Menggunakan Pembeza untuk Jenis Punca

Pembeza memberitahu anda berapa banyak punca nyata sesuatu persamaan kuadratik ada, dan jenisnya, tanpa perlu menyelesaikannya. Bagi kuadratik yang ditulis sebagai $ax^2+bx+c=0$, pembeza ialah ungkapan $b^2-4ac$, iaitu bahagian di bawah tanda punca kuasa dua dalam rumus kuadratik.

Oleh sebab punca kuasa dua nyata hanya wujud bagi nilai sifar atau positif, tanda $b^2-4ac$ menentukan segalanya: positif memberi dua punca nyata yang berbeza, sifar memberi dua punca nyata yang sama (punca berulang), dan negatif tidak memberi sebarang punca nyata. Kaedah ini menjawab soalan seperti "nyatakan jenis punca", "cari nilai $k$ supaya persamaan mempunyai punca sama", atau "tunjukkan punca sentiasa nyata".

Ini kemahiran teras Fungsi Kuadratik Tingkatan 4, berkait rapat dengan sama ada graf menyentuh paksi-$x$.

Oleh sebab pembeza bekerja daripada pekali sahaja, ia pantas dan boleh dipercayai. Anda tidak perlu memfaktorkan atau menggunakan rumus penuh hanya untuk mengelaskan punca, membaca tanda satu ungkapan sudah memadai.

Gunakan pembeza apabila soalan bertanya tentang bilangan atau jenis punca, bukan nilai tepatnya. Ungkapan seperti "jenis punca", "mempunyai dua punca berbeza", "mempunyai punca sama", "tiada punca nyata", atau "punca adalah nyata dan berbeza" ialah petanda langsung.

Ia juga kaedah bagi soalan yang mengandungi nilai anu, seperti "cari julat nilai $k$ supaya persamaan mempunyai punca nyata", kerana syaratnya menjadi ketaksamaan atau persamaan dalam $k$. Secara geometri, gunakannya apabila soalan bertanya sama ada lengkung memotong, menyentuh, atau tidak menyentuh paksi-$x$, atau sama ada garis ialah tangen kepada lengkung.

Kerja jenis punca muncul dalam Kertas 1 dan Kertas 2, jadi mengenal pasti petanda ini dengan cepat amat berbaloi.

Kerjakan pengelasan seperti ini:

1. 1

   Tulis persamaan sebagai $ax^2+bx+c=0$

   Pindahkan setiap sebutan ke satu sisi supaya sisi kanan bersamaan sifar, kemudian baca $a$, $b$ dan $c$.

2. 2

   Kenal pasti $a$, $b$ dan $c$ dengan tandanya

   Berhati-hati dengan nilai negatif; pekali $b$ termasuk tandanya, begitu juga $a$ dan $c$.

3. 3

   Kira pembeza $b^2-4ac$

   Gantikan pekali dan permudahkan kepada satu nombor atau ungkapan dalam nilai anu.

4. 4

   Bandingkan dengan sifar

   Tentukan sama ada $b^2-4ac$ positif, sifar, atau negatif untuk mengelaskan punca.

5. 5

   Nyatakan kesimpulan (atau selesaikan untuk anu)

   Laporkan jenis punca, atau bina syarat sepadan $b^2-4ac>0$, $=0$, atau $<0$ dan selesaikan untuk nilai anu.

Tiga kes diringkaskan di sini:

Cuba dahulu sendiri, kemudian semak setiap baris dengan penyelesaian.

Perhatikan bahawa pengkuasaduaan menghasilkan dua jawapan, $k=6$ dan $k=-6$, dan kedua-duanya sah. Kesilapan biasa ialah mengekalkan nilai positif sahaja; semakan dengan memfaktorkan mengesahkan setiap pilihan benar-benar memberi kuasa dua sempurna, jadi tiada satu pun boleh digugurkan.

• Tidak menyusun kepada $ax^2+bx+c=0$ dahulu. Jika persamaan tidak bersamaan sifar, pekali $a$, $b$, $c$ akan salah.
• Tersilap tanda $b$ atau $c$. Pekali negatif kekal negatif dalam $b^2-4ac$.
• Membaca "punca sama" sebagai "tiada punca". Punca sama bermaksud $b^2-4ac=0$; tiada punca nyata bermaksud $b^2-4ac<0$.
• Mengekalkan hanya satu nilai $k$ selepas $k^2=36$. Pengkuasaduaan memberi kedua-dua $k=6$ dan $k=-6$.
• Menyongsangkan ketaksamaan semasa menyelesaikan untuk anu, contohnya menulis $b^2-4ac>0$ sebagai syarat tiada punca nyata dan bukan dua punca berbeza.

Langkah yang senyap-senyap mengorbankan markah ialah penterjemahan, menukar perkataan "punca sama" atau "tiada punca nyata" kepada syarat yang betul pada $b^2-4ac$. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami menyemak penterjemahan itu bersama anda sebelum sebarang algebra, supaya anda tidak sekali-kali menyelesaikan ketaksamaan yang salah.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mendapat orang yang mengaitkan tanda pembeza dengan gambaran parabola memotong, menyentuh, atau tidak menyentuh paksi-$x$, supaya peraturan itu melekat. Kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris.

Kami juga melatih tabiat mengekalkan kedua-dua nilai daripada punca kuasa dua, dan menyemak pekali terpilih dengan memfaktorkan, supaya baris terakhir sentiasa selamat.