如何证明三角恒等式

证明三角恒等式，就是要说明两个式子对所有合法的角都相等，而不是只解出某一个角。在中五三角函数这一章里，这类题目会要你「证明」或「试证」左边等于右边。

方法是从一边出发，用代数和标准恒等式，一步一步小心地改写，直到它和另一边完全一致。它和解方程不同，你不是在求角的数值，而是在说明这个式子永远成立。

每写出一行整齐的过程都能拿方法分，所以一条条清楚的逻辑链，和最后一行同样重要。

只要题目说「证明」或「试证」某个含 $\sin$、$\cos$、$\tan$、$\sec$、$\operatorname{cosec}$ 或 $\cot$ 的式子等于另一个式子，就用这个方法。明显的标志是：等号两边各是一个完整的式子，而且没有给范围，你不是在求角，所以没有什么可「求」。

先看两边：哪一边更复杂、或含有分数，通常就从那一边开始。若你看到 $1-\sin^{2}\theta$、$1+\tan^{2}\theta$ 或几个分数相加，下一步几乎一定是毕氏恒等式或通分。

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   选定一边

   挑较复杂的那一边下手，通常是含分数或较高次幂的一边。

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   通分合并

   如果有分数，用公分母把它们相加。

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   化简分子

   仔细展开并合并分子中的同类项。

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   运用恒等式

   用毕氏恒等式，例如 $1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$ 来化简。

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   转成目标比值

   改写成另一边出现的那些函数，例如 $\frac{1}{\cos^{2}\theta}=\sec^{2}\theta$。

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   作结

   说明这一边现在等于另一边，恒等式得证。

• 把恒等式当成方程，把项移过等号，这等于先假定了要证的结论。
• 把 $(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)$ 展开错了，而不是用平方差 $1-\sin^{2}\theta$。
• 用错毕氏恒等式，例如把 $1-\sin^{2}\theta$ 写成 $\cos\theta$ 而不是 $\cos^{2}\theta$。
• 把 $\sec\theta$ 和 $\frac{1}{\sin\theta}$ 弄混，记住 $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$。
• 早停了一步，还没让所做的一边和另一边完全相同就收笔。

最耗分的习惯就是跨过等号，学生把两边同乘，或把项搬来搬去，悄悄地就把结论当成了前提。在一对一课堂上，我们的老师会让你守在一边，不断问「这一边接下来变成什么？」

，让逻辑保持诚实，每一行都由上一行推出。我们还会反复操练三条毕氏恒等式，直到你能瞬间选对该用哪一条。

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