Buktikan Identiti Trigonometri

Kegunaan kaedah ini

Membuktikan identiti trigonometri bermaksud menunjukkan bahawa dua ungkapan adalah sama bagi semua sudut yang sah, bukan sekadar menyelesaikan untuk satu sudut. Dalam bab Fungsi Trigonometri Tingkatan 5 Add Math, soalan ini meminta anda 'tunjukkan bahawa' atau 'buktikan bahawa' sebelah kiri sama dengan sebelah kanan.

Kaedahnya ialah bermula pada satu sebelah dan menulis semula, langkah demi langkah dengan teliti, menggunakan algebra dan identiti piawai, sehingga ia sepadan dengan sebelah yang satu lagi. Tidak seperti menyelesaikan persamaan, anda tidak mencari nilai sudut, anda menunjukkan bahawa pernyataan itu sentiasa benar.

Setiap baris kerja yang kemas memperoleh markah kaedah, jadi rantaian yang logik penting sama seperti baris akhir.

Bila menggunakannya

Guna kaedah ini apabila soalan berkata 'buktikan bahawa' atau 'tunjukkan bahawa' suatu ungkapan yang melibatkan $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ , $\sec$ , $\operatorname{cosec}$ atau $\cot$ sama dengan ungkapan lain. Tandanya ialah tanda sama dengan yang mempunyai ungkapan penuh di setiap sebelah dan tiada julat diberi, anda tidak menyelesaikan untuk sudut, jadi tiada apa yang perlu 'dicari'.

Lihat kedua-dua sebelah dahulu: yang mana lebih rumit, atau mengandungi pecahan, biasanya sebelah untuk dimulakan. Jika anda nampak $1-\sin^{2}\theta$ , $1+\tan^{2}\theta$ atau jumlah pecahan, identiti Pythagoras atau penyebut sepunya hampir pasti langkah seterusnya.

Kaedah langkah demi langkah

Identiti Pythagoras

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

1
Pilih satu sebelah
Pilih sebelah yang lebih rumit untuk diolah, biasanya yang ada pecahan atau kuasa lebih tinggi.
2
Gabungkan pecahan
Jika ada pecahan, tambahkannya menggunakan penyebut sepunya.
3
Permudah pengangka
Kembangkan dan kumpulkan sebutan serupa dalam pengangka dengan teliti.
4
Gunakan identiti
Guna identiti Pythagoras seperti $1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$ untuk mempermudah.
5
Tukar kepada nisbah sasaran
Tulis semula dalam fungsi yang muncul di sebelah lagi, cth. $\frac{1}{\cos^{2}\theta}=\sec^{2}\theta$ .
6
Simpulkan
Nyatakan bahawa sebelah ini kini sama dengan sebelah lagi, jadi identiti terbukti.

Olah satu sebelah sahaja

Anggap kedua-dua sebelah secara berasingan. Jangan darab silang atau memindahkan sebutan merentas tanda sama dengan, itu mengandaikan perkara yang cuba anda buktikan.

Ubah satu sebelah sehingga ia kelihatan sama dengan sebelah lagi.

Contoh kerja

Q1[4 marks]

Buktikan bahawa $\dfrac{1}{1+\sin\theta}+\dfrac{1}{1-\sin\theta}=2\sec^{2}\theta$ .

Show worked solution

Mulakan dengan sebelah kiri, yang mempunyai pecahan. Tambahkannya menggunakan penyebut sepunya $(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)$ :

\text{SK}=\frac{(1-\sin\theta)+(1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}

Permudah pengangka: $(1-\sin\theta)+(1+\sin\theta)=2$ . Penyebut ialah beza dua kuasa dua: $(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)=1-\sin^{2}\theta$ .

\text{SK}=\frac{2}{1-\sin^{2}\theta}

Guna identiti Pythagoras $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ , yang memberi $1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$ :

\text{SK}=\frac{2}{\cos^{2}\theta}

Kerana $\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=\sec^{2}\theta$ , ini menjadi $2\sec^{2}\theta$ , iaitu sebelah kanan. Maka identiti terbukti.

Kesilapan lazim

Menganggap identiti sebagai persamaan dan memindahkan sebutan merentas tanda sama dengan, ini mengandaikan perkara yang cuba dibuktikan.
Mengembangkan $(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)$ dengan salah dan bukan menggunakan beza dua kuasa dua $1-\sin^{2}\theta$ .
Menggunakan identiti Pythagoras yang salah, cth. menulis $1-\sin^{2}\theta=\cos\theta$ dan bukan $\cos^{2}\theta$ .
Mengelirukan $\sec\theta$ dengan $\frac{1}{\sin\theta}$ , ingat bahawa $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$ .
Berhenti satu langkah awal, sebelum sebelah yang diolah sepadan dengan sebelah lagi dengan tepat.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Tabiat yang paling banyak merugikan markah ialah melintasi tanda sama dengan, pelajar mendarab kedua-dua sebelah atau memindahkan sebutan, yang secara senyap mengandaikan hasilnya. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami mengekalkan anda pada satu sebelah dan bertanya 'apa yang sebelah ini menjadi seterusnya?', supaya logiknya kekal jujur dan setiap baris berpunca daripada baris sebelumnya.

Kami juga melatih tiga identiti Pythagoras sehingga memilih yang betul menjadi pantas. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk melihat cara kami mengajar pembuktian identiti, hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Sebelah mana patut saya mulakan?

Mulakan dari sebelah yang lebih rumit, biasanya yang ada pecahan atau kuasa lebih tinggi, dan permudahkannya ke arah sebelah lagi. Bermula dari sebelah yang lebih sibuk memberi lebih banyak untuk dibatalkan dan menjadikan laluan ke jawapan lebih jelas.

Bolehkah saya memindahkan sebutan merentas tanda sama dengan?

Tidak. Dalam pembuktian anda mengubah satu sebelah sahaja sehingga ia sepadan dengan sebelah lagi.

Memindahkan sebutan, atau mendarab silang, mengandaikan identiti itu sudah benar, iaitu perkara yang cuba anda tunjukkan.

Identiti manakah yang perlu saya tahu untuk pembuktian ini?

Identiti Pythagoras $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ , $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ dan $1+\cot^{2}\theta=\operatorname{cosec}^{2}\theta$ , serta takrif $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$ dan $\operatorname{cosec}\theta=\frac{1}{\sin\theta}$ .

Bagaimana saya tahu pembuktian sudah selesai?

Pembuktian selesai hanya apabila sebelah yang diolah ditulis dalam bentuk yang sama tepat dengan sebelah lagi. Kemudian nyatakan dengan jelas bahawa kedua-dua sebelah adalah sama, jadi identiti terbukti.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Cara membuktikan identiti trigonometri