Geometri Koordinat Latihan

Q: Dalam rumus nisbah, nombor mana pergi ke mana?

Bagi AP:PB=m:nAP:PB=m:nAP:PB=m:n, titiknya ialah (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n)\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\ \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)(m+nnx1+mx2, m+nny1+my2). Perhatikan silang: mmm mendarab titik kedua dan nnn titik pertama. Meletakkannya terbalik ialah kesilapan paling lazim.

Q: Bagaimana saya tahu dua garis serenjang?

Kecerunannya didarab memberi −1-1−1, jadi m1m2=−1m_{1}m_{2}=-1m1m2=−1. Jika satu kecerunan ialah 222, kecerunan serenjang ialah −12-\tfrac{1}{2}−21, terbalikkan dan tukar tandanya.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab Geometri Koordinat, daripada jarak dan titik tengah yang mudah hingga persamaan lokus. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, satu baris kaedah yang menyatakan rumus yang digunakan, penggantian yang jelas, kemudian jawapan akhir.

Tahan keinginan untuk mengintai. Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris.

Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang. Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, rumus yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik akhir tergelincir, jadi tulis penggantian anda sepenuhnya sebelum memudahkan.

Anggap halaman ini sebagai latihan, bukan ujian, tujuannya ialah mencari langkah lemah sekarang, sementara masih ada masa untuk membetulkannya.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Titik-titik ialah $A(1,\,2)$ dan $B(7,\,10)$ . Cari (a) jarak $AB$ , dan (b) titik tengah $AB$ .

Show worked solution

(a) Gunakan rumus jarak $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ . Gantikan kedua-dua koordinat dan permudahkan di bawah punca:

AB=\sqrt{(7-1)^{2}+(10-2)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

(b) Titik tengah ialah purata koordinat, $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\ \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ :

\left(\frac{1+7}{2},\ \frac{2+10}{2}\right)=(4,\ 6)

Jawapan

$AB=10$ unit dan titik tengah ialah $(4,\,6)$ . Ia sepatutnya betul-betul di tengah, iaitu $3$ melintang dan $4$ ke atas dari $A$ , dan sama semula ke $B$ , memang begitu.

Q2[3 marks]

Suatu garis lurus melalui $P(2,\,3)$ dan $Q(5,\,9)$ . Cari persamaan garis itu.

Show worked solution

Cari kecerunan dahulu menggunakan $m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ :

m=\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}=2

Kini gunakan bentuk titik-kecerunan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ dengan titik $P(2,\,3)$ , kemudian permudahkan kepada $y=mx+c$ :

y-3=2(x-2)\;\Rightarrow\; y=2x-4+3\;\Rightarrow\; y=2x-1

Jawapan

Persamaannya ialah $y=2x-1$ . Semak dengan titik satu lagi $Q(5,\,9)$ : $2(5)-1=9$ , yang sepadan, jadi garis itu benar-benar melalui kedua-dua titik.

Q3[4 marks]

Titik $P$ membahagi tembereng garis yang menyambung $A(1,\,2)$ dan $B(11,\,17)$ dengan nisbah $AP:PB=2:3$ . Cari koordinat $P$ .

Show worked solution

Gunakan rumus nisbah (pembahagian). Jika $P$ membahagi $AB$ supaya $AP:PB=m:n$ , maka

P=\left(\frac{n\,x_{1}+m\,x_{2}}{m+n},\ \frac{n\,y_{1}+m\,y_{2}}{m+n}\right)

Di sini $m=2$ , $n=3$ , dengan $A(1,\,2)$ dan $B(11,\,17)$ . Gantikan dengan teliti:

P=\left(\frac{3(1)+2(11)}{2+3},\ \frac{3(2)+2(17)}{2+3}\right)=\left(\frac{25}{5},\ \frac{40}{5}\right)=(5,\ 8)

Jawapan

$P=(5,\,8)$ . Semak dengan melangkah $\tfrac{2}{5}$ daripada $A$ ke $B$ : langkah $A\to B$ ialah $(10,\,15)$ , dan $\tfrac{2}{5}$ daripadanya ialah $(4,\,6)$ , jadi $P=(1+4,\,2+6)=(5,\,8)$ , seperti yang diperoleh.

Q4[4 marks]

Garis lurus $L_{1}$ mempunyai persamaan $y=2x-1$ . Cari persamaan garis lurus $L_{2}$ yang melalui $(4,\,5)$ dan serenjang dengan $L_{1}$ .

Show worked solution

Baca kecerunan $L_{1}$ terus daripada $y=2x-1$ , jadi $m_{1}=2$ . Bagi garis serenjang, kecerunan memenuhi $m_{1}m_{2}=-1$ :

m_{1}m_{2}=-1\;\Rightarrow\; 2\,m_{2}=-1\;\Rightarrow\; m_{2}=-\frac{1}{2}

Kini gunakan bentuk titik-kecerunan melalui $(4,\,5)$ dengan $m_{2}=-\dfrac{1}{2}$ :

y-5=-\frac{1}{2}(x-4)\;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{2}x+2+5\;\Rightarrow\; y=-\frac{1}{2}x+7

Hapuskan pecahan untuk mendapat bentuk kemas bagi jawapan:

x+2y=14

Jawapan

$L_{2}:\ x+2y=14$ (bersamaan $y=-\tfrac{1}{2}x+7$ ). Semak titik $(4,\,5)$ : $4+2(5)=14$ .

