如何化为线性形式

线性定律讲的是把两个变量之间弯曲的关系化成一条直线。直线容易在数据点之间画出，它的斜率和纵轴截距也容易测量；所以只要你能把关系改写成 $Y = mX + c$ 的形式，就能直接从图上读出未知常数。

这个方法把像 $y = ax^{n}$ 或 $y = ab^{x}$ 这样的关系重新整理，通常是对两边取对数，直到它符合直线的形式。

对于幂关系，对两边取 $\lg$ 就能办到：

与 $Y = mX + c$ 对照，你把 $\lg y$ 对 $\lg x$ 描点，斜率读作 $n$，截距读作 $\lg a$。

当题目给出一个含有未知常数的关系，同时又给出实验数据或一条变换后变量的直线图时，就用这个方法。像“化为线性形式”、“当 $\lg y$ 对 $\lg x$ 描点得到一条直线”、“$\frac{y}{x}$ 对 $x$ 的图是一条直线”这样的字眼，都是直接的信号。

根据关系的形式来选择变换。幂关系 $y = ax^{n}$ 或指数关系 $y = ab^{x}$ 要取对数，好让指数降下来。

像 $y = ax + bx^{2}$ 这样的关系，更适合两边除以 $x$，化成 $\frac{y}{x} = a + bx$。先定好变换，就知道每条轴上该描什么。

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   读出关系和常数

   记下非线性关系以及要求的常数，例如 $y = ax^{n}$ 中的 $a$ 和 $n$。

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   变换成 Y = mX + c

   对幂关系或指数关系两边取 $\lg$，或重新整理（例如除以 $x$），使方程变成线性。

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   对照各部分

   把你的方程与 $Y = mX + c$ 对照，确定 $Y$、$X$、斜率 $m$ 和截距 $c$。

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   读图

   从直线图上读出斜率和纵轴截距。

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   列出关于常数的方程

   令斜率等于它的表达式、截距等于它的表达式，再解出每个常数。

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   还原对数

   如果截距是 $\lg a$，就还原 $a = 10^{c}$；写出常数，若有要求也写出原关系。

• 把截距读成 $a$ 而不是 $\lg a$；你必须用 $a = 10^{c}$ 还原对数。
• 把两条轴搞反，分不清变换后哪个变量是 $X$、哪个是 $Y$，结果斜率和截距对调。
• 把 $\lg(ax^{n})$ 拆错；它等于 $\lg a + n\lg x$，而不是 $\lg a \times n\lg x$。
• 忘了用幂定律把指数降下来，留着 $\lg x^{n}$ 而没写成 $n\lg x$。
• 把方程与 $Y = mX + c$ 对照时，把斜率和截距弄混。

最让学生栽跟头的往往是最后一步，把截距读成 $a$ 而不是 $\lg a$，又忘了写 $a = 10^{c}$。在一对一的课堂上，我们的老师会在对照那一行停下来，也就是你把方程与 $Y = mX + c$ 对齐的地方，先让你把 $Y$、$X$、斜率和截距都标清楚，再去碰数字。

单是这一个习惯，就能立刻消除大部分线性定律的错误。我们也会检查你是不是对整边取 $\lg$，而不是只对其中一部分。

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