Bekerja dengan vektor dalam satah Cartesan

Kaedah ini mengendalikan vektor apabila ia berada dalam satah Cartesan, dalam bentuk komponen $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, atau sebagai vektor lajur $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Daripada bentuk itu, anda boleh membaca segala yang diminta oleh bab Vektor: bahagian mendatar $x$ di sepanjang $\mathbf{i}$, bahagian menegak $y$ di sepanjang $\mathbf{j}$, magnitud (panjang) $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, dan vektor unit yang menghala arah sama tetapi berpanjang $1$.

Ia menjawab soalan seperti 'ungkapkan $\overrightarrow{AB}$ dalam sebutan $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$', 'cari magnitud vektor', dan 'cari vektor unit dalam arah $\mathbf{r}$'. Kerana titik dan vektor berkongsi paksi yang sama, ia turut menukar dua koordinat menjadi tembereng berarah dalam satu langkah yang kemas.

Gunakan pendekatan Cartesan apabila vektor diberi dalam bentuk komponen, sebagai vektor lajur, atau melalui koordinat titik. Petunjuknya ialah frasa 'dalam sebutan $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$', 'magnitud bagi', 'vektor unit dalam arah', atau rajah yang dilukis pada paksi-$x$ dan paksi-$y$ berlabel.

Jika soalan memberi dua titik $A$ dan $B$, tukarkannya dahulu kepada vektor kedudukan dan gunakan $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ untuk memperoleh satu $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$. Setelah vektor berada dalam bentuk komponen, magnitud dan arah menjadi aritmetik semata-mata, tiada apa perlu diukur daripada rajah, dan itulah sebabnya bentuk Cartesan ialah bentuk yang boleh diharapkan ketika tekanan peperiksaan.

Ia juga bentuk yang menjadi asas kepada kemahiran seterusnya, seperti vektor selari dan nisbah.

1. 1

   Tulis vektor dalam bentuk komponen

   Nyatakan vektor sebagai $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$. Daripada dua titik, gunakan $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$, hujung tolak mula.

2. 2

   Baca komponen

   Kenal pasti $x$ (bahagian $\mathbf{i}$) dan $y$ (bahagian $\mathbf{j}$), sambil menjaga tandanya.

3. 3

   Cari magnitud

   Gunakan $|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$: kuasa duakan setiap komponen, tambah, kemudian ambil punca positif.

4. 4

   Cari vektor unit

   Bahagikan keseluruhan vektor dengan magnitudnya: $\hat{\mathbf{r}} = \frac{1}{|\mathbf{r}|}(x\mathbf{i} + y\mathbf{j})$.

5. 5

   Skala atau gabungkan jika diminta

   Bagi $k\mathbf{r}$, darabkan setiap komponen dengan $k$; untuk menggabungkan vektor, tambah atau tolak komponen yang sepadan.

6. 6

   Semak hasil

   Vektor unit mesti memenuhi $\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 1$; magnitud sentiasa positif.

• Terlupa punca kuasa dua, membiarkan jawapan sebagai $x^{2} + y^{2}$ dan bukan $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$.
• Melaporkan magnitud negatif; panjang sentiasa sifar atau positif, jadi $\sqrt{\dots}$ ialah punca tak negatif.
• Salah mengkuasaduakan komponen negatif: $(-4)^{2} = 16$, bukan $-16$.
• Membahagikan hanya satu komponen dengan magnitud ketika membentuk vektor unit, dan bukan keseluruhan vektor.
• Menyongsangkan tembereng berarah dengan menulis $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ menggantikan $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.

Langkah yang senyap-senyap meragut markah ialah magnitud, pelajar mengkuasaduakan komponen dengan betul, kemudian terlupa punca atau membiarkan tanda tolak sesat kekal di bawahnya. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menulis $|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ sebagai templat tetap dan membaca nilai terus daripadanya, supaya $(-4)^{2}$ tidak boleh bertukar menjadi $-16$ dan jawapan sentiasa punca positif.

Kami membina vektor unit sebagai 'keseluruhan vektor dibahagi panjangnya', kemudian menyemak bersama-sama bahawa ia dikuasaduakan kembali kepada $1$. Kerana Add Math SPM menggunakan pemarkahan analitik, $\sqrt{6^{2}+8^{2}}$ yang dibina dengan betul sudah memperoleh markah kaedah walaupun aritmetiknya tergelincir.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, walaupun kertas SPM itu sendiri diset secara dwibahasa. Setiap guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian mengikut rentak anda sendiri.