运用二项分布

二项分布用来对一种重复固定次数的情形建模：每一次重复（一次“试验”）只有两种结果，“成功”或“失败”，而且每次成功的概率都相同。抛硬币 10 次数正面，或检查 5 件产品数有几件次品，都是典型例子。

若 $X$ 是成功的次数，则 $X$ 服从二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是一次试验成功的概率。公式 $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$ 便给出恰好 $r$ 次成功的概率。

它让我们能回答「恰好 2 次」、「至少 3 次」或「至多 1 次」成功这类问题，并求出均值 $np$ 与方差 $np(1-p)$。

当题目描述固定次数的重复试验，并问某个「成功」次数的概率时，就用二项分布。留意四个特征：试验次数固定为 $n$；每次试验只有两种结果；各次试验相互独立；每次成功的概率 $p$ 都相同。

提示语包括「在 $n$ 次试验中」、「每次概率为 $p$」、「恰好」、「至少」、「至多」等。如果一次试验会影响下一次，例如不放回地抽取，使概率发生改变，那就不是二项分布。

而当变量是身高、质量这类连续测量值时，你面对的是正态分布，而不是二项分布。

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   检查条件

   试验次数 $n$ 固定、每次两种结果、各次独立、成功概率 $p$ 恒定。

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   认出 n、p 和 r

   写明试验次数 $n$、成功概率 $p$，以及所求的成功次数 $r$。

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   写出公式

   写下 $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$。

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   代入数值

   把 $n$、$p$、$1-p$ 和 $r$ 代入公式；核对两个幂的指数之和为 $n$。

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   求值

   先算 ${}^{n}C_{r}$，再算两个幂，然后把三部分相乘。

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   组合「至少」或「至多」

   把需要的各项相加，或用补集，例如 $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$。

• 把 $p$ 和 $1-p$ 搞反，或者没弄清哪种结果才算「成功」。
• 用错 $r$，或写出的指数之和不等于 $n$， $p$ 与 $1-p$ 的幂次相加必须等于 $n$。
• 求「至少一次」时去算一长串和，而不用补集 $1-P(X=0)$。
• 把均值 $np$ 和方差 $np(1-p)$ 混淆，或把方差当成标准差。
• 过早对 ${}^{n}C_{r}$ 或幂取近似，使最后的概率偏离。

学生最常出错的，恰恰是最开始的一步：确认这个情形真的是二项分布，并弄清 $p$ 对应的「成功」到底是哪种结果。在一对一课堂上，我们的老师会要求你先把四个条件念出来，并在动笔计算前写明 $n$、$p$ 和 $r$，让每一次的设定都正确。

我们还会反复练习「至少」类问题的补集捷径，直到你用起来毫不迟疑。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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