Menggunakan taburan binomial

Taburan binomial memodelkan keadaan yang diulang bilangan kali yang tetap, apabila setiap ulangan (satu 'percubaan') hanya ada dua hasil, 'kejayaan' atau 'kegagalan', dan kebarangkalian kejayaan kekal sama setiap kali. Melambung syiling 10 kali dan mengira kepala, atau memeriksa 5 barang dan mengira berapa yang rosak, ialah contoh biasa.

Jika $X$ ialah bilangan kejayaan, maka $X$ mengikut taburan binomial yang ditulis $X\sim B(n,p)$, dengan $n$ ialah bilangan percubaan dan $p$ ialah kebarangkalian kejayaan dalam satu percubaan. Rumus $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$ kemudian memberi kebarangkalian tepat $r$ kejayaan.

Ini membolehkan kita menjawab soalan seperti 'tepat 2', 'sekurang-kurangnya 3', atau 'paling banyak 1' kejayaan, serta mencari min $np$ dan varians $np(1-p)$.

Gunakan taburan binomial apabila soalan menerangkan bilangan percubaan berulang yang tetap dan bertanya kebarangkalian sesuatu bilangan 'kejayaan'. Cari empat ciri: bilangan percubaan yang tetap $n$; setiap percubaan hanya ada dua hasil; percubaan tak bersandar; dan kebarangkalian kejayaan $p$ sama setiap kali.

Frasa isyarat termasuk 'dalam $n$ percubaan', 'setiap satu dengan kebarangkalian $p$', 'tepat', 'sekurang-kurangnya', atau 'paling banyak'. Jika satu percubaan mempengaruhi yang seterusnya, contohnya cabutan tanpa gantian sehingga kebarangkalian berubah, ia bukan binomial.

Apabila pemboleh ubah itu pula ialah sukatan selanjar seperti tinggi atau jisim, anda sedang berhadapan dengan taburan normal, bukan binomial.

1. 1

   Semak syarat

   Percubaan $n$ yang tetap, dua hasil setiap percubaan, percubaan tak bersandar, dan kebarangkalian kejayaan $p$ yang malar.

2. 2

   Kenal pasti n, p dan r

   Nyatakan bilangan percubaan $n$, kebarangkalian kejayaan $p$, dan bilangan kejayaan $r$ yang diperlukan.

3. 3

   Tulis rumus

   Nyatakan $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$.

4. 4

   Gantikan nilai

   Masukkan $n$, $p$, $1-p$ dan $r$ ke dalam rumus; pastikan dua kuasa itu berjumlah $n$.

5. 5

   Nilaikan

   Kira ${}^{n}C_{r}$, kemudian dua kuasa itu, kemudian darab ketiga-tiga bahagian.

6. 6

   Gabung untuk 'sekurang-kurangnya' atau 'paling banyak'

   Tambah sebutan yang diperlukan, atau guna pelengkap, contohnya $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$.

• Menukar $p$ dengan $1-p$, atau tidak jelas hasil manakah yang dikira sebagai 'kejayaan'.
• Menggunakan $r$ yang salah, atau menulis eksponen yang tidak berjumlah $n$, kuasa $p$ dan $1-p$ mesti berjumlah $n$.
• Untuk 'sekurang-kurangnya satu', mengira hasil tambah yang panjang sedangkan pelengkap $1-P(X=0)$ lebih mudah.
• Mengelirukan min $np$ dengan varians $np(1-p)$, atau menganggap varians sebagai sisihan piawai.
• Membundarkan ${}^{n}C_{r}$ atau kuasa terlalu awal, jadi kebarangkalian akhir tersasar.

Langkah yang pelajar paling kerap tersilap ialah langkah pertama sekali: menyemak bahawa keadaan itu benar-benar binomial, dan jelas hasil manakah yang menjadi 'kejayaan' yang $p$ merujuknya. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menyebut empat syarat itu dengan lantang dan menamakan $n$, $p$ dan $r$ sebelum sebarang pengiraan bermula, supaya persediaan betul setiap kali.

Kami juga melatih jalan pintas pelengkap untuk soalan 'sekurang-kurangnya' sehingga terasa lumrah. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk melihat cara kami mengajar taburan binomial, hubungi kami di WhatsApp bagi mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.