高级数学常见题型结构

高级数学的题目，是由一小组反复出现的骨架搭成的。一旦你能叫出眼前这道题的骨架，一个「证明」去喂后面的「因此」、一道(a)(b)(c)层层搭建的题、一道「求取值范围」的题，或者一条你必须先画再读的图，你就不再对着每道题从零开始摸索，而是开始认出它想要的计划。

这份指南列出我们老师在试卷一和试卷二里最常见到的结构、标示每种结构的指令词，以及如何快速读懂一个结构，好让你的时间花在解题上而不是发呆。我们只用一般性的说法配上我们自己的简短例子来讲解骨架，绝不用真实的历年题，好让你学到的是模式，而不是背下来的一个答案。

在函数、二次式、微分、统计这些差别很大的课题里，同样的结构动作会一再出现。认出它们，工作就完成了一半：骨架告诉你分数落在哪里，以及答案大致该有多长。

• 层层搭建：一道分小题的题，(a) 定下一个值或一个结果，(b)、(c) 再拿来用。整道题是一条链，所以 (a) 一失手就会连累后面的小题，搭建之前先检查 (a)。
• 「证明……因此……」：一小题先递给你一个目标结果去推导，接着的小题就用上那个同一个结果。「证明」的分全在过程里；「因此」期待你重新用上你刚证出的东西，而不是从头再来。
• 「因此或用别法」:你可以用前面的结果，或者你看到的新方法。「因此」通常是命题者本意的较短路径，所以先试它。
• 取值范围题：你解一个不等式或套用一个条件，再写出一组值。例如 $x^{2}+kx+4=0$ 只有当 $k^{2}>16$ 时才有两个相异实根，即 $k<-4$ 或 $k>4$。
• 以某量表示：你把一个关系式变换主项，再代到别处去。若 $3x+y=7$，则 $y=7-3x$，这个表达式就落进下一行。
• 以图或图形为本：你画一条曲线或读一张给定的图，再从中取出信息，截距、斜率、交点，或曲线下的面积。
• 带情境的文字题：一段描述的情境，你必须先把它译成方程，再像别的题一样去解。把变量定义清楚，正是这类题开始拿分的地方。

指令词告诉你哪一种答案能拿分。在你碰数字之前先读它，能拦住你去做错种类的工作。

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   认出那个动词

   「解」要一个或几个值；「求」或「确定」要某个特定的量；「求值」要一个数；「画」要一个带标注的图形，而不是描点的表；「证明」要一段通往给定目标的完整推导。

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   留意连接词

   「因此」意味着重新用上前面的结果；「因此或用别法」允许新方法，但暗示前面那个更快；「已知」递给你一个条件，你必须在过程的某处套用它。

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   把要求的东西划出来

   圈出未知数，或者「取值范围」、「以……表示」、「坐标」这些词，好让你的最后一行正好回答那个。很多分丢在：解对了，却在被要求的东西前一步停下。

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   先估一估答案的形状

   从指令词和分值，动笔前先想象答案：范围题以不等式收尾，以某量表示以方程收尾，画图以带标注的曲线收尾。知道终点，能让你的过程一直朝它走。

两份卷用的是同样的骨架，但权重不同，所以知道你在哪一份卷里，会改变一道答案该有多长。

• 试卷一是 2 小时 80 分，分 A、B 两部分。A 部分汇集较短、单一想法、跨多个课题的题；B 部分则是每题分值更高的较长题。层层搭建与短的「解」/「求」骨架在这里占主导。
• 试卷二是 2 小时 30 分钟 100 分，分 A、B、C 三部分。题目更长、分成更多小题，所以「证明……因此」、长的搭建题和以图为本的骨架分量更重，一道题就能握着一整条长长的方法分链。
• 没有试卷三，两份卷合起来考核整个科目，所以你在练习中遇到的每一种骨架，都归在这两份卷之一里。
• 你可以使用不可编程的科学计算器，而评分是分析式的，所以正是这些反复骨架里清楚的过程，才把方法分一层一层地存进口袋。

很容易出现这种情况：每个课题都会，却因为读错题的骨架而丢分，把「证明」当成普通的「解」来做、没看出「因此」要的是前面的结果、或者在范围还没完整写出前就停笔。在我们的一对一课上，我们和你一起过你的练习，把每道题的结构大声叫出来，好让你养成先读懂再下手的习惯。

我们告诉你指令词如何对应到分数、集训你最常读错的骨架，并围绕这些结构跨几个课题安排你下一次的练习。我们的课以英语授课，而 SPM 试卷以国文和英文双语命题。