如何草绘二次函数图形

每一个二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 画出来都是一条抛物线，一条光滑的 U 形曲线，对称于一条竖直线。草绘它，就是画出一张形状正确、清楚的图，显示四件事：曲线朝哪个方向开口、它在何处与 $y$ 轴相交、它在何处（或是否）与 $x$ 轴相交，以及转折点的位置。

你不必描出几十个点，只需标出决定形状的那几个特征，再把它们干净地连起来。

这个方法回答的考题包括“草绘图形”“写出转折点的坐标”，或“求 $y>0$ 时 $x$ 的值域”。一张正确的草图也是后续处理不等式、根与判别式的基础，所以值得把它练成本能。

当一个函数以 $x^{2}$ 项为最高次，而题目要你画出它、描述它的形状、或从中读出信息时，就用这个方法。“草绘”“转折点”“最小点”“最大点”“对称轴”或“值域”这些字眼，都是考官想要一张二次草图的信号。

只要你能认出 $a$、$b$、$c$，就可以动手。如果函数已经写成配方形式 $y=a(x-h)^{2}+k$ 就更好，转折点 $(h,k)$ 已经送给你了，你只需再求截距。

由于 Add Math 采用分析式给分，一张清楚标出截距和转折点的草图，即使最后的曲线略微粗糙，也能拿到方法分。

1. 1

   判断开口

   看 $a$ 的正负。若 $a>0$，抛物线向上开口，有最小点；若 $a<0$，向下开口，有最大点。

2. 2

   求 y 轴截距

   令 $x=0$。曲线总是在 $(0,c)$ 处与 $y$ 轴相交，所以直接从方程读出 $c$。

3. 3

   求 x 轴截距

   用因式分解或公式解 $ax^{2}+bx+c=0$。判别式 $b^{2}-4ac$ 告诉你有几个：正则两个，零则一个，负则没有。

4. 4

   求转折点

   用 $x=-\frac{b}{2a}$ 求对称轴，再把该值代回求出 $y$ 坐标。配方法能直接给出同一个点。

5. 5

   标出关键点

   标出 $y$ 轴截距、所有 $x$ 轴截距和转折点，并轻轻画出对称轴。

6. 6

   用光滑曲线连起

   画一条连续的抛物线穿过这些点，对称于对称轴，并标注你求出的坐标。

• 弄错开口方向，$a$ 为负时向下开口，而不是向上，因此是最大点，不是最小点。
• 忘了 $x=-\frac{b}{2a}$ 里的负号；当 $b=-4$，对称轴在 $x=+2$，而不是 $x=-2$。
• 把 $y$ 轴截距读成 $b$ 而不是 $c$。常数项 $c$ 才是 $y$ 轴截距。
• 画出的曲线不对称于对称轴，或在转折处出现直线的“尖角”而非光滑的转弯。
• 坐标没有标注，分数是给写明的那些点的，不只是给形状。

我们最常见到的错误都是不声不响的：$-\frac{b}{2a}$ 里掉了一个负号，或因为只瞟了一眼 $a$ 的正负就把抛物线画反了方向。在一对一的课堂上，我们的老师会先请你把开口方向说出口，再动笔画，这样方向就先锁定了，然后在你标每个截距时逐一对照方程检查。

我们把草图当成一张检查清单，形状、$y$ 轴截距、$x$ 轴截距、转折点、标注，让任何能拿分的东西都不遗漏。spmaddmath.com.my 的每一位老师，都经验丰富。

课程在线上进行，以英语授课，按你掌握图形形状的快慢来安排节奏。