m=2$ ， $n=3$ ，配上 $A(1,\,2)$ 与 $B(11,\,17)$ 。仔细代入：

P=\left(\frac{3(1)+2(11)}{2+3},\ \frac{3(2)+2(17)}{2+3}\right)=\left(\frac{25}{5},\ \frac{40}{5}\right)=(5,\ 8)

答案

$P=(5,\,8)$ 。检验：从 $A$ 向 $B$ 走 $\tfrac{2}{5}$ ，位移 $A\to B$ 为 $(10,\,15)$ ，其 $\tfrac{2}{5}$ 为 $(4,\,6)$ ，故 $P=(1+4,\,2+6)=(5,\,8)$ ，与所求一致。

Q4[4 marks]

直线 $L_{1}$ 的方程为 $y=2x-1$ 。求经过 $(4,\,5)$ 且与 $L_{1}$ 垂直的直线 $L_{2}$ 的方程。

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从 $y=2x-1$ 直接读出 $L_{1}$ 的斜率，故 $m_{1}=2$ 。两条直线垂直时，斜率满足 $m_{1}m_{2}=-1$ ：

m_{1}m_{2}=-1\;\Rightarrow\; 2\,m_{2}=-1\;\Rightarrow\; m_{2}=-\frac{1}{2}

再用点斜式，取点 $(4,\,5)$ 、斜率 $m_{2}=-\dfrac{1}{2}$ ：

y-5=-\frac{1}{2}(x-4)\;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{2}x+2+5\;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{2}x+7

去掉分数，得到整齐的形式：

x+2y=14

答案

$L_{2}:\ x+2y=14$ （即 $y=-\tfrac{1}{2}x+7$ ）。检验点 $(4,\,5)$ ： $4+2(5)=14$ 。

检验垂直： $2\times(-\tfrac{1}{2})=-1$ 。

Q5[5 marks]

三角形的顶点为 $A(1,\,1)$ 、 $B(5,\,2)$ 与 $C(3,\,6)$ 。求三角形 $ABC$ 的面积。

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使用坐标面积公式。按顺序取顶点，面积为

\text{面积}=\frac{1}{2}\,\bigl|\,x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\,\bigr|

代入 $A(1,\,1)$ 、 $B(5,\,2)$ 、 $C(3,\,6)$ ，保留每个括号：

=\frac{1}{2}\,\bigl|\,1(2-6)+5(6-1)+3(1-2)\,\bigr|

先把里面逐步算好，再取绝对值：

=\frac{1}{2}\,\bigl|\,-4+25-3\,\bigr|=\frac{1}{2}\,(18)=9

答案

面积为 $9$ 平方单位。绝对值保证无论顶点顺序如何，面积都是正的；若按顺时针排列，里面读作 $-18$ ，而 $\tfrac{1}{2}|{-18}|=9$ 依然相同。

Q6[5 marks]

动点 $P(x,\,y)$ 满足它到 $A(1,\,0)$ 的距离始终是到 $B(4,\,0)$ 距离的两倍，即 $PA=2\,PB$ 。求点 $P$ 的轨迹方程。

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一开始就两边平方以去掉根号： $PA=2\,PB$ 变为 $PA^{2}=4\,PB^{2}$ 。用坐标写出每个距离的平方：

(x-1)^{2}+y^{2}=4\left[(x-4)^{2}+y^{2}\right]

两边完全展开：

x^{2}-2x+1+y^{2}=4x^{2}-32x+64+4y^{2}

全部移到一边，合并同类项：

0=3x^{2}+3y^{2}-30x+63

两边除以 $3$ ，得到最简形式：

x^{2}+y^{2}-10x+21=0

答案

轨迹为 $x^{2}+y^{2}-10x+21=0$ ，是一个圆。配方得 $(x-5)^{2}+y^{2}=4$ ，圆心 $(5,\,0)$ ，半径 $2$ 。

检验点 $(3,\,0)$ ： $PA=2$ ， $PB=1$ ，故 $PA=2PB$ ；点 $(7,\,0)$ ： $PA=6$ ， $PB=3$ ，同样 $PA=2PB$ 。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看是否引用了正确的公式、代入的数值是否正确、最终陈述是否清楚并带上必要的单位。

方法分：你是否先写出了正确的公式，距离、中点、斜率、分点公式、面积公式，或垂直线的 $m_{1}m_{2}=-1$ ？
代入分：正确的坐标是否放进了正确的位置，每一项（尤其是负数）是否都加了括号？
答案分：最终数值是否清楚写出、已化简，代回后能否成立？
对轨迹题，只有先平方、再展开化简才能拿满分，留下没处理的根号就失去方法分。
如果最后的数字错了但公式行与代入行对，就给自己那些分，真正的考官正是这么做的。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，距离公式里坐标写反、分点比例的数字放颠倒，或展开轨迹时漏掉一个负号，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

每道题我该花多少时间？

每题大约五到八分钟，随分值上升。如果某题花的时间远超于此，就记下来带到课上，它在考试里偷走的时间，往往才是真正的问题，而不是这个题型本身。

分点公式里，哪个数放哪里？

对 $AP:PB=m:n$ ，分点为 $\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\ \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)$ 。注意交叉： $m$ 乘第二点， $n$ 乘第一点。

放颠倒是最常见的失误。

怎么判断两条直线垂直？

它们的斜率相乘等于 $-1$ ，即 $m_{1}m_{2}=-1$ 。若一条斜率是 $2$ ，垂直的斜率就是 $-\tfrac{1}{2}$ ，倒过来再变号。

最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确的公式行和正确的代入即使最后算术出错也能拿分。

这就是为什么你应当始终写出完整过程。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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如何使用这些练习题

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如何像考官那样给自己评分

老师如何帮忙

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