Semak keserenjangan: $2\times(-\tfrac{1}{2})=-1$ .

Q5[5 marks]

Sebuah segi tiga mempunyai bucu $A(1,\,1)$ , $B(5,\,2)$ dan $C(3,\,6)$ . Cari luas segi tiga $ABC$ .

Show worked solution

Gunakan rumus luas koordinat. Dengan mengambil bucu mengikut urutan, luasnya ialah

\text{Luas}=\frac{1}{2}\,\bigl|\,x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\,\bigr|

Gantikan $A(1,\,1)$ , $B(5,\,2)$ , $C(3,\,6)$ , dengan mengekalkan setiap kurungan:

=\frac{1}{2}\,\bigl|\,1(2-6)+5(6-1)+3(1-2)\,\bigr|

Kira bahagian dalam langkah demi langkah sebelum mengambil nilai mutlak:

=\frac{1}{2}\,\bigl|\,-4+25-3\,\bigr|=\frac{1}{2}\,(18)=9

Jawapan

Luasnya ialah $9$ unit persegi. Nilai mutlak menjamin luas positif walau apa pun urutan bucu; jika anda pergi ikut arah jam, bahagian dalam berbunyi $-18$ , dan $\tfrac{1}{2}|{-18}|=9$ juga.

Q6[5 marks]

Suatu titik $P(x,\,y)$ bergerak supaya jaraknya dari $A(1,\,0)$ sentiasa dua kali jaraknya dari $B(4,\,0)$ ; iaitu $PA=2\,PB$ . Cari persamaan lokus $P$ .

Show worked solution

Kuasa duakan kedua-dua belah pada mulanya untuk menghapuskan punca: $PA=2\,PB$ menjadi $PA^{2}=4\,PB^{2}$ . Tulis setiap jarak berkuasa dua dalam koordinat:

(x-1)^{2}+y^{2}=4\left[(x-4)^{2}+y^{2}\right]

Kembangkan kedua-dua belah sepenuhnya:

x^{2}-2x+1+y^{2}=4x^{2}-32x+64+4y^{2}

Bawa semua ke satu belah dan kumpulkan sebutan serupa:

0=3x^{2}+3y^{2}-30x+63

Bahagi dengan $3$ untuk mencapai bentuk paling ringkas:

x^{2}+y^{2}-10x+21=0

Jawapan

Lokusnya ialah $x^{2}+y^{2}-10x+21=0$ , iaitu sebuah bulatan. Penyempurnaan kuasa dua memberi $(x-5)^{2}+y^{2}=4$ , pusat $(5,\,0)$ , jejari $2$ .

Semak titik $(3,\,0)$ : $PA=2$ , $PB=1$ , jadi $PA=2PB$ ; dan $(7,\,0)$ : $PA=6$ , $PB=3$ , sekali lagi $PA=2PB$ .

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari rumus yang betul dipetik, nilai yang tepat dimasukkan, dan pernyataan akhir yang jelas dengan unit jika perlu.

Markah kaedah: adakah anda menulis rumus yang betul dahulu, jarak, titik tengah, kecerunan, rumus nisbah, rumus luas, atau $m_{1}m_{2}=-1$ bagi garis serenjang?
Markah penggantian: adakah koordinat yang betul berada di tempat yang betul, dengan kurungan dikekalkan pada setiap sebutan, terutama nombor negatif?
Markah jawapan: adakah nilai akhir dinyatakan dengan jelas, diringkaskan, dan bertahan apabila digantikan semula?
Bagi soalan lokus, anda hanya memperoleh markah penuh dengan mengkuasaduakan dahulu, kemudian mengembang dan meringkaskan, meninggalkan punca yang tersasar menghilangkan kaedah.
Jika nombor akhir anda salah tetapi baris rumus dan penggantian betul, berikan diri anda markah itu, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, koordinat tertukar dalam rumus jarak, nombor nisbah diletakkan terbalik, atau tanda negatif tercicir semasa mengembang lokus, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Berapa lama masa yang patut saya ambil bagi setiap soalan?

Sasarkan kira-kira lima hingga lapan minit setiap satu, meningkat dengan nilai markah. Jika satu soalan mengambil masa jauh lebih lama, catatkan dan bawa ke kelas, masa yang dicurinya dalam peperiksaan selalunya masalah sebenar, bukan topik itu sendiri.

Dalam rumus nisbah, nombor mana pergi ke mana?

Bagi $AP:PB=m:n$ , titiknya ialah $\left(\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n},\ \frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\right)$ . Perhatikan silang: $m$ mendarab titik kedua dan $n$ titik pertama.

Meletakkannya terbalik ialah kesilapan paling lazim.

Bagaimana saya tahu dua garis serenjang?

Kecerunannya didarab memberi $-1$ , jadi $m_{1}m_{2}=-1$ . Jika satu kecerunan ialah $2$ , kecerunan serenjang ialah $-\tfrac{1}{2}$ , terbalikkan dan tukar tandanya.

Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, baris rumus yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sebab itulah anda patut sentiasa menunjukkan kerja penuh.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Geometri Koordinat, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?