用判别式判断根的性质

判别式能在不真正解方程的情况下，告诉你一个二次方程有几个实根、是什么样的根。对于写成 $ax^2+bx+c=0$ 的二次方程，判别式就是表达式 $b^2-4ac$，也就是二次公式里根号下面的那一部分。

由于实数平方根只对零或正数存在，$b^2-4ac$ 的符号决定了一切：为正给出两个相异实根，为零给出两个相等实根（重根），为负则完全没有实根。这个方法能回答这类题目：「写出根的性质」「求使方程有等根的 $k$ 值」，或「证明根恒为实数」。

它是中四《二次函数》的核心技能，与图形是否与 $x$ 轴相交密切相关。

由于判别式只靠系数运作，它既快又可靠。你不必为了给根分类就去因式分解或套用完整公式，读出一个表达式的符号就够了。

当题目问的是根的个数或类型，而不是它们的确切值时，就用判别式。「根的性质」「有两个相异根」「有等根」「没有实根」「根为实数且不相等」这些字眼是直接的信号。

含未知数的题目也用它，例如「求使方程有实根的 $k$ 值范围」，因为条件会变成关于 $k$ 的不等式或方程。从几何上看，当题目问一条曲线是否与 $x$ 轴相交、相切或不相交，或一条直线是否是曲线的切线时，也用它。

根的性质在试卷一和试卷二里都会出现，所以快速认出这些信号很值得。

按这样来分类：

1. 1

   把方程写成 $ax^2+bx+c=0$

   把每一项都移到一边，使右边等于零，然后读出 $a$、$b$、$c$。

2. 2

   连同符号认出 $a$、$b$、$c$

   小心负号；系数 $b$ 连同它的符号，$a$ 和 $c$ 也一样。

3. 3

   计算判别式 $b^2-4ac$

   代入系数并化简成一个数，或一个含未知数的表达式。

4. 4

   与零比较

   判断 $b^2-4ac$ 是正、是零还是负，从而给根分类。

5. 5

   写出结论（或解出未知数）

   报告根的性质，或建立对应条件 $b^2-4ac>0$、$=0$ 或 $<0$，并解出未知数。

三种情况总结如下：

先自己试一试，再逐行对照解答。

注意开平方会产生两个答案 $k=6$ 和 $k=-6$，两个都成立。常见的失误是只保留正值；通过因式分解的检验确认了每个取值都确实给出完全平方，所以哪一个都不能丢。

• 没有先整理成 $ax^2+bx+c=0$。若方程不等于零，读出的 $a$、$b$、$c$ 就会错。
• $b$ 或 $c$ 的符号弄错。负系数在 $b^2-4ac$ 中仍然是负的。
• 把「等根」当成「没有根」。等根是 $b^2-4ac=0$；没有实根是 $b^2-4ac<0$。
• 在 $k^2=36$ 之后只保留一个 $k$ 值。开平方给出 $k=6$ 与 $k=-6$ 两个。
• 解未知数时把不等号弄反，例如把 $b^2-4ac>0$ 当成没有实根的条件，而不是两个相异根。

悄悄丢分的一步是「翻译」，把「等根」或「没有实根」这几个字，转成对 $b^2-4ac$ 的正确条件。在一对一的课堂上，我们的老师会在你动手算之前先和你核对这个翻译，让你不会去解错的不等式。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会把判别式的符号，联系到抛物线与 $x$ 轴相交、相切或不相交这幅图的人，规则才记得牢。课程在线进行、以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题。

我们还会训练两个习惯：开平方时保留两个值，以及用因式分解核对选定的系数，让最后一行永远稳妥。