在笛卡尔平面中处理向量

这个方法处理已经落在笛卡尔平面里的向量，写成分量形式 $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$，或写成列向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$。从这种形式，你可以读出向量章节要问的一切：沿 $\mathbf{i}$ 的水平分量 $x$、沿 $\mathbf{j}$ 的竖直分量 $y$、大小（长度）$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，以及方向相同但长度为 $1$ 的单位向量。

它回答的问题包括“用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $\overrightarrow{AB}$”、“求向量的大小”，以及“求 $\mathbf{r}$ 方向上的单位向量”。因为点和向量共用同一组坐标轴，它还能把两个坐标一步就干净利落地变成一条有向线段。

当向量以分量形式、列向量，或通过点的坐标给出时，就用笛卡尔方法。典型的提示词是“用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示”、“……的大小”、“……方向上的单位向量”，或一幅画在带标记的 $x$ 轴与 $y$ 轴上的图。

如果题目给出两点 $A$ 和 $B$，先把它们化为位置向量，再用 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ 得到一个 $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$。一旦向量写成分量，大小和方向就纯粹是算术，不必从图上量任何东西，这正是笛卡尔形式在考试压力下最可靠的原因。

它也是后续技巧（如平行向量与比例）直接依赖的形式。

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   把向量写成分量形式

   把向量写成 $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$。由两点出发，用 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，终点减起点。

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   读出各分量

   找出 $x$（$\mathbf{i}$ 部分）和 $y$（$\mathbf{j}$ 部分），并保留它们的符号。

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   求大小

   用 $|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$：把每个分量平方、相加，再取正根。

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   求单位向量

   把整个向量除以它的大小：$\hat{\mathbf{r}} = \frac{1}{|\mathbf{r}|}(x\mathbf{i} + y\mathbf{j})$。

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   如需要则缩放或合并

   求 $k\mathbf{r}$ 时，把每个分量乘以 $k$；合并向量时，把对应分量相加或相减。

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   检验结果

   单位向量必须满足 $\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 1$；大小永远是正数。

• 忘记开平方根，把答案留成 $x^{2} + y^{2}$，而不是 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$。
• 报出负的大小；长度永远是零或正数，所以 $\sqrt{\dots}$ 取非负根。
• 错误地对负分量平方：$(-4)^{2} = 16$，不是 $-16$。
• 求单位向量时只把一个分量除以大小，而不是整个向量。
• 把有向线段写反，用 $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ 代替 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$。

悄悄丢分的一步是求大小，学生把分量平方算对了，却忘了开根，或让一个多余的负号留在根号下。在一对一的课堂上，我们的老师要求你把 $|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 当成固定模板写下来，再直接读出数值，这样 $(-4)^{2}$ 绝不会变成 $-16$，答案永远是正根。

我们把单位向量当作“整个向量除以它的长度”来构造，然后一起检验它平方回去等于 $1$。因为 SPM Add Math 采用分析式给分，只要正确列出 $\sqrt{6^{2}+8^{2}}$，即使算术出错也已经拿到方法分。

